第10讲空间中点直线平面之间的关系（6个知识点10种题型强化训练）

第10讲空间中点、直线、平面之间的关系（6个知识点+10种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点一、平面的概念,画法及表示法1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．思考1：一个平面能否把空间分成两部分？[提示]因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.①②3．平面的表示法上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.知识点二、平面的基本性质基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事实2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？[提示]不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．基本事实的推论推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．知识点三、异面直线及画法1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：①②知识点四、空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？[提示]不一定．可能平行、相交或异面．知识点五、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示思考：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？[提示]不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．知识点六、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示知识复习题型1.平面分空间区域的数量1．（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值.【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；

（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.

（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；

综上，可以为、、、部分，不能为部分，故选：B.二、填空题2．（2324高二上·上海黄浦·阶段练习）空间三个平面最多将空间分成个部分（填数字）.【答案】【分析】对三个平面的位置进行分类讨论，作出相应的图形，即可得出结论.【详解】三个平面两两平行时，这三个平面将空间分为部分；两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则这三个平面将空间分为部分；三个平面两两相交，且交于同一条直线，则这三个平面将空间分为部分；三个平面两两相交，且交线两两平行时，如三棱柱的三个侧面所在的平面，这三个平面将空间分为部分；三个平面两两相交，且交线交于一点，则这三个平面将空间分为部分.因此，空间三个平面最多将空间分成个部分.故答案为：.3．（2223高三·全国·对口高考）一个平面把空间分为部分；两个平面把空间分为部分；三个平面把空间分为部分．【答案】或或或或【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可；【详解】一个平面把空间分为部分；两个平行平面将空间分成部分，两个相交平面可以将空间分成部分，故两个平面将空间分成或部分；当三个平面互相平行时，将空间分成部分，如图1所示；当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成部分，如图2所示；当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成部分，如图3所示；当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成部分，如图4所示；当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交，即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成部分，如图5所示；综上可得三个平面把空间分为或或或部分.

故答案为：；或；或或或4．（2324高二上·上海崇明·期中）三棱台的各个面所在的平面，将空间划分为个区域．【答案】22【分析】利用三棱台的结构特征，分类求出划分的区域数即得.【详解】三棱台的3个侧面所在平面两两相交，且所得3条交线共点，这3个平面将空间分成8个区域，一个底面将其所在的7个区域分成两半，另一个底面将其所在的7个区域分成两半，所以三棱台的各个面所在的平面，将空间划分的区域个数为.故答案为：22三、解答题5．（2223高一·全国·随堂练习）如果3个平面把空间分成4部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？如果3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面有怎样的位置关系？画图说明．【答案】见解析【分析】根据题意分析3个平面之间的平行、相交关系分析即可.【详解】3个平面把空间分成4部分，则这3个平面需要平行；

3个平面把空间分成6部分，那么这3个平面相交于一条直线或其中2个平面平行与第3个平面相交.

题型2.平面的基本性质一、单选题1．（2324高二上·江西宜春·期末）能确定一个平面的条件是（

）A．空间的三点 B．一个点和一条直线C．两条相交直线 D．无数点【答案】C【分析】根据基本事实及其推论进行判断即可.【详解】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确；对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确；对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确；对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确故选：C．2．（2324高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列结论正确的是（

）A．空间中三点确定一个平面B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．一条直线和一个点能确定一个平面D．四边形一定是平面图形【答案】B【分析】ACD选项，可举出反例，B选项，可根据三角形为平面图形得到B正确.【详解】A选项，空间中三点若共线，则不能确定一个平面，A错误；B选项，如图，空间中两两相交且不共点的三条直线可确定三角形，而三角形为平面图形，故可确定一个平面，B正确；C选项，若点在此直线上，此时一条直线和一个点不能确定一个平面，C错误；D选项，四边形可能为空间四边形，此时不是平面图形，如图，三棱锥中，四边形就是空间四边形，D错误.故选：B二、多选题3．（2324高二上·广东惠州·阶段练习）设P表示一个点，a，b表示两条不同直线，，表示两个不同平面，下列说法不正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，，则【答案】AB【分析】根据点线面的位置关系，结合平面基本性质判断各项的正误即可.【详解】当时，，，而，A错误；当时，但，B错误；，，则，由直线a与点P确定唯一平面，由a与b确定唯一平面，且该平面经过直线a与点P，所以该平面与重合，则，故C正确；由两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．故选：AB三、填空题4．（2024高二·全国·专题练习）设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M（用符号表示）．【答案】【分析】利用平面的基本性质即得.【详解】因为，直线，直线，所以，又平面与平面相交于直线，所以点在直线上，即.故答案为：.5．（2324高二上·上海普陀·期中）4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线时，才是一个平面图形．【答案】相交【分析】应用空间想象，讨论对角线不相交、相交两种情况分析得结论.【详解】当两条对角线不相交时，四边形的四个顶点不共面，故不是平面图形，如下图，

对角线不相交，即为空间四边形；当两条对角线相交时，四边形的四个顶点共面，是平面图形，如下图，

对角线相交，即为平面四边形；故答案为：相交四、解答题6．（2223高一·全国·随堂练习）在空间中，下列命题是否正确？为什么？(1)有两组对边相等的四边形是平行四边形；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)平行于同一条直线的两条直线平行；(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．【答案】(1)不正确，理由见解析；(2)不正确，理由见解析；(3)正确；(4)正确；【分析】在平面内成立的相关结论，拓展到空间中就不一定成立.从空间图形中找出反例，或应用基本事实和相关推论即可判断（1）~（4）是否正确.【详解】（1）不正确；在空间中，有两组对边相等的四边形不一定是平行四边形；例如平行四边形沿其中一条对角线翻折一定的角度形成的空间四边形就不是平行四边形；（2）不正确；如图所示：

在正四面体中，四边形的四边形等，但其不是菱形；（3）正确；根据基本事实4的内容可知，不管在空间中还是同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；（4）正确；这是三角形全等的判定条件之一题型3.点（线）确定的平面数量问题一、单选题1．（2223高一下·山东烟台·期末）下列几何元素可以确定唯一平面的是（

）A．三个点 B．圆心和圆上两点C．梯形的两条边 D．一个点和一条直线【答案】C【分析】根据平面的确定方法求解.【详解】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误；对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误；对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确；对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误，故选:C.2．与正四面体的4个顶点的距离都相等的平面个数为（

）A．4个 B．6个 C．8个 D．前三个答案都不对【答案】D【分析】按平面两侧正四面体的顶点数分类计算后可得正确的选项.【详解】按平面两侧正四面体的顶点数分类．情形一

一侧有1个顶点，另外一侧有3个顶点．此时四个顶点对应的中截面符合要求，共4个．情形二

两侧各有2个顶点，此时两组对棱的四个中点构成的平行四边形所在的平面符合要求，共3个．综上所述，符合题意的平面共有7个．故选：D二、填空题3．（2223高一下·江苏·期中）空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定个平面．【答案】11【分析】根据不共线的三点确定唯一一个平面，即可列举求解.【详解】记5个共面的点分别为，不共面的第6个点为,则从中随机选取两个点，连同第6个点，即可构成一个平面，此时共有共有10个平面，这5个点确定一个平面，故最多可以确定10+1=11个平面，故答案为：114．（2324高二上·上海·期末）三点不在同一直线上，则经过这三个点的平面有个.【答案】1【分析】根据确定平面的方法即可.【详解】不在同一条直线上的三点确定一个平面.故答案为：1.5．（2324高二下·上海·阶段练习）空间中三条平行直线最多确定个平面.【答案】3【分析】结合公理2的推论3分析判断.【详解】三条平行直线在一个平面内时，确定一个平面，当三条平行直线不在同一个平面时，两两能确定一个平面，共能确定三个平面.所以空间中三条平行直线最多确定三个平面.故答案为：3.6．（2324高二上·上海静安·期中）空间两两相交且不共点的三条直线可以确定平面．【答案】1【分析】根据平面的事实1即可判定.【详解】空间两两相交且不共点的三条直线，可得三个交点不在同一条直线上，根据平面的基本事实1，过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面.故答案为：1.题型4.空间中点（线）共面问题一、单选题1．（2223高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（

）A．过点BB．不一定过点BC．的延长线与的延长线的交点在上D．的延长线与的延长线的交点在上【答案】B【分析】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确.【详解】连接，，如图，因为P，Q分别是棱，的中点，由勾股定理得，所以四边形是菱形，所以，P，B，Q四点共面，即平面.又平面，所以，故A结论正确，B结论错误.如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E.因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，所以，同理，故C，D正确.故选：B二、多选题2．（2223高一下·陕西咸阳·阶段练习）下列说法，不正确的有（

）A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面【答案】ABC【分析】由空间中直线与直线的位置关系对选项逐一判断即可.【详解】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误，对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误，对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，故选：ABC三、解答题3．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面；【答案】证明见解析【分析】连接，，利用条件证明即可.【详解】连接，，因为、分别是、的中点，所以，又、分别是、上的点，且，，，，、、、四点共面.4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点，证明：四点共面．【答案】证明见解析【分析】符合同一原理，可以用同一法证明三点构成一个平面．【详解】假设面与棱交于．平面，平面与其相交，，为中点，为中点，与重合，即四点共面．5．（2023高三·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：

(1)和、和、和分别在同一平面内；(2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据空间中直线与平面、点与平面的位置关系即可判断；（2）证明三点分别在平面与平面的交线上即可.【详解】（1）∵，∴确定平面，∵都在平面内，∴平面；平面，∵，∴确定平面，∵都在平面内，∴平面；平面，∵，∴确定平面，∵都在平面内，∴平面；平面；（2）∵，∴，因为平面，平面，所以点在平面与平面的交线上，∵，∴，因为平面，平面，所以点在平面与平面的交线上，∵，∴，因为平面，平面，所以点在平面与平面的交线上，所以三点共线.题型5.空间中的点共线及线共点问题一、单选题1．（2223高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（

）

A．三点共线，且B．三点共线，且C．三点不共线，且D．三点不共线，且【答案】B【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果.【详解】连接连接，，

直线平面平面.又平面，平面平面直线∴三点共线..故选：B.二、多选题2．（2324高三上·山西大同·阶段练习）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（

）A．三点共线 B．四点共面C．四点共面 D．四点共面【答案】ABC【分析】根据基本事实和推论判断.【详解】

连接，，，因为为的中点，所以，平面平面，因为平面，平面，所以点是平面和平面的交点，所以，，，三点共线，故A正确；因为，，三点共线，所以，，，四点共面，，，，四点共面，故BC正确；取中点，连接交于点，由题意得，，所以，即为的三等分点，因为，，不共线，平面，平面，为的中点，所以点平面，，，，四点不共面，故D错.故选：ABC.三、解答题3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．【答案】证明见解析【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果.【详解】由，可知点，且平面ABC，可知点平面ABC，又，所以点P在平面ABC与平面的交线上，同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上，所以P，Q，R三点共线．4．（2023高三·全国·专题练习）平行六面体中，求证：，，，四对角线交于一点．【答案】证明见解析【分析】根据平行四边形的对角线互相平分即可求证.【详解】证明：如图4，且，所以四边形为平行四边形，则对角线与互相平分，将其交点记为O，则是和的中点，同理平行四边形的对角线和也互相平分，设中点为，是和的中点，又且，则四边形为平行四边形，故对角线与互相平分因此O，都是的中点，所以O，必重合为一点，所以四对角线，，，共点于O．图45．（2023高三·全国·专题练习）四面体中，过各个面的三角形外心，分别作该面的垂线，求证：这四条垂线共点．【答案】证明见解析【分析】根据外接球球心与各个面三角形的外心之间的关系即可证明.【详解】如图，设四面体ABCD的外接球的球心为O（四面体外接球存在且唯一），连结OB，OC，OD，则，所以点O在平面BCD内的射影必是的外心，这说明过的外心作平面BCD的垂线必过四面体外接球的球心，同理，过其他三个面的外心，，作各自平面的垂线也都过四面体外接球的球心，即四垂线交于一点O．

6．（2324高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.

(1)求证：；(2)设与交于点，求证：三点共线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由中位线性质和线段成比例即可得证.（2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证.【详解】（1）、分别是、的中点，，，，.（2）因为，，平面，所以平面，同理平面.所以是平面与平面的公共点，又平面平面，所以，所以三点共线7．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．【答案】证明见解析【分析】先通过中点以及线段比例关系证明，然后说明与交于一点，结合点在两个平面内这一特点说明三线共点.【详解】在空间四边形中，连接，∵分别为的中点，则，且，又由，则，且，故，且，故四边形为梯形，与交于一点，设与交于点，如图，由于平面，故点在平面内，同理点在平面内，又∵平面平面，∴点在直线上，故直线相交于一点．题型6.由平面的基本性质作截面图形一、单选题1．（2324高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，在上取一点，使得，连接，则四边形为平行四边形，即平行四边形为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出，即可求解.【详解】如图，在上取一点，使得，连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以与相交于且为的中点，又在上，所以与相交于，且O平分，，所以四点四点共面且四边形为平行四边形，所以过三点的截面是平行四边形，，，，故截面面积为.故选：A.二、填空题2．（2324高二下·山东青岛·开学考试）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，分别是的中点，过点的平面记为，则平面截直四棱柱所得截面的面积为.

【答案】【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可.【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，连接，所以平面截直四棱柱的截面为五边形.由平行线分线段比例可知：，故，故为等腰直角三角形，所以，故，则，.连接，易知，所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分，等腰梯形的高，则等腰梯形的面积为.又，所以五边形的面积为，

故答案为：.3．（2223高一下·河北邯郸·期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为.【答案】【分析】在上取靠近D的四等分点，连接CF易得，故，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，进而易求其周长.【详解】如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG.因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.

故答案为：三、解答题4．（2223高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点．(1)画出过三点的平面与平面、平面的交线；(2)设过三点的平面与交于点，求的长．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度；（2）利用（1）直接求解.【详解】（1）如图所示：平面，与底面的交点必在侧面与底面的交线上，过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上），与平面的交线是（在线段上）．（2）由（1）可知：，在Rt中，由勾股定理得．题型7.等角定理及应用一、单选题1．（2223高一下·全国·单元测试）如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（

）

A．M，N，P，Q四点共面 B．C． D．四边形MNPQ为梯形【答案】D【分析】由基本事实4即可判断A，由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断D.【详解】对于A选项，由条件可得，，所以，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B选项，根据等角定理，得，故B正确；对于C选项，由等角定理，知，，所以，故C正确；对于D选项，由三角形中位线的性质知，，，，所以，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确．故选：D．2．（2223高一·全国·课时练习）两等角的一组对应边平行，则（

）A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行C．另一组对应边垂直 D．以上都不对【答案】D【分析】根据空间图形的平行关系求解即可.【详解】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，并不能确定是哪一种关系，故选：D3．（2223高一下·河南洛阳·阶段练习）下列命题中，真命题有（

）①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等；②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行；④，若，，则或.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由等角定理判断①④，举反例判断②，根据空间直线位置关系判断③.【详解】由等角定理知，①正确，④正确；对于②，如图正方体中，对于和，显然有，，但是，，故②错误；当两直线没有公共点且它们位于不同的平面内，则也可以平行，也可以异面，故③错误.故正确的只有①④.故选：B二、解答题4．（2023高一·全国·专题练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.【答案】证明见解析【分析】根据一个角的两边分别与另一个角的两边平行且方向相同，则两角相等，证明即可.【详解】证明：如图所示，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.又ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.又B1C∥FG，所以A1D∥FG.同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.题型8.异面直线的判定，异面直线所成的角，距离一、单选题1．（2324高二上·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦值即可.【详解】如图所示，取中点，连接，取中点，连接，则，所以四边形是平行四边形，所以，所以或其补角是异面直线与所成角，设正方体棱长为2，则，在等腰中，是中点，所以，所以，即异面直线与所成角的正弦值为.故选：C2．（2324高二上·上海闵行·期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据点运动到线段端点、中点位置可判断ABD，根据异面直线的判定可判断C.【详解】当运动到点时，与直线相交，故A错误；当运动到点时，与直线相交，故B错误；因为与在同一平面上，,平面，所以由异面直线判定定理知，直线与直线始终异面，故C正确；当运动到点中点时，，此时与直线共面，故D错误；故选：C二、多选题3．（2223高一下·河南·期中）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据空间直线的位置关系，结合异面直线的判定定理，一一判断各选项，即得答案.【详解】由题意可知M为的中点，故，，故，与均为相交直线，A，B错误；平面，平面直线，故与直线为异面直线，同理可说明与直线为异面直线，C，D正确，故选：CD4．（2021高一下·湖南张家界·期中）如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（

）

A．直线和平行，和相交B．直线和平行，和相交C．直线和相交，和异面D．直线和异面，和异面【答案】ACD【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项.【详解】如下图所示：

因为、分别为、的中点，则，同理可证，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，所以，，延长交直线于点，因为，则，又因为，，所以，，所以，，延长交的延长线于点，同理可证，因为，所以，，即点、重合，所以，、相交，由异面直线的定义结合图形可知，、异面，故B对，ACD均错.故选：ACD.三、填空题5．（2223高一·全国·课时练习）边长为1的正方体中，直线和之间的距离为.【答案】1【分析】把直线和之间的距离转化为公垂线问题，即可求解．【详解】如图所示，连接，因为平面，平面，所以，又，则直线和之间的距离为，又，即直线和之间的距离为1.故答案为：.四、解答题6．（2223高一·全国·课后作业）所有棱长都为1的四面体中，找到异面直线和的公垂线，求出和的距离．【答案】取AB中点，中点，则为公垂线，【分析】取中点，中点，连接，证明是与的公垂线，求出线段的长即得．【详解】如图，取中点，中点，连接，由已知，∴，同理，所以是与的公垂线，与的距离即为线段的长．且，所以与的距离即为．7．（2024高三·全国·专题练习）已知P为所在平面外一点，，，E，F分别是PA和BC的中点．(1)求证：EF与PC是异面直线；(2)求EF与PC所成的角．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）应用反证法设EF与PC不是异面直线，得到A、B、C、P在同一平面内，与已知矛盾，则结论可证；（2）取AC的中点G，连接EG、FG，根据条件证明即为所求异面直线所成角．【详解】（1）证明：用反证法，设EF与PC不是异面直线，则EF与PC共面，从而CF与PE共面，即AP与BC共面，∴A、B、C、P在同一平面内，这与P是所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．（2）解：取AC的中点G，连接EG、FG，由于E、F分别是PA、BC的中点，则，且，，∴相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与PC所成的角．由，，可得，，故在等腰中，有，即异面直线EF与PC所成的角为.8．（2223高一·全国·课后作业）已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．【答案】，【分析】根据异面直线所成的角，平行线的性质得，，，，从而求得的长，再由异面直线的距离定义证得公垂线，从而得结论．【详解】∵,，，∴，因为与所成角大小为，而，则，因为与所成角大小为，而，则，，则，，，又是矩形，所以线段是直线与的公垂线段，线段是与的公垂线线段，所以直线与的距离是，与的距离是．题型9.直线与直线平行一、单选题1．（2122高一下·河北石家庄·期中）下列说法正确的是（

）A．如果一条直线上的某一点在平面α内，那么这条直线也在平面α内B．如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线互相平行C．如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线互相垂直D．如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行【答案】D【分析】根据空间两直线的位置关系的定义逐一对选项进行判断即可，【详解】如果一条直线上的某一点在平面α内，那么这条直线与平面α相交或在平面α内，A不正确；如果两条直线与同一个平面所成的角相等，那么这两条直线的位置关系不确定，B不正确；如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线可能相交、平行或异面，C不正确；由平行公理可知，如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线互相平行，D正确.故选：D.二、多选题2．（2223高一下·浙江宁波·期中）下列命题是真命题的是（

）A．平行于同一直线的两条直线平行 B．平行于同一平面的两条直线平行C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行于同一平面的两个平面平行【答案】AD【分析】根据平行的性质结合空间中线面关系逐项分析判断.【详解】对于A：根据平行线的传递性可知平行于同一直线的两条直线平行，故A为真命题；对于B：平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，故B为假命题；对于C：平行于同一直线的两个平面的位置关系有：平行或相交，故C为假命题；对于D：根据空间中面面的位置关系可知平行于同一平面的两个平面平行，故D为真命题；故选：AD.三、填空题3．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是．【答案】相交【分析】根据平面的性质结合线线位置关系分析判断.【详解】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，∴，即，同理可得：，故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.故答案为：相交.四、解答题4．（2324高二上·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，结合中位线证明出结论；（2）求出底面积和高，利用锥体体积公式求出答案.【详解】（1）连接，因为分别为棱的中点，所以，因为正方体的棱长为3，所以，，故四边形为平行四边形，所以，故；（2）由题意得，正方形的面积为，，，故，又⊥平面，故⊥平面，三棱锥的体积为.5．（2223高一·全国·随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．

(1)判断四边形的形状；(2)求四边形的面积．【答案】(1)梯形(2)【分析】（1）根据棱柱的几何特征和三角形中位线定理，可得，且，进而可判断四边形的形状；（2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面积公式，可得答案.【详解】（1）

点M，N分别是和的中点，，，四边形是平行四边形，，，故四边形为梯形；（2）由题意可得，，则，故梯形的高为，故四边形的面积.题型10.线面、面面平行一、单选题1．（2223高一下·甘肃兰州·期末）平面内两条直线，都平行于平面，则与的关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定【答案】D【分析】利用面面平行的判定并举例说明作答.【详解】若直线与直线为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得，若，如图：可能，也可能与相交．

故选：D2．（2324高二上·上海黄浦·期末）在如图所示的正方体中，一条平行于的直线与该正方体的表面交于P、Q两点，其中点P在侧面上，有以下结论：①平面ABCD上不存在满足条件的点Q；②平面上存在满足条件的点Q，下列判断正确的是（

）A．①，②均正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①，②均错误【答案】C【分析】根据三角形的中位线，即可得线线平行，进而结合选项即可求解.【详解】连接相交于，当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故①错误，连接相交于，当为中点时，连接,则，此时在平面,故此时位于处，故②正确，故选：C3．（2223高一下·河南洛阳·阶段练习）已知表示两条直线，表示平面，下列命题中正确的有（

）①若，且，则；②若相交且都在平面外，，则；③若，则；④若，且，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据线面平行和面面平行逐项判断即可.【详解】对于①，若，且，则或相交，故①错误；对于③和④，与也可能相交，均错误；对于②，设相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，根据平行平面的传递性得知．故选：A．二、填空题4．（2223高一·全国·随堂练习）若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面的位置关系是．【答案】平行【分析】刚刚平面与平面平行的定义判断即可.【详解】平面与平面平行的定义为：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行；所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点，即一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以若平面内任意一条直线均平行于平面，则平面与平面平行；故答案为：平行强化训练单选题1．已知是两条异面直线，是两条垂直直线，那么的位置关系是（

）A．平行或相交 B．异面或平行 C．异面或相交 D．平行或异面或相交【答案】D【分析】根据题意，借助长方体，画出图形求解即可.【详解】在长方体中，满足是两条异面直线，是两条垂直直线，如图所示：此时，在长方体中，满足是两条异面直线，是两条垂直直线，如图所示：此时相交.在长方体中，满足是两条异面直线，是两条垂直直线，如图所示：此时为异面直线.综上：的位置关系是平行或异面或相交.故选：D2．下列说法不正确的是（

）A．三角形一定是平面图形B．若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形C．圆心和圆上两点可确定一个平面D．三条平行线最多可确定三个平面【答案】C【分析】利用确定平面的公理及其推断进行判断即可【详解】由定义可知，三角形一定是平面图形，A正确；由相交直线确定一个平面可知，若四边形两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形，B正确；当圆心和圆上两点构成直径时，此时可有无数平面经过此三点，故C不正确；三条平行线可确定三个平面，正确，如三棱柱的三条侧棱，故D正确故选C【点睛】本题考查平面的公理和判断，属于基础题3．（2223高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．则异面直线所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，取中点，由中位线性质可得，由异面直线所成角定义可知所求角为或其补角，利用勾股定理可求得的边长，根据余弦定理可求得结果.【详解】连接，取中点，连接，分别为中点，，，异面直线所成的角即或其补角；，，，，又，，，，又，，，即异面直线所成的角为.故选：C.4．如图，在正方体中，点为正方形的两条对角线的交点，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明就是异面直线与所成的角，再求出三角函数即得解.【详解】解：因为点为正方形的两条对角线的交点，点是棱的中点，所以.所以就是异面直线与所成的角，又.故选：D.5．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（

）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】C【分析】根据平面展开图可得原正方体，根据各点的分布逐项判断可得正确的选项．【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：由图可得：为异面直线，与不是异面直线，故①②错误；连接，则为等边三角形，而，故或其补角为与所成的角，因为，故与所成的角为，故③正确；因为，又平面，所以，故平面又平面，所以，则④正确；综上，正确命题的序号为：③④．故选：C．6．在正方体中，E为的中点，则异面直线DE与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，则就是异面直线DE与所成角（或其补角），在三角形中求解即得．【详解】正方体中，，则就是异面直线DE与所成角（或其补角），设正方体棱长为1，E为的中点，就是与的交点，则，由正方体知，∴．故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．7．（2223高二上·新疆·期中）在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图形，找出与所成角的平面角，利用解三角形求出与所成角的余弦值，再求正弦值．【详解】直三棱柱中，，，分别是，的中点，如图：的中点为，连接，，∴,且,则是平行四边形，∴,与所成角就是，，设，，，，，在中，由余弦定理可得：，与所成角的余弦值是，则与所成角的正弦值是．故选：C．8．（2324高三上·辽宁·开学考试）已知一个棱长为2的正方体，点是其内切球上两点，是其外接球上两点，连接，且线段均不穿过内切球内部，当四面体的体积取得最大值时，异面直线与的夹角的余弦值为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】画出图形，分析当四面体的体积取得最大时，的位置关系，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理可求得结果.【详解】由正方体棱长为2，知其内切球的半径为1，外接球的半径，依题意知，最长为，最长为内切球的直径2，由三角形面积公式，若为定值时，时面积最大，画出图形如图所示，其中分别是所在正方形的中心，是内切球与外接球的球心，

由正方体性质知，，，，又，故此时四面体的体积取得最大，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线与所成的角，在中，，由余弦定理得故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是依题意画出符合的图形，再利用等体积法找到体积最大时，异面直线的夹角，再利用余弦定理求解.二、多选题9．在空间四面体中，如图，分别是的中点，则下列结论一定正确的为（

）A． B．C．与相交 D．【答案】ABC【分析】由题易得四边形为平行四边形，即可得到结论.【详解】如图∵分别是的中点，∴且，且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴选项ABC正确；又由题可知，与不一定相等，故选项D错误.故选：ABC.10.给出以下说法,其中正确的是A．不共面的四点中,其中任意三点不共线B．若点共面,点共面,则点共面C．若直线共面,直线共面,则直线共面D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面【答案】AD【解析】对于A，利用反证法说明；对于B，考虑若共线的情形；对于C，根据共面不具有传递性进行判断；对于D，根据过直线与直线外一点可确定个平面,即可判断.【详解】在A中,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以A正确;在B中,如图,两个相交平面有三个公共点,且点共面,点共面,但不共面,B不正确;选项C显然不正确;在D中,过直线与直线外一点可确定个平面,设为,因此这三条直线都在平面内,即三条直线共面,D正确.故选：AD.【点睛】本题考查了确定平面的条件，需掌握课本中的定理，属于基础题.11.（2023·黑龙江·模拟预测）在正四棱柱中分别为棱的中点，记为过三点所作该正四棱柱的截面，则下列判断正确的是（

）A．异面直线与直线所成角的余弦值为B．与平面的交线与平行C．截面为五边形D．点到截面的距离为【答案】ACD【分析】直线与直线所成角即为所求，在中求出可判断A；延长交延长线于，连接交于，延长交延长线于，连接交于，则五边形即为截面可判断C；与平面的交线，由，可得与不平行可判断B；求出的面积，设点到截面的距离为，根据，求出可判断D.【详解】对于A选项，如图，异面直线与直线所成的角，即为直线与直线所成角，连接，则即为直线与直线所成的角，在中，，，则，所以，所以A选项正确；对于C选项，延长交延长线于，连接交于，延长交延长线于，连接交于，则五边形即为平面截该四棱柱得到的截面．即截面为五边形，所以C选项正确；对于B选项，与平面的交线即为，根据左右两侧面平行和面面平行性质知，又，，所以与不平行，