2023-2024学年人教A版必修第二册 6-1　平面向量的概念 学案VIP

6.1平面向量的概念新课程标准解读核心素养1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景数学抽象2.理解平面向量的几何表示和基本要素直观想象3.理解共线向量和相等向量的含义直观想象我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如图，放在水平桌面上的物体A.问题（1）物体A受到哪些力的作用？（2）物体A受到的力应怎样表示？

知识点一向量与数量1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.提醒（1）数量是一个代数量，只有大小没有方向，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等都是数量；（2）向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小.知识点二向量的几何表示1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作｜AB｜.2.向量的表示（1）几何表示：向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作｜AB｜；（2）字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示（印刷用黑体a，b，c，…，书写用a，b，c，…）.提醒（1）向量不能比较大小，但向量的模能比较大小；（2）有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段.一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段.知识点三零向量和单位向量1.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.2.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.提醒（1）定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向；（2）当有向线段的起点A与终点B重合时，AB＝0；（3）在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半径为1的圆.知识点四相等向量与共线向量1.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a与b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a＝b.1.给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（）A.3个 B.4个C.5个 D.6个解析：B质量、路程、密度、功只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量.2.下列命题正确的是（）A.如果｜AB｜＞｜CD｜，那么AB＞CDB.若a，b都是单位向量，则a＝bC.若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同D.零向量的大小为0，没有方向解析：C向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故A错误；a与b都是单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝1，但a与b方向可能不同，故B错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，故D错误；C显然正确.故选C.3.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有.（填序号）

①AO＝OC；②AO∥AC；③AB与CD共线；④AO＝BO.解析：AO与OC方向相同，长度相等，∴①正确；∵A，O，C三点在一条直线上，∴AO∥AC，②正确；∵AB∥DC，∴AB与CD共线，③正确；AO与BO方向不同，∴二者不相等，④错误.答案：①②③题型一向量的有关概念【例1】（多选）下列说法中正确的有（）A.单位向量的长度大于零向量的长度B.零向量与任一单位向量平行C.向量AB和向量BA长度相等D.向量就是有向线段解析单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任意向量平行，B正确；因为向量AB和向量BA是方向相反，模相等的两个向量，C正确；向量是用有向线段来表示的，不能把两者等同起来，D不正确.答案ABC通性通法1.判断一个量是否为向量的两个关键条件（1）有大小；（2）有方向.两个条件缺一不可.2.理解零向量和单位向量应注意的问题（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.提醒两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等.（多选）下列说法正确的是（）A.若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行B.共线向量一定在同一直线上C.若a＝b，则｜a｜＝｜b｜D.单位向量的长度为1解析：CDA中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行，故A错误；B中，共线向量不一定在同一直线上，故B错误；C中，两向量相等，它们的方向与长度均都相同，故C正确；D显然正确.故选C、D.题型二共线向量与相等向量【例2】如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.（1）写出与EF共线的向量；（2）写出与EF的模相等的向量；（3）写出与EF相等的向量.解（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝12BC又因为D是BC的中点，所以与EF共线的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.（2）与EF的模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD.（3）与EF相等的向量有DB，CD.通性通法共线向量与相等向量的探求方法（1）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量；（2）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段，再确定哪些是同向共线的向量.提醒在寻找共线向量时不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.（1）与向量ED相等的向量为；

（2）若｜AB｜＝3，则｜EC｜＝.

解析：（1）在▱ABCD和▱ABDE中，∵AB＝ED，AB＝DC，∴ED＝DC.（2）由（1）知，ED＝DC，∴E，D，C三点共线，｜EC｜＝｜ED｜＋｜DC｜＝2｜AB｜＝6.答案：（1）AB，DC（2）6题型三向量的表示及应用【例3】在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.（1）作出AB，BC，CD；（2）求｜AD｜.解（1）如图所示，作出AB，BC，CD.（2）由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC＝400km，所以｜AD｜＝400km.（变设问）在本例的四边形ABCD中，是否一定有AB＝DC？解：是.因为AB与DC平行且相等，AB与DC的方向也相同，所以AB＝DC.通性通法用有向线段表示向量的步骤（1）定起点：先确定向量的起点；（2）定方向：再确定向量的方向；（3）定终点：有了起点和方向，结合向量的长度确定向量的终点.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2km才到达B地.（1）在图中作出AD，DC，CB，AB；（2）求B地相对于A地的位置.解：（1）向量AD，DC，CB，AB，如图所示.（2）由题意知AD＝BC，∴AD＝BC，AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝DC，则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，距离为6km”.1.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是（）A.有相同起点的向量B.共线向量C.模相等的向量 D.相等向量解析：C由题图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆O的半径.故选C.2.若BA＝CD，则四边形ABCD的形状为（）A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.等腰梯形解析：A因为BA＝CD，ABCD为四边形，所以BA＝CD且BA∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形.3.下列说法正确的是（）A.共线的两个单位向量相等B.相等向量的起点可以不相同C.若AB∥CD，则一定有直线AB∥CDD.若向量AB，CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上解析：B对于A，共线的两个单位向量的方向可能相反，故错误；对于B，相等向量的起点和终点都可能不相同，故正确；对于C，直线AB与CD可能重合，故错误；对于D，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不一定共线.故选B.4.如图，在矩形AFDC中，AC＝2AF，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有