新人教版八年级数学第16章二次根式导学案(全章)

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月17日

课题：16.1二次根式（1）课型：新授课课时数：1

学习1、了解二次根式的意义；

2、掌握二次根式的基本性质，并会用二次根式的性质进行简单的二次根式的化简；

目标3、会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。

学习重点二次根式的概念及意义。

学习难点二次根式的判断与字母取值范围的确定。

学习过程备注

一、自主学习感受新知TK

【思考】用带根号的式子填空，看看写出的结果有什

么特点？1cm

⑴如图，要做一个两条直角边的长分别是7cm和4cm

的三角尺，斜边的长应为____cm；].、

⑵面积为s的正方形的边长为____；..u

⑶要修建一个面积为6.28泼的圆形喷水池,它的半径"a"

为_____m（n取3.14）；

⑷一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时间为3（单位：s）与开始下落

的高度（单位：米）满足关系人=5人如果用含有//的式子表示f,则尸_____.

在上面的问题中，结果分别是_____________________，它们都是表示分别表

/K65,S,2,一的___________.

5

我们知道：一个正数有两个平方根，它们________；。的平方根是—；在实

数范围内，_____数没有平方根。因此，开平方时，被开方数只能是______o

【归纳】一般地，我们把形如、万（a20）•的式子叫做二次根式，“一”称

为二次根号.

【注意】二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是右的形式；2、被开方

数必须是____________。

二、自主交流探究新知

【探究】当x是怎样的实数时，Jx-2在实数范围内有意义？

三、自主应用巩固新知

【例D下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：血、6、L、6

X

(x>0)、血、、-V^、-----、Jx+y(x20,y・NO).

x^y

【例2】当x是多少时，,2x+3+」一在实数范围内有意义?

x+1

【例3]⑴已知y=j2—x+Jx—2+5,求一的值.

y

⑵若万=o,求〃。12+庐)12的值.

四、课后反思

五、课外作业

1、下列各式中，-2J"2,4a,d(a<0),品,Va+1是二次根式的

是o

2、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(Dy/5-3x(2).1——⑶而+1(4)J--1(5)J*_2)2

V2x-lV3x-4

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月18日

课题：16.1二次根式（2）课型：新授课课时数：1

学习

1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；

2、经历探索（6）2=。（a^0）的过程，培养分类的数学思想。

目标

学习重点二次根式的性质及运用。

学习难点运用二次根式的性质进行二次根式的化简。

学习过程备注

一、自主学习感受新知

⑴当。＞0时,yla表示a的______________,因此，y/a____0；当a=0时,4a

表示0的__________,因此，&=—;就是说—（。20）总是一个______数。

⑵若67有意义，贝.

⑶使式子J—（X—5）2有意义的未知数X有（）个.

A.0B.1C.2D.无数

二、自主交流探究新知

【探究】根据算术平方根的意义填空：

（n）2=_______；（&）2=_______；（血）2=_____;(6)2=_______;

明）2=——；（即=-------；（C）2=_

根据以上结果，你能发现什么规律？

【归纳】二次根式的性质：

(y/a)2=(。20)

三、自主应用巩固新知

【例1】计算：

（1）（）2⑵（3君）2⑶（J3.哼「

［例2］计算：

(1)(Jx+1)2(x，0)⑵(必)2

(3)(J/+2a+i)2⑷(-12X+9)2

【例3】在实数范围内分解下列因式：

(1)^-3(2)x4-4(3)2^-3

四、课后反思

五、课外作业

1.计算

(1)(79)2(2)-(百二(3)(-V6)2(4)(-3J-)2

2V3

(5)(2百+3逝)(26-3&)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5(2)3.4⑶工(4)x(x20)

6

3.已知Jx—y+l+-3=0,求x'的值.

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月19日

课题：16.1二次根式(3)课型：新授课课时数：1

学习1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；

2、经历探索62=团的过程，培养分类的数学思想。

目标

学习重点二次根式的性质及运用。

学习难点运用二次根式的性质进行二次根式的化简。

学习过程备注

一、自主学习感受新知

⑴形如_______________的式子叫做二次根式；

(a^O)是一个_____数；

(3)(&)2=____________.

二、自主交流探究新知

【探究】

⑴计算：B=痘7=、咫"=收了=

观察方；结果与根号内基底数的关系，归纳得到：

当4)OCH*,yl~a=_____

⑵计算L：J(T)2=_J(T).2)2=一=—J(—20)2=—

观察方；结果与根号内基底数的关系，归纳得到：当。<0时，、5=____。一

r：病=______；当。=

⑶计算o时,=________

【归”J】二次根式的性质：

■____(a>0)

石^=同=V_____(a=0)

._____(a<0)

三、自主应用巩固新知

［例1］化简：

(1)V9(2)7(-4)2⑶V25(4)「(-3)2

［例2］求下列各式的值。

⑴(了(2)(-2若>⑶层y(4)J(3.14—%)2

【例3】实数4、人在数轴上的位置如图：

ab

-101>

化简行一"一J(a-0)2

代数式：用基本运算符号(包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数

的字母连接起来的式子称为代数式。

四、课后反思

五、课外作业

1、如果J(x—2)2=x-2,那么X的取值范围是____________。

2、若1<x<2,贝(］|x-31+yj(x—I)2的值为______________。

3、若代数式J(2—4)2+J(a—4)2的值是一个常数2,则a的取值范围是____________。

4、已知y=Jx-4+。4一%+3,求代数式(x-y+)(x+y-)的值。

x-yy

5、已知Ji+8X+16+Jx?-12x+36=10,化简：J(2x+8)2+2|x—6|。

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月20日

课题：16.2二次根式的乘法课型：新授课课时数：1

1、理解五,4b=\[ab(a>0,b20),4ab-4a,y/b(a)O,b20),并利用它

学习

们进行计算和化简

2、由具体数据，发现规律，导出G-4b=4ab(a20,hNO)并运用它进行计算；

目标

•利用逆向思维，得出，石=右•〃(。》0,匕20)并运用它进行解题和化简.

学习重点二次根式的乘法运算和化简。

学习难点二次根式的乘法运算公式的双向使用。

学习过程备注

一、自主探究学习新知

【探究】

1.填空

(1)V?X也=______,「4x9=_____；

(2)A/T6X^25=______,V16x25=_______.

(3)＞/100X^=_______,V100x36=______.

参考上面的结果，用“＞、＜或="填空.______

V4XA/9____V4^9,V16XV25_____716x25,

V100XV36_______7100x36

2.利用计算器计算填空

(1)V2XV3_____卡，(2)V2X75_____M,

(3)V5XV6_____V30,(4)74X75_____A/20,

(5)V7XVio_____屈.

【猜想】4a,4b=___________.(“20,人20)

【归纳】一般地，对二次根式的乘法规定：

&又新=(。20,人20

这就是说：两个二次根式相乘，用被开方数的积作积的被开方数。

【注意】“，b必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说

明，所有字母都表示正数。

反过来也成立：X(420,Z?20)

这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

二、自主应用巩固新知

【例1】计算:

⑴近(；囱

6X2)JX(3)XV27(4)72x732

解：

［例2］化简

(1)79x16(2)716x81(3)781x100

(4)>］9x2y2(5)754(6)厢("2°)

【例3】计算：

(1)714x77(2)375x2710(3)yf3x•J—

［例4］计算：

⑴,2卜：⑵^(-49)x(-225)x6

(3)V172-82(4)yl25x2'ny2"z4p(x>0,y>0)

三、课后反思

四、课外作业

1、若，(x+2)(x—3)=Jx+2・Jx—3,则X的取值范围是。

2、自由落体的公式为S=；,#(g为重力加速度，它的值为10〃加2),若物体下落的高度为720m,

则下落的时间是

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月21日

课题：16.2二次根式的除法(1)课型：新授课课时数：1

学习1、理解二次根式的除法法则，二次根式的除法运算和二次根式的化简，理解最简二次

根式的概念。

目标2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。

学习重点二次根式的除法运算和化简。

学习难点二次根式的除法运算公式的双向使用。

学习过程备注

一、自主学习感受新知

【问题1】二次根式乘法法则是什么？完成下列填空：

1、J(-0.09)x(-0.25)=_________；2百、3亚=__________。

2、若』b2(a+1)=bda+1，则a________：b_________。

二次根式可以进行乘法运算，能否进行二次根式的除法运算？

【问题2］已知一个三角形的面积为‘作“？，一条边长为百cm,求这

2

条边上的高？

二、自主交流探究新知

【探究】1、计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？

⑴而1£■；

V16师

(2)—二________，J—=_______;

V36V36

2、用你发现的规律填空，并用计算器进行验算

(1)9,(2)耳______口

V4V473V3

【猜想】二次根式的除法法则：

一般地，对二次根式的除法规定：

y[a

(。20,ft>0),

这就是说:两个二次根式相除，用，陂开方数的商作商的被开方数。

.=(心0,Z»0)

反过来，也成立。

【注意】二次根式的乘法与除法公式中b的取值范围不同，你知道为什么吗？

三、自主应用巩固新知

【例1】计算：

解:

【例2】化简:

解：（

【说明】1、在上面的解法中，目的是去掉分母中的根号；

2、在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式。

【定义】最简二次根式：如果二次根式有如下两个特点：

⑴被开方数不含分母；

⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

四、课后反思

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月24日

课题：16.2二次根式的除法(2)课型：新授课课时数：1

学习1、使学生进一步理解二次根式的乘除运算法则，并能运用它们进行有关二次根式的计

算与化简；

目标2、使学生进一步掌握最简二次根式的特征，能将二次根式化为最简二次根式。

学习重点二次根式的乘除运算。

学习难点运用二次根式的性质进行二次根式的化简。

学习过程备注

一、自主学习感受新知

1、1留6zx3叵瓜

1、计算：(1)7=，(29)---：，(3)-7=

V5V27

2、计算：(1)3^—；(2)y4+x4y2；(3)yJSx2y3

【思考】最简二次根式满足的条件？

二、自主交流探究新知

【探究】观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二

次根式：

11X(A/2-1)_V2-1历

亚+1(逝+1)(0-1)-2-17L

1.1x(6-也—万一石

V3+V2(73+72)(73-72)-3-2"

同理可得：1="一6,……

V4+V3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

(-^―+二厂+二厂+……---------；--------：)(72002+1)的值.

V2+1V3+V2V4+V3V2002+V2001

【分析】由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理

化后就可以达到化简的目的.

解：

三、自主应用巩固新知

【例1】如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6c/n,求AB的长.

解：

A

【例2】已知a为实数，化简:阅读下面的解答过程，请判断

是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程:

解:

解:

四、课后反思

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月25日

课题：16.3二次根式的加减（1）课型：新授课课时数：1

1、能进行二次根式的加减运算，掌握其运算步骤。

学习

2、通过实际实际问题理解并掌握二次根式的加减法法则，通过与整式的加减法进行比

较及动手练习掌握二次根式的加减法的运算技巧。

目标3、通过二次根式的加减法与整式的加减法比较，感受知识之间的迁移与联系。

学习重点二次根式的加减法。

学习难点找出能合并的最简二次根式(同类二次根式)。

学习过程备注

一、自主学习感受新知

【问题1】计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)Z^-SJT+SX2；(3)x+2x+3y；(4)3a1-2a2+a3

【问题2】有一个三角形，它的两边长分别为画”和屈cm,如果该三角

形的周长为你能求出第三边长吗？

二、自主交流探究新知

【探究1】计算下列各式.

(1)272+372(2)2次-3次+5&

(3)y/1+2y/l+3《9x7(4)3>/3-2+-\/2

【总结】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，口再将被

开方数相同的二次根式进行合并.(二次根式的加减类似于合并同类项的运算)

【探究2】把下列各根式化简。

(1)712(2)748(3)718(4)750

(5)\(6)厅(7)745(8)息

【归纳】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次

根式就叫做同类二次根式.

【练习】下列各式中，哪些是同类二次根式？

五同，唇恶瓜

■|Y8ab3,65^^,,12a+12仇

【归纳】进行二次根式加减运算时，首先要正确识别同类二次根式。关键是准

确的化成二次根式，然后观察被开方数是否相同。

三、自主应用巩固融口

【例1】计算：

(1)V12+V75(2)V80-V45(3)回+

解：

【例2】计算:

(1)3J48~9+32(2)(J48+J20)+(y/12.-\/5)

解：

四、课后反思

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月26日

课题：16.3二次根式的加减（2）课型：新授课课时数：1

1、进一步熟练掌握二次根式的加减运算，并能运用它解决实际问题。

_2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。

D目+标

学习重点二次根式的加减法。

学习难点找出能合并的最简二次根式（同类二次根式）。

学习过程备注

一、自主学习感受新知

【问题1】下列运算错在哪里？如何改正？

(1)V5—V2=V3(2)3V2—V2=3(3)3+V5=3*\/5

(4)V3+V6=M=3(5)2V3+3A/3—5A/6

【问题2】计算

(1)2VO7+V18--(2)2712-9./^+3748

2V27

(3)(732+Jo.75)一(2。+《)(4)X^3p--SA-,27y)

二、自主交流探究新知

【探究】如图所示的RtZ\ABC中，ZB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘

米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向

点C移动.问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结

果用最简二次根式表示）

C

APB

三、自主应用巩固牺

【例1】要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.丽）9

B

A4mDC

【例2】若最简根式3y/4。+38与根式一方+6b2是同类二次根式（或

化简后能合并），求。、6的值.

【分析】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相

同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把J2a〃一川+6/2

化简成依•J2。—〃+6,才由同类二次根式的定义得3〃-・b=・2,2a-b+6=4a+3b.

解：

四、课后反思

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月27日

课题：21.3二次根式的加减（3）课型：新授课课时数：1

1、熟练地进行二次根式的混合运算，乘法公式在二次根式运算中的运用；

学习2、通过二次根式混合运算，进一步掌握二次根式的几种运算及其运算技巧；

目标3、通过对二次根式混合运算的学习，并与四则混合运算及整式的混合运算进行比较，

理解知识间的相互关系。

学习重点二次根式的混合运算。

学习难点二次根式运算的应用。

学习过程备注

一、自主学习感受新知

请同学们完成下列各题：

1.计算

()1(2x+y)-zx(2)(2/)注3盯2)小孙

解：

2.计算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2厂1)2

解：

二、自主交流探究新知

【探究】如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成

立呢？仍成立.

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，

当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.

【例1】计算：

(1)(y/b+-x/S)X(2)(4-Jc_35/2)4-2V2

解：

【例2】计算：

(1)(^+6)(3-V5)(2)(V10+V7)(VlO-V?)

解：

三、自主应用巩固新知

【例3】、计算：

(1)3J12+3^^—2,\/3(2)(^3+5/5—5/2)(5/3—5/5+V2)

(3)(V2+V3—V6)2—(V2—V3+V6)-⑷+17-V7)(^7-17-y/1)

解：

【例4】当户+y=JU-V7,求/-xy+y?的值。

解：

【知识拓展】

1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，

•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.

练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是().

A.应与B.J...与

C.dmn与«D.〃与+〃

2.互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方

差公式"+%)(a-b)=〃62,同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如

武1-丁工2+2%与万+1+，%2+2%就是互为有理化因式；石与工上也是互为有理化

因式.

练习:g+G的有理化因式是________；

%-6的有理化因式是_________.

-VTFT-A/X-1的有理化因式是_______.

3.分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二

次根式，达到化去分母中的根号的目的.

练习：把下列各式的分母有理化

(2)-1-⑶&.⑷

V5-11+2V3V6-V23^-4V2

四、课后反思

千阳县城关中学师生共用导学案

科目：数学I年级：八主备人：齐朝霞授课时间：2月28日

课题：《二次根式》小结与复习(1)课型：复习课课时数：2

学习1.使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

目标2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

学习重点含二次根式的式子的混合运算.

学习难点综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.

学习过程备注

知识点1、二次根式的意义

一般地，我们把形如G(。》0)•的式子叫做二次根式，称为二次根号.

二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是布的形式；2、被开方数必须是非负

数。

练习一

1、式子JQ+1,J—1,J25,必27,—+1,J1—3x(x>—),1A/2,

23

J-1-a2中，是二次根式的是____________________________。

2、当a_________时，-1是二次根式。

3、若式子有意义，则x的取值范围是_____________。

x-2

4、使式子店五有意义且取得最小值的a的取值是________,J3-2a的最小值

是____________。

知识点二、二次根式的性质

⑴(布/=a(azo)(2)7^=|«1

(3)y[ab=yfaX4b(心0620)(4)=(a20,b>0)

练习二

1、化简：[(-2)2=________J(亚-扬2=________(V0J6)2=________

2、若y=《-(x+1)-+JX”--2x+l,则孙=________»

3、分解因式：(DX2-3=_____(2)2X3-10X=______

4、化简：，

知识点三、最简二次根式

满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：⑴被开方数不含分母；⑵被开方数

中不含能开得尽方的因数或因式。

练习三

1、在根式府，后，国木,2&五小中，最简二次根式是________________«

2、若为最简二次根式，则片______,〃=_______<,

3、化简：_______，(2)|7a2,,h2n+l=_______,(3)-^J—=_______,

(4)(1-a)^r=-------°

知识点四、二次根式的乘除危t

1、二次根式的乘法：4aX>Jb=4ab(67^0,620)

2、二次根式的除法：臣=、万

l一b(心0,h>0)

练习四

计算

1、岛&=-----------2、2^|-|V2T

3、2xyjx2y+44xy=______________3、9A/45+J2g3/72_

x—、2——_________

2V3

知识点五、二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二

次根式（即同类二次根式）进行合并.

练习五

1、下列二次根式中，能与五合并的是【】

A、瓜B,V12C、V24D、V40

2、若广尸3+2行，尸尸3-2后，则正_y2的值为_____________O

3、计算：

⑴2位一6.+3炳⑵(2石+伪2

(3)(5>/48-6727+712)4-73⑷(6+收一1)(6一0+1)