2022-2023学年高二物理竞赛课件：振动习题

振动习题课件15-1如图所示，绝热容器上端有一截面积为S的玻璃管，管内放有一质量为m的光滑小球作为活塞。容器内储有体积为V、压强为p的某种气体，设大气压强为p0

。开始时将小球稍向下移，后放手，则小球将上下振动。如果测出小球作简谐振动时的周期T，就可以测定气体的比热容比热容比γ。试证明：(假定小球在振动过程中，容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程)π4γVmp2=2S4T2返回结束解：在静平衡时：当小球下降x(任意位置)时：0pp1mgxox静平衡位置任意位置由上两式可得到：设过程是绝热的，所以：Vx1=VSgm0+=SpSp1()=VγpγxVSp=VγpVγ11pdxdt22m=SpS1p0+dxdt22m=SpSmg1p返回结束=pVγx1S1()=pVγpγxVS+1γVxS»=p+1γVxSVxS<<∵++=1Vγx1S1γVxS...∴1()=pVγγxVSp1=pVγx1Sp返回结束1p=p+1γVxS=dxdt22m前面已得到：+=dxdt22mpSγVx20=ω2mpSγV2=ωmpSγV2=TωmpSγV2π2π4γVmp2=2S4T2=SpS1pSp+1γVxSSpdxdt22m=SpS1p返回结束15-21660年玻意耳把一段封闭的气柱看成一个弹簧，称为“空气弹簧”如图所示，有一截面积为S的空心管柱，配有质量为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为p，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活塞将作上下振动，求系统的固有角频率。可利用这空气弹簧作为消振器。phm返回结束gm0+=SpSpx0+ddt22m=SpSmg1pVpV1p=1解：在静平衡时：当活塞下降x(任意位置)时：设过程是等温的V1hx()=SVh=Sdxdt22m=SpS1p由上两式得到：静平衡位置任意位置xxo0pp1mgp1p=hx()ShS返回结束p1p=hx()ShSp=x()h11px()h1»+()hx<<∵dxdt22m=SpS1pdxdt22m=SSppx()h1+dxdt22m=Spxh+0m=Sphω=mhgm0+Spp1=hx()hp返回结束15-3设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度ρ=5.5×l03kg/m3的均匀球体。试证:(1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动；

(2)物体由地球表面落至地心的时间为(提示，物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似)πρ3Gt=41式中G是引力常量。返回结束FGmr=M2Gr=M2.ò=KòSdSKπ2r4=GrM2π2r4=GMπ4.ò=KòSdSKπ2r4ρ=Gπ4π3r43.πρ=G4r3KmK=F解：由万有引力定律：和静电场类似，引入万有引力场场强K和静电场类似，引入引力场的高斯定理在地球内部作一半径为r的高斯面得到该处的场强：返回结束ρ=Gπ4r3K=FmK=mρGπ4r3dxdt22m=+0ρGπ4r3drdt22==ωρGπ43=Tωπ2=tT4=πρG3=πρG341=1267s3×3.146.67×10-11×5.5×103=41ρGπ43=π2返回结束15-4一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度ω绕其竖直的直径旋转，圆环上套有一小珠。试求在Rω2>g的情形下，

(1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示);(2)小珠在平衡位置附近作小振动的角频率。返回结束mg=Ncosq0g=cosq0Rω21cosg=q0Rω2Nsinq0=ωmRsinq02+=qq0Δq解：(1)在平衡位置时(2)当小球偏离平衡位置时ωmRsinq2FI=

小球除了受正压力N，重力作用mg外，qNmgFI还受到一惯性力作用返回结束Δq=ddt22sin(q0+Δq)()Δqcos(q0+)ω2gRΔqsin(q0+)dv=ωmRsinqcosq2mgsinqmdt=ddtq22sinqcosqω2gRsinqd=mRdtq2Δq因为很小+Δqsin(q0+)cosq0sinq0Δq»Δqcos(q0+)sinq0cosq0Δq»将这两式代入上式可得：返回结束=ddt22Δq()()+cosq0sinq0Δqsinq0cosq0Δq()ω2gR+cosq0sinq0Δq()g=cosq0sinq0ω2Rsinq0()g+co