黑龙江省北安市实验中学2017-2018学年高中数学人教版选修2-1第三章空间向量与立体几何单元测试

第三章章末测试题一、选择题1.下列说法不正确的是()．A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D.如果，与平面共面，且，，那么就是平面的一个法向量【答案】D【解析】【分析】根据平面法向量定义和性质逐项判断即可.【详解】对于A，根据平面法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A正确；对于B，一个平面的所有法向量与平面都垂直，∴都互相平行，故B正确；对于C，如果两个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理可以判断这两个平面也垂直，故C正确；对于D，如果与平面共面且，当共线时，不一定是平面的一个法向量，故D错误.故选：D.2.已知，且不共线，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量坐标求得，应用向量数量积运算律求，即可确定夹角大小.【详解】，则，因为不共线，则，所以，故它们的夹角为.故选：A3.已知A、B、C三点的坐标分别为，,，若，则等于()A.28 B.－28 C.14 D.－14【答案】D【解析】【分析】先求出＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)，再利用·＝0求出λ的值.【详解】＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)，∵⊥，∴·＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14，故答案为D【点睛】(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).4.若向量是空间的一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再对每一个选项逐一判断得解.【详解】由可得，因为，所以共面，故不能构成空间的一个基底，排除A；因为，所以共面，故不能构成空间的一个基底，排除B；因为，所以共面，故不能构成空间的一个基底，排除D；故答案为：C5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A.a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意l∥α，则•=0，分别计算A、B、C、D中•的值，判断正确选项．解：若l∥α，则•=0．而A中•=﹣2，B中•=1+5=6，C中•=﹣1，只有D选项中•=﹣3+3=0．故选D．点评：本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，是基础题．6.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是()A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】先求出，再计算出,所以2×1×cos<>=1,即得a与b所成的角.【详解】直线a,b的方向向量分别为,因为,所以,即2×1×cos<>=1,所以cos<>=,即<>=60°.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解法本题的关键是由得2×1×cos<>=1.7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且则m，n的值分别为()A.，－ B.－，－ C.－， D.，【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的线性运算化简得,比较系数得.【详解】由于，所以故选：A【点睛】本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－ C. D.【答案】B【解析】【分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．故选：B【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).9.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，E，F分别是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则点，所以||=.故选：C.10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为()A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，根据求出点E的坐标，再求＝(－，，)，最后求得点B到直线A1C的距离||＝.【详解】过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．因为，所以，解得，所以＝(－，，)，所以点B到直线A1C的距离||＝，故答案为B【点睛】(1)本题主要考查空间点到直线的距离的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求空间点到直线的距离，一般先作出点到直线的垂线段，再求该垂线段的长度.11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以D为坐标原点，，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】如图，以D为坐标原点，，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.设平面的法向量为，则，即，得，令，则，所以点E到平面的距离为．故选：C12.如图所示，正方体中，E，F分别是正方形和的中心，G是的中点，设GF，与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于()A.120° B.60° C.75° D.90°【答案】D【解析】【分析】取中点，由题可得，再利用正方体的性质及三角形相似即得.【详解】取中点，连接，因为是正方体，所以，所以分别是与所成角，则．设正方体的边长为1，则．由正方体可得面，面，从而有．因为，所以，从而可得，即.故选：D.二、填空题13.已知是轴上的动点，当取最小值时，点的坐标为__________．【答案】##【解析】【分析】设，求出，再利用二次函数求出函数的最小值和此时点的坐标.详解】设，则，，∴当时，取最小值，此时点的坐标为．故答案为：14.已知在正四棱台中，上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，侧棱与下底面所成的角均为60°，则异面直线与所成角的余弦值为___________.【答案】##【解析】【分析】根据正四棱台的几何特征可以的交点为坐标原点建立空间直角坐标系，分别表示出直线与的方向向量，利用空间向量即可求出结果.【详解】连接交于点，连接交于点，连接，则平面；因为平面，所以；又底面是正方形，所以，即；所以两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：因为，，所以.易知平面平面，所以为侧棱与底面所成的角，即，.设棱台的高为，则，解得；所以，可得，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：15.三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为________________．【答案】45°##【解析】【分析】求出∠PAE＝45°，再证明∠PAE为直线PA与平面ABC所成角，即可得解．【详解】∵AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BC＝，∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，取BC边中点E，连接PE，AE，则PE＝，AE＝，又PA＝1，∴PE⊥AE，故∠PAE＝45°，∵E为BC中点，∴PE⊥BC，又AE平面ABC，BC平面ABC，BC∩AE＝E，∴PE⊥平面ABC，∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角．则直线PA与底面ABC所成角的大小为45°．故答案为：45°．16.已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．【答案】【解析】【分析】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．再求出＝＋＋，平方即得||＝．【详解】过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1．由于＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，∴||＝．故答案为【点睛】（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间向量的模.三、解答题17.若是三个不共面向量，则向量是否共面？请说明理由．【答案】共面【解析】【分析】设,再把已知代入得，解方程即得λ1＝，λ2＝－，所以共面.【详解】设，则⇒λ1＝，λ2＝－．即．∴共面．18.如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且．（1）求证：平面ACF：（2）求点B到平面ACF的距离．【答案】（1）证明见详解.（2）.【解析】【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明与平面的一个法向量重合来证明平面.（2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.【小问1详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则,设面一个法向量为，，可得，即，不妨令则,平面.【小问2详解】，则点到平面的距离为.19.如图，在四棱锥中，平面平面；，，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）连结，在直角梯形中，由勾股定理证明，再证平面平面，从而平面；（2）在直角梯形中，证明，再证平面.作于的延长线交于，连结，证明平面，从而可得是直线与平面所成的角.在中，求，在中，求，在中，求，即得直线与平面所成的角的正切值.（1）连结，在直角梯形中，由，得，由得，即，又平面平面，从而平面.（2）在直角梯形中，由，得，又平面平面，所以平面.作于的延长线交于，连结，则平面，所以是直线与平面所成的角.在中，由，，得，，在中，，，得，在中，由，得，所以直线与平面所成的角的正切值是.考点：空间点、线、面的位置关系，线面所成的角.20.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．（1）求证：FC∥平面EAD；（2）求二面角A－FC－B的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面FBC∥平面EAD，即证明FC∥平面EAD；（2）建立坐标系，利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．【小问1详解】∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∴AD∥BC，DE∥BF．∵BC⊂平面FBC，AD⊄平面FBC，BF⊂平面FBC，DE⊄平面FBC，∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD．【小问2详解】连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，