2020-2021学年焦作市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年焦作市高二上学期期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知全集为R,集合4={x|xNl},那么集合CR4等于()

A.{x\x>1}B.{x\x>-1}C.{x\x<1}D.{x\x<-1}

2.一个容量40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3),6；[25.3,25.6),4；[25.6,25.9),10；

[25.9,26.2),8；[26.2,26.5),8；[26.5,26.8),4；则样本在[25,25.9)上的频率为()

A.B.之C.；D.；

201024

y>x

3,已知实数居y满足有不等式组k+y42,且z=2无+y的最大值是最小值的2倍，则实数Q的值

X>a

是()

124

2---

A.B.253

4,等差数列{a"的公差为d，则数列{can}(c为常数且c40)是()

A.公差为d的等差数列B.公差为cd的等差数列

C.不是等差数列D.以上都不对

5.已知a>b>l>c>0,对以下不等式

①c。>cb

@Ca>C

③铲>仔

④ez>eE

⑤l0gc：>10gc：，

其中成立的是()

A.①②⑤B.②③④C.②③⑤D.③④⑤

6.已知十=(1,2,1),(2,—4,1),贝！I2N+E等于()

A.(4,-2,0)B.(4,0,3)C.(-4,0,3)D.(4,0,-3)

7.椭圆l(a>b>0)的左、右焦点分别是F「F2,以FI为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭

圆交于点P,若直线PF2恰好与圆Fi相切于点P,则椭圆的离心率为()

A老二B.直匚C.立D.V3-1

222

8.与直线,就-岁-4=顿和圆/书姬导乐-物=岫都相切的半径最小的圆的方程是（）

A.电：端电H康*=襄B.雅端工^什加^胡（=斗

C.绘x理*1:r寻题产=鬟D.>獭>皆顺产=到

9.8.下列命题为真命题的是

2^L：

A.已知〃，beR,则“-”是“4>0且》〈0”的充分不必要条件

ab

B.已知数列为等比数列，则"处<生<"'是的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面以，P,若两条异面直线?在，落满足泞手二。，打u,且微//p,为//<x,则

a//P

D.3x0e（-x,0）,使3%<4**成立

10.存在％>0,使得?+x-aW0,则实数a的取值范围是（）

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

11.在等比数列｛斯｝中，a3.%5是方程/一7%+12=0的两个根，则若的值为（）

A.+2V3B.2V3C.-2V3D.4

12.设阈，竭分别为双曲线n侬f*c%期海颂的左，右焦点.若在双曲线右支上存在一点辞,

满足阳匐=1弱蝴，且弱到直线璃的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）

D.-

2

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.定长为3的线段4B的端点在抛物线y2=x上移动，求线段48中点到y轴的距离的最小值为.

14.数列｛册｝中，的=1,a4=-55,且数列｛即+1｝为等比数列，则a?=.

15.已知三棱锥P-4BC的所有棱长都相等，且AB=2,点。在棱锥的高PH所在的直线上，PA、PB

的中点分贝为E、F,满足方=mOE+nOF+kOC>m,n,keR,且k6［一2,一勺，则|峦|

的取值范围是.

16.刘徽(约公元225年-295年)是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理武

论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注少和腐岛算经/是中国宝\\

贵的古代数学遗产.仇章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，\

得两邂堵.斜解蜜堵，其一为阳马，一为鳖腌.”刘徽注：“此术膈匚、

者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.”其实这里所c

谓的“鳖膈，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱

锥.如图，在三棱锥A-BCD中，力B垂直于平面BCD,AC垂直于CD,且AB=BC=CD=1,

则三棱锥4-BCD的外接球的球面面积为.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.命题p：函数f(x)=x2一依+2在(—8,1]上是减函数；命题q：不等式k/+依+1>o的解集

为R;若命题pvq为真命题，pAq为假命题，求实数k的取值范围.

18.在△ABC中，内角4,B,C,的对边分别为a,b,c,已知向量隹=(cosy,-siny),n=(cospsin^),

且满足|沆+利=y/3

(1)求角4的大小；

(2)若b+c=V5a，判断△ABC的形状.

19.如图，在直三棱柱4BC-4BiG中，乙4cB=90。，E,F,G分

别是441，AC,BBi的中点，且CG_LC[G.

(I)若。为BE的中点，求证：。尸，平面为C1G；

(口)若AC=4,BC=2,求平面BEF与平面BIGCB所成角的正弦值.

20.(本小题满分13分,(I)小问6分，(口)小问7分)已知正项等比数列强，满足:

:%5=4逊H■通=翼.

(I)求数列感治导的通项公式；

•第

(口)若敏=求数列摩蜷的前事项和•鼠.

号,蟒书取怎

21.在平面直角坐标系xOy中，尸是抛物线C：/=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象

限内的任意一点，过M,F,。三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为

翎

(1)求抛物线C的方程.

(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明

理由.

22.已知椭圆C：捻+《=l(a>b>0)的离心率为彳，四个顶点围成的四边形的内切圆半径为争

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设居，尸2的左、右焦点，过尸2作直线交椭圆于M、N两点，求三角形MN0面积的最大值及取得最

大值时直线MN的方程.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：••・全集为R,集合4={x|x?l},

CRZ={x|x<1).

故选：C.

根据全集R及4,求出力的补集即可.

此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键.

2.答案：C

解析：

解：[25,25.9]包括[25,25.3],6；

[25.3,25.6],4；

[25.6,25.9],10；三组数据,

•••频数为6+4+10=20,

••濒率嗡=1.

故选C.

根据所给的样本数据分组后组数与频数，看出在所求的样本区间所包含的数据个数，用数据个数除

以样本容量得到样本在[25,25.9)上的频率.

本题考查频率分布，这种问题的运算简单，解题时若不出现笔误则不会丢分，同学们解题时一定要

细心，认真的对待每一个问题.

3.答案：B

联立得4(a,a),

联立｛1y=2,得8(1,1)，

化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,

由图可知Zmax=2xl+l=3,zmin=2a+a=3a,

由6a=3,得a=1.

故选：B.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得

最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值.

本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

4.答案：B

解析：解：设bn=ca”，

则垢+i-bn=can+1-can=c(即+1-a„)=cd.

.・.数列｛can｝是公差为cd的等差数列.

故选：B.

本题考查等差数列的定义，是基础题.

设%=can,由等差数列的定义可得数歹U｛ca“｝是公差为cd的等差数列.

5.答案：C

解析：解：①Ta>b>1>c>0,c。<c〃，.•.①错误.

111

②<-成立

-->CD

a匕

@va>h>l>c>0,-4>1,即G)a>G)b成立.

④a>b>1>C>0,.•.£>1,i<i,.­.(|)<(i)t④错误.

⑤④a>h>1>c>0,0<~<P,ogc：>logc",成立.

故成立的是②③⑤，

故选：C.

分别根据指数函数和对数函数的单调性即可得到结论.

本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键.

6.答案：B

解析：

本题考查了向量坐标运算，属于基础题.

利用向量数乘和加法的坐标运算即可得出.

解：2a+b=2(1,2,1)+(2,-4,1)=(4,0,3)，

故选：B.

7.答案：D

解析：解：根据题意，椭圆条+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别是B，

以后为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P,

故圆的半径r=c,由RtZiPFzFi得，4c2=c2+(2a-c)2,

得c?+2ac—2a2=0,即e2+2e—2=0,

解得e=V3—1>

故选：D.

根据题意，得到RtAPFzFi，且4c2=c2+(2a—c)2,化简两边除以a2,转化成离心率的方程，解

出即可.

本题考查椭圆的简单性质，解方程求离心率，考查转化思想以及计算能力，中档题.

8.答案：C

解析：试题分析：由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求

圆的半径.

考点：直线与圆的关系.

9.答案:C

解析：

选项「中，《+w-2=《+*+2=0+以=。。/〈。是已^且^④的必要不

ababab

充分条件，所以4错；

选项3中，由为<%<小得］勺或彳:,，可以推出出<。5；但若则该

q>10<g<1

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,-1,1,-1,1,-1……，此时推不出为<%<生,

4孙44

所以3错；选项。中，当x0<0时，—=(-)x«>(-)°=l«>3x«>4XS所以。错.

故答案为C.

10.答案：B

解析：

本题考查了基本不等式及其应用，属基础题.

问题转化为a>（x+^min,再用基本不等式求最小值.

解：>0,使得?+x—aW0,等价于a2（%+

•••X+：22，T1=2,（当且仅当x=l时取等）

故a>2,

故选：B.

11.答案：B

解析：解：・•・在等比数列｛斯｝中，。3、的5是方程/一7%+12=0的两个根，

•*,a3a15==12,

・・.螫”=a9=>/12=2V3.

故选：B.

利用韦达定理、等比数列的性质求出a3a15=谒=12,再由箕=。9,能求出结果.

本题考查等比数列的运算，考查韦达定理、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学

核心素养，是基础题.

12.答案:A

解析：试题分析：依题意|猾|=|端匐，可知三角形，巡鼐是一个等腰三角形，焉在直线瑞的投

影是其中点，根据双曲定义可知|瑞鸣|=函牌匐=觊皆/蠲|=“丑甯由勾股定理可知

阈闻"=蒯滞演刊善媛=整■济整理得对-罢甑一盘铲=领，即鸳》一甥±-普=1配即

题渐

氤

热鲍一有=就，解得度=士，故选：A.

3;

考点：双曲线的性质.

13.答案：7

解析：解:设4（X1，%）802，丫2）

抛物线丫2=%的线准线％=-；，

所求的距离为:

S=l审I

,11,1

Xi+4+%2+41\AF\+\BF\1

——=-----------——

2--42-------4

(两边之和大于第三边且4B,F三点共线时取等号)

.|i4F|+|BF|1\AB\1_31_5

24—24244

故答案为：2,

先设出4B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线

的定义结合两边之和大于第三边且4B,F三点共线时取等号判断出空产的最小值即可.

本小题主要考查抛物线的简单性质、利用不等式求最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形

结合思想、化归与转化思想.属于中档题.

14.答案：—7

解析：解：•.数•列｛Qn｝中，即=1,。4=一55,且数列｛册+1｝为等比数列，设其公比为q,

则Q4+1=(%+l)q3,

即-54=2q3,解得q=-3,

***a2+1=(%+1)x(—3)=—6,

=-7,

故答案为：-7.

设等比数列的公比为q,依题意可得-54=2q3,解得q=一3,从而可得a2+1=-6,于是可得答

案.

本题考查等比数列的性质与通项公式，求得等比数列｛斯+1｝的公比是关键，属于中档题.

15.答案：住曲

解析：解：由丽=m南+n罚+k能，m,n,k&R,

得同=m的+n而+k万

=m(PO-PE)+n(PO-而)+k(PO-OC)，

_mPE+nPF+kPc

m+n+k-1

p

•・•点。在正四面体的高上，且E、尸分别为P4、PB的中点,

■■m=n=2k,

―>mPE4-nPF+fcPC

PO=--------------------------

m+九+k—1

_kPA-i-k'PB^kPC

=5fc-l

k

=^—^(PA+PB+PC}

=占。3对

•••1万1=1d二|*|而|

oK—i

k2V6

5F^|X3X—

2连

Me［一3力,

.•.I同|e吟片］,

故答案为：吟，汽

根据题意，表示出向量诃、OE.OF^OC，

再根据向量相等，列出方程求出m、n,k的关系，

从而求出|赤|的取值范围.

本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，也考查了空间想象能力、计算能力与逻辑思维能力,

是较难的题目

16.答案:37r

解析：

取4。的中点0,连结OB、0C.由线面垂直的判定与性质，证出4B1BD且

AC1CD,得到△48。与aACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出

OA=OB=OC=OD=^AD,所以A、B、C、。四点在以。为球心的球面

上，再根据题中的数据利用勾股定理算出4。长，即可得到三棱锥4-BCD外

接球的半径大小即可.

本题已知三棱锥的底面为直角三角形，由它的外接球的半径.着重考查了线面垂直的判定与性质、

勾股定理与球内接多面体等知识，属于中档题.

解：取4D的中点0,连结08、0C

•••ABJ"平面BCD,AB1BD,

1

又CDJLAC,「0C是/?£△4DC的斜边上的中线，0C=y4£).

同理可得：RtAABD中，OB=^AD,

0A=OB=OC=OD=1AD,可得4、B、C、D四点在以。为球心的球面上.

RtAABD中，4B=1且80=鱼，可得40=百，

由此可得球。的半径/?=3，

2

即三棱锥4-BCD外接球的球面面积为S=4TTR2=37r.

故答案为：37T.

17.答案：解：若命题p为真命题，则对称轴即kN2；

若命题q为真命题，①当A=0时，命题显然成立；

②当k¥0时，欲使不等式成立，则《2：°4k<o,即：0<k<4；

二若命题q为真命题，贝l10Wk<4；

•・,命题pVq为真命题，pAq为假命题，

k>2

{k<0^k>4,即卜"；

②当p假q真，则{晨久7即°小<2；

综上所述：OSk<2或kN4.

解析：先假设p,q均为真命题求出其范围，在利用pvq为真，pAq为假分类讨论即可求解.

本题考查了复合命题的真假，考查学生的分析能力，计算能力；属于中档题.

18.答案：⑴解：因为|m+n|=V5，|m|=l，|n|=l所以有mn=：,

由向量运算得COSycos^-sinysin^=|

所以cosg+今=%即有sin?=%

因为在三角形中有Ae[0,利所以4=*

(2)因为b+c=V3a,

由正弦定理得sEB+sinC=y/SsinA,

所以sin(120°-C)+sinC=整理得在cosC+-sinC=-

2222

所以sin(C+30°)=y,所以C+30O=60。或C+30°=120°,

所以得到C=30。或C=90°,

所以△ABC为直角三角形.

解析：(1)由|m+=V5，得有mn=g,由向量运算得sing=±即可求得4.

(2)由正弦定理得sinB+sinC=V3sinA>即sin(120°—C)+sinC=|,整理得4cosc+jsinC=|>

即可求出C.

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦

定理的综合应用，属于中档题.

19.答案：证明：(I)连接4G,贝必G与BE交于点D,

在△ACG中，DF是中位线，1•.DF//GC,

•••在直三棱柱4BC-&B1C1中，CiClaG，

“CiBi=/.ACB=90°,

二C$i_LAiG，

又BICIDCCLa,Z?iGc平面BCCB.Cau平面BICCB.

则&G_L平面BICCB,

CdC平面31ad'B.A|G.LC'Ci)

又CG1QG,GGCAiCi=Cl,GGc平面力iGG..%C|c平面ASG

CG_L平面4GG,

•••DFJ"平面4iC]G.

解：(II)在平面BiQCB中，ACGG是等腰直角三角形，则CQ=2BC=4,

分别以4C、BC、。的为光轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

贝儿(0。0),5(0,2,0),F(2,0,0),E(4,0,2),

.-.EF=(-2,0,-2)>BF=(2,-2,0).

设平面BEF法向量元=(x,y,z)

..I，］(n-EF=-2x—2z=0

(n-BF=2x-2y=0'

取x=l,则y=l,z=-l,得元=

平面BiGCB的一个法向量而=(2,0,0)，

设平面BEF与平面BiGCB所成角为0,

则cos。='^覆=sine=11-(―)2=—

・•・平面BE尸与平面&CiCB所成角的正弦值为争

解析：本题考查线面垂直的证明，考查面面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题,

注意向量法的合理运用.

(I)连接4G,贝IJAG与BF交于点D,DF//GC,证明&G，平面8道道8,可推导出&C]1CG,再结

合CG1C1G,从而CG上平面为C1G,可证。尸J"平面&GG.

(口)分别以AC、BC、CC】为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BEF与平

面4GCB所成角的正弦值.

20.答案：⑴%―通=品・

解析：试题分析：(I)设正项等比数列展侬的首项为瓯，公比为智，则由%=q嶙升竭=贽列方

程组，并解出魂和颦的值，从而得到数列侬嘘的通项公式；

（口）由（i）得时=今产=”.得％=•・”去乔=Ad-右）于是可用拆项

醺“麟#可•&,,次:-毕2:也取a制濯普工

法求数列蹈燔的前晚项和＜.

试题解析：（I）设正项等比数列£码j的首项为豌，公比为甯，则由％=生艰开码=留得

卜绳-零"=4’懒=工

''"'u.,，由于觑那僦意％颂解得4财皿，

|甯挈“汗婷=舞",J=S

所以迎=就“#小=曾口6分

13分

考点：1、等比数列：2、裂项法求数列的前制项和.

21.答案：（1）/=2y.（2）存在点“（0，1）

解析：（1）依题意知F；1虬£；,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=雪上.

R.篝，q

因为抛物线C的准线方程为y=-遵，所以整=W,即p=L

居44

因此抛物线C的方程为/=2y.

（2）假设存在点M「航”e1（%。＞0）满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为VI%=&=1111%=

k.■■浦⑴

%0=%0，所以直线MQ的方程为y-2=Xo（x-

吸

令y