高中数学必修1第二章教案

第二章基本初等函数（I）

本章教材分析

教材把指数函数、对数函数、幕函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象

的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型

的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.

本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数'幕的意义，通过具体实

例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算;理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=ax的符号及

意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单

调性、值域、特别点），通过应用实例的教学，体会指数函数是•种重要的函数模型;理解对数

的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然

对数,通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数，直观了解对

数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log;,x的符号及意义，体会

对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了

解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）；知道指数函数产a'与对数函数y=logax

互为反函数（a>O,a¥l）,初步了解反函数的概念和J（x）的意义;通过实例了解幕函数的概念,

结合五种具体函数y=x,y=x2,y=x3,y=x',y=x^的图象，了解它们的变化情况.

本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数

图象的观察，归纳得出•般图象及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方

法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.

教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想

素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能

联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与

指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想.

建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,

目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓

展.教材对基函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幕函数，并且安排的顺序

向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指

数函数的动态图象，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑

绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生

认真研读.

2.1指数函数

2.1.1指数与指数第的运算

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数嘉的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾

平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数.进而推

广到有理数指数，再推广到实数指数，并将哥的运算性质由整数指数辖推广到实数指数帚.

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子:GDP的增

长问题和碳14的衰减问题.前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幕，也让学生感

受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,

激发学生探究分数指数帚、无理数指数幕的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数基运算律的推广）、类比

的思想、逼近的思想(有理数指数累逼近无理数指数基)、数形结合的思想(用指数函数的图象

研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学

情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幕的概念，进而学习指数幕的性质.掌握分数

指数塞和根式之间的互化，掌握分数指数基的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.

2.掌握根式与分数指数幕的互化，渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,

一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

3.能熟练地运用有理指数慕运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算

能力.

4.通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幕的运算性质.展示函数图象，让学生通过观察,

进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美.

重点难点

教学重点：

(1)分数指数募和根式概念的理解.

(2)掌握并运用分数指数嘉的运算性质.

(3)运用有理指数嘉性质进行化简、求值.

教学难点：

(1)分数指数惠及根式概念的理解.

(2)有理指数毒性质的灵活应用.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时指数与指数塞的运算⑴

导入新课

思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它

们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题

我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指

数函数——指数与指数幕的运算.

思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方

根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数暴的运算.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢？

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

(4)可否用一个式子表达呢？

活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类

比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广，相互交流讨论后

回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维.

讨论结果：

⑴若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如:4的平方根为±2,

负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如:-8的立方根

为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五

次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.

(4)用一个式子表达是，若x"=a,则x叫a的n次方根.

教师板书n次方根的意义：

一般地，如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n>1且nGN*.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出问题

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).

①4的平方根；②士8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；

⑥0的7次方根；⑦武的立方根.

(2)平方根，立方根,4次方根,5次方根,7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特

点?4,±8,16,-32,32,0K分别对应什么性质的数,有什么特点？

(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零,结论有一个的，也有两个

的，你能否总结一般规律呢？

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的

n次方等于a,及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写来,观察数的特点，对问题

(2)中的结论,类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生

提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：

(1)因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5

次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a1所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32

的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,的立方根分别是±2,±2,±2,2,204.

(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看，这些数包括正数，负数和零.

(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次

方根都是0.

(4)任何•个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶

次方是一个负数.

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

①当n为偶数时,a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用我表示,如果是负数,

负的n次方根用-〃'表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成士储(a>0).

②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用

符号后表示.

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示：

、—0/〃为奇数,a的〃次方根有一个为〃'，

a为正数_

"为偶数，。的〃次方根有两个为土低.

“启拓［〃为奇数，。的〃次方根只有一个为近，

1〃为偶数，。的〃次方根不存在.

零的n次方根为零,记为血=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根,零的任

何次方根，这样才不重不漏,同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根,立方根,4次

方根等，看是否有意义,注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题.

解答：答案不唯一，比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为汇万,而-27

的4次方根不存在等.其中07也表示方根，它类似于,片的形式，现在我们给式子'4a•个

名称——根式.

根式的概念：

式子后叫根式，其中a叫被开方数,n叫根指数.

如47中,3叫根指数,-27叫被开方数.

思考

行表示a"的n次方根，等式加7=a一定成立吗？如果不一定成立，那么我7等于什么？

活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论.教师点拨,

注意归纳整理.

（如#（—3）3=V^7=3,y（—8）4=卜8|=8）.

解答：根据n次方根的意义，可得:（心）』.

通过探究得到：n为奇数，叱=a.

n为偶,,数,"—〃=间=1a>0,

-a,a<0.

因此我们得到n次方根的运算性质：

①（心）'F先开方，再乘方（同次），结果为被开方数.

②n为奇数，叱=a.先奇次乘方,再开方（同次），结果为被开方数.

n为偶数，叱=|a|=aj"'""0'先偶次乘方,再开方（同次），结果为被开方数的绝对值.

-a,a<0.

设计感想

学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式

的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例,根式立'的讲

解要分n是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>O,a<O,a=O三种情况，并结合具体例子

讲解,因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要

用多媒体信息技术服务教学.

(设计者：路致芳)

第2课时指数与指数塞的运算(2)

导入新课

思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳

后进入所有活组织，先为植物吸收,再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸

收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14,其组织内的碳14

便以约5730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的

含量，便可推断其年代(半哀期:经过•定的时间，变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数

幕的运算之分数指数事.

思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数塞及其运算性质，那么整数指数基是否可以推广

呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数帮的运算之分

数指数幕.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)整数指数幕的运算性质是什么？

(2)观察以下式子，并总结出规律：a>0,

____10

①=。02)，=a2=a5;

②==a，=a5;

____12

③V^12==a3=a4;

④飞a'。=y(a5)2=a5=a2.

(3)利用⑵的规律，你能表示下列式子吗？

V?",(x>0,m,n£N［且n>l).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

(5)你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数哥及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步

的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类

比(2)的规律表示，借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励

提示.

讨论结果：⑴整数指数事的运算性质：an=aaa；.aa°=l(a#));0°无意义；

an=t(a^O);am-an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a?是a的5次方根；②是a®的2次方根；③是aI？的4次方根；④a'是@1°的2次

____[08____12____10

方根.实质上①证=a'②J^=a5,③讶=a%④疗=a^结果的a的指数是2,4,3,5

分别写成了色,目，丝，竺，形式上变了，本质没变.

5245

根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以

写成分数作为指数的形式(分数指数幕形式).

(3)利用(2)的规律,VF=54,V7?=7\V^?=a5,VF=x".

357m

(4)53的四次方根是54,75的三次方根是7与‘a’的五次方根是4"1的n次方根是x,

结果表明方根的结果和分数指数寒是相通的.

mm

(5)如果a>0,那么a"1的n次方根可表示为(["W7,即a7=Vam(a>0,m,neN\n>l).

综上所述，我们得到正数的正分数指数幕的意义，教师板书：

n

规定:正数的正分数指数幕的意义是am=y[am(a>0,m,neN*,n>l).

提出问题

①负整数指数基的意义是怎样规定的？

②你能得出负分数指数嘉的意义吗？

③你认为应怎样规定零的分数指数基的意义？

④综合上述，如何规定分数指数基的意义？

⑤分数指数基的意义中，为什么规定a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果？

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数基的运算性质是否也适

用于有理数指数暴呢？

活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数基的意义和负

整数指数新的意义来类比,把正分数指数基的意义与负分数指数幕的意义融合起来，与整数指

数基的运算性质类比可得有理数指数'幕的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具

体的实例说明a>0的必要性,教师及时作出评价.

讨论结果：①负整数指数幕的意义是:a.=-!-(arO),neN*.

an

②既然负整数指数暴的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数塞的意义可得正数的负分

数指数募的意义.

」11

规定:正数的负分数指数幕的意义是a"=——=—j=(a>0,m,neN\n>1).

11"/c加

am"

③规定:零的分数指数基的意义是:零的正分数次幕等于零，零的负分数指数界没有意义.

④教师板书分数指数幕的意义.分数指数幕的意义就是：

n___

正数的正分数指数'幕的意义是a7=〃£(a>0,m,nGN",n>l),正数的负分数指数基的意义是

--11

a时=」一=3包>0,111,11£产,11>1),零的正分数次第等于零,零的负分数指数事没有意义.

a","

⑤若没有a>0这个条件会怎样呢？

如(-1)3=3-1=1,(-1)6=65)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分

数指数痔在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零,

2

如无a>0的条件，比如式子3a2=间5,同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时,应把负

号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数累，也就是说，负分数指数基在有意义的情况

下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上.

⑥规定了分数指数'幕的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

有理数指数基的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：

(1)a'-as=a's(a>O,r,s£Q),

(2)(ar)s=ars(a>O,r,sGQ),

(3)(a-b)r=arbr(a>O,b>O,reQ).

我们利用分数指数事的意义和有理数指数嘉的运算性质可以解决一些问题，来看下血的例题.

设计感想

本节课是分数指数基的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复

理解分数指数累的意义，教学中可以通过根式与分数指数嘉的互化来巩固加深对这一概念的

理解,用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练

习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.

(设计者：郝云静)

第3课时指数与指数塞的运算(3)

导入新课

思路1.

同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就

推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数塞呢?回顾数的扩充过

程,自然数到整数，整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程

中，增添的数是——实数.对无理数指数塞，也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内

容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数基的运算(3))之无理数指数幕.

思路2.

同学们，在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解，到了高中,我们又对函数

的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二

次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的

发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们

必须学习实数指数界的运算性质，为此，我们必须把指数累从有理数指数幕扩充到实数指数新,

因此我们本节课学习:指数与指数骞的运算(3)之无理数指数幕，教师板书本堂课的课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①我们知道=1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421,…，是血的什么近似值?

而1.42,1.415,1.4143,1.41422,...,是正的什么近似值？

②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律?

J2的过剩近似值55拉的近似值

1.511.18033989

1.429.82935328

1.4159.750851808

1.41439.73987262

1.414229.738618643

1.4142149.738524602

1.41421369.738518332

1.414213579.738517862

1.4142135639.73817752

5上的近似值V2的不足近似值

9.5182696941.4

9.6726699731.41

9.7351710391.414

9.7383051741.4142

9.7384619071.414213

9.7385089281.414213

9.7385167651.4142135

9.7385177051.41421356

9.7385177361.414213562

③你能给上述思想起个名字吗?

④个正数的无理数次幕到底是个什么性质的数呢?如5'历，根据你学过的知识，能作出判

断并合理地解释吗？

⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？

活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生,学生有困惑时加以解

释,可用多媒体显示辅助内容：

问题①从近似值的分类来考虑，一方面从大于后的方向，另一方面从小于正的方向.

问题②对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看,注意其关联.

问题③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近.

问题④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释.

问题⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般.

讨论结果：①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…这些数都小于正，称、历的不足近似值，而

1.42,1.415,1.4143,1.41422,...,这些数都大于O，称41的过剩近似值.

②第一个表:从大于Ji的方向逼近正时,5企就从52,5叱5⑷M⑷4讨.4”22,…,即大于52

的方向逼近5«.

第二个表:从小于2的方向逼近正时,5&就从514541,574,5742,5"1421,…，即小于5女

的方向逼近5&.

从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面5衣从

5'4,5'Al,5'4\4,5]4l425*1421,…，即小于5&的方向接近5拉，而另一方面5拒从

5",5®,5⑷5,51.4143,5⑷422,…,即大于5亚的方向接近5可以说从两个方向无限地接近5夜,

即逼近5拉，所以5是一串有理数指数幕5'A,5'41,5'A\4,5'A\42,5L41421,…,和另一串有理

数指数第52S"15⑷55-4⑷,5卬422,.,按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点

从两个方向向表示5、巧的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是5忘一定

是一个实数，即51-4<5141<51414<514142<5141421<...<575<...<5141422<514143<51415<5142<51\

充分表明5&是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识.

④根据②③我们可以推断5&是一个实数,猜测一个正数的无理数次幕是一个实数.

⑤无理数指数嘉的意义：

一般地，无理数指数导a。（a>0,a是无理数）是一个确定的实数.

也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在

数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数界的意义，知

道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数累，那么，指数事就从有理数指数辕扩充到实

数指数幕.

提出问题

（1）为什么在规定无理数指数累的意义时，必须规定底数是正数？

（2）无理数指数毒的运算法则是怎样的?是否与有理数指数塞的运算法则相通呢？

（3）你能给出实数指数基的运算法则吗？

活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比,归纳.

对问题（1）回顾我们学习分数指数幕的意义时对底数的规定，举例说明.

对问题（2）结合有理数指数痔的运算法则，既然无理数指数嘉aa（a>O,a是无理数）是一个

确定的实数，那么无理数指数幕的运算法则应当与有理数指数幕的运算法则类似，并且相通.

对问题（3）有了有理数指数幕的运算法则和无理数指数事的运算法则,实数的运算法则自然

就得到了.

讨论结果：（1）底数大于零的必要性，若a=-l,那么a”是+1还是-1就无法确定了，这样就造成

混乱，规定了底数是正数后,无理数指数塞a"是一个确定的实数,就不会再造成混乱.

(2)因为无理数指数寨是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行寒的运算，有理

数指数第的运算性质，同样也适用于无理数指数基.类比有理数指数第的运算性质可以得到无

理数指数基的运算法则：

@a'-as=ar+s(a>O,r,s都是无理数).

0(ar)s=an(a>O,r,s都是无理数).

@(a-b)r=a'br(a>O,b>O,r是无理数).

(3)指数基扩充到实数后，指数累的运算性质也就推广到了实数指数塞.

实数指数幕的运算性质：

对任意的实数r,s,均有下面的运算性质：

①a'：a'=a"、(a>O,r,seR).

(2)(ar)s=ars(a>0,r,sSR).

③"1)>=斜1>0,1>>04€R).

设计感想

无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数哥

的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本

堂课内容较为抽象，又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的

思想、类比的思想，多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.

备课资料

富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言

富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针.这位美国著名的科学家死后留下了一

份有趣的遗嘱：

“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一些

挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些款

过了100年增加到131000英镑.我希望那时候用100000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的

31000英镑拿去继续生息100年.在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英镑，其中

1061000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3000000英镑让马萨诸塞州的公众来管

理.过此之后，我可不敢主张了！”

你可曾想过：区区的1000英镑遗产,竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”,还是

“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断.

y『m(l+a)n就是复利公式，其中m为本金,a为年利率,%为n年后本金与利息的总和.在第一个

100年末富兰克林的财产应增加到:yioo=1000(l+5%)"°=131501(英镑)，比遗嘱中写的还多出

501英镑.在第二个100年末，遗产就更多了：yioo=131501(1+5%严°=4142421(英镑).可见富

兰克林的遗嘱是有科学根据的.

遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌.威名显赫

的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！

1797年,拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰

西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花,以作两国友谊的象征.由于连年征战,

拿破仑忘却了这一诺言！1894年,卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要

求法国政府在拿破仑的声誉和1375596法郎的债款中，二者选取其一.这笔巨款就是三个金路

易的本金，以5%的年利率，在97年的指数效应下的产物.

(设计者：刘玉亭)

2.1.2指数函数及其性质

整体设计

教学分析

有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研

究指数函数的性质.

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子:GDP的增

长问题和碳14的哀减问题.前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幕，也让学生感

受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,

激发学生探究分数指数基、无理数指数基的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数嘉运算律的推广）、类比

的思想、逼近的思想（有理数指数幕逼近无理数指数基）、数形结合的思想（用指数函数的图象

研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学

情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握

指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.

2.让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力，

培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

3.通过训练点评，让学生更能熟练指数基运算性质.展示函数图象，让学生通过观察，进而研究

指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美.

重点难点

教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.

教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时指数函数及其性质（1）

导入新课

思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的二,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式，它是

4

函数关系式吗？若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的则至少要漂洗几次？教师

64

引导学生分析，列出关系式产（工）；发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位

4

置上，这样的函数叫指数函数，引出本节课题.

思路2.教师复习提问指数基的运算性质，并要求学生计算23,2°,2-2,16\273,49F.再提问怎样

画函数的图象，学生思考，分组交流，写出自己的答案8,1,工,2,9,1,先建立平面直角坐标系，再

47

描点，最后连线.点出本节课题.

1—

思路3.在本章的开头，问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［（—）573。「，如果我

2

1q

们用X表示时间,y表示碳14的含量，则上述关系可表示为y=[(万产3。]X,这是我们习惯上

的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数，我们称为指数函数，下面我们给出指数函

数的确切概念，从而引出课题.

推进新课

新知探究

提出问题

1.一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经

过x年后的剩留量y与x的关系式是.(y=0.84x)

2.某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推,一个这

样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是.(y=2x)

提出问题

(1)你能说出函数产0.84*与函数y=2x的共同特征吗？

(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念？

(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>O,a/l?

(4)为什么指数函数的定义域是实数集？

(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.

活动:先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答,教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学

生，引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的

问题集中解决.

问题(1)看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值.

问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.

问题(3)为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性.

问题(4)在(3)的规定下，我们可以把a*看成一个哥值，一个正数的任何次哥都有意义.

问题(5)使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断•个函数是否是•个指数函数,

紧扣指数函数的形式.

讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x-个值,y都有唯•确定的值和它对应,

再就是它们的自变量x都在指数的位置上，它们的底数都大于0,但一个大于1，一个小于1.0.84

与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x和y.

(2)对于两个解析式y=0.84'和产2:我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示，这样

我们得到指数函数的定义：

一般地，函数产aX(a>0,ari)叫做指数函数，其中x叫自变量，函数的定义域是实数集R.

(3)a=0吐x>0时,a*总为0;x<0时,a'没有意义.

a<0时，如a=-2,x=-,ax=(-2)2=R显然是没有意义的.

2

a=l时,a*恒等于I,没有研究的必要.

因此规定a>0,a户1.此解释只要能说明即可，不要深化.

(4)因为a>0,x可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R.

(5)判断•个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是

一个x且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数.

提出问题

(1)前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢？

(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤.

(3)利用上面的步骤,作函数y=2*的图象.

(4)利用上面的步骤,作函数y=(g》的图象.

(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特

点？

(6)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？

⑺把尸2*和尸(；户的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？

(8)你能证明上述结论吗？

(9)能否用尸2*的图象画y=(g)x的图象?请说明画法的理由.

活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法,

强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到•般的思想方法的运用,

渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象，同时投影

展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生，补充学生回答中的不足.学生独立思考,

提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流,

形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识.

讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般,一般要考虑函数的定

义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质.

(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象.

(3)列表.

X-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00

1]_]_

y=2x124

^842

作图如图2-1-2-1

图2-122

(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的，说

明是增函数，图象位于X轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1),且y值分布有以下特点,x<0

时0<y<l,x>0时y>l.图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是

偶函数.

通过观察图2122,可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的，说明

是减函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1),x<0时y>l,x>0时0<y<l.

图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数.

可以再画下列函数的图象以作比较，尸3\尸6\尸(-)\y=J)'.重新观察函数图象的特点，推

广到一般的情形.

(6)-搬地，指数函数产a*在a>l和0〈a〈l的情况下，它的图象特征和函数性质如下表所示.

图象特征函数性质

a>l0<a<la>l0<a<l

向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数

函数图象都在X轴上方函数的值域为R

函数图象都过定点(0,1)a°=l

自左向右,图象逐渐上升自左向右,图象逐渐下降增函数减函数

在第一象限内的图象纵坐在第一•象限内的图象纵坐

lx>O,ax>lx>O,ax<l

标都大于1标都小于

在第二象限内的图象纵坐在第二象限内的图象纵坐

x<O,ax<lx<O,ax>l

标都小于1标都大于1

一般地，指数函数y=a、在底数a>l及0<a<l这两种情况下的图象和性质如下表所示:

a>l0<a<l

x

y^=o(a>l)1

(0<a<l)\^

图象

0X0X

①定义演!c：R

②值域：(0,+8)

性质③过点(0,1)，即x=0时y=l

④在R上是增函数，当xVO时QVyVl;④在R上是减函数，当xVO时,y>l;

当x>0时,y>1当x>0时,0<yV1

(7)在同一坐标系中作出产2*和丫=(；》两个函数的图象，如图2-1-23经过仔细研究发现,

它们的图象关于y轴对称.

(8)证明:设点P(XM)是y=2x上的任意一点，它关于y轴的对称点是pGx.),它满足方程

产(；尸2",即点p(xi,y。在广(；户的图象上，反之亦然，所以y=2*和广(；了两个函数的图

象关于y轴对称.

(9)因为产2*和广(；户两个函数的图象关于y轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象，利

用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象,同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学

习非常有好处.

设计感想

本节课是在前面研究了函数性质的基础上，研究具体的初等函数,它是重要的初等函数，它有

着丰富的内涵，且和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的

概念讲解过程中，既要向学生说明定义域是什么，又要向学生交代，为什么规定底数a是大于

0而不等于1的,本节内容课堂容量大，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段,

顺利完成本堂课的任务.

(设计者：韩双影)

第2课时指数函数及其性质(2)

导入新课

思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数

函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要

讲的主要内容.教师板书课题.

思路2.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的

方法得出，在理论上，我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性，以便于我们在解题时应

用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).

应用示例

思路1

例1已知指数函数f(x尸a*(a>0且/1)的图象过点(3,1,求f(0),f(l)*3)的值.

活动：学生审题，把握题意,教师适时提问，点拨，求值的关键是确定a,•般用待定系数法，构建

■•个方程来处理，函数图象过已知点，说明点在图象上，意味着已知点的坐标满足曲线的方程,

转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax(a>0且arl)求a的值，进而求出f(0),f(l),f(-3)

的值，请学生上黑板板书，及时评价.

解：因为图象过点(3,兀)，

JI

所以氏3『3=兀,即a=?t5,f(x)=(”)'.

再把0,1,3分别代入，得

[0)=兀°=1,

f(l)=7Il=7t,

f(-3)=7t'=—.

兀

点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键，这是方程思想的运用.

例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.

活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规

定的格式书写.

证法一：设XgGR,且X1〈X2,则

y2-y1=aX2—ax।=axi(a'-x]-1).

x

因为a>l,x2-X1>0,所以a*2-xi>l,即a2-x,-l>0.

又因为*>0,

所以y2—yi>o,

即yi<y2.

所以当a>l时，尸a',xGR是增函数.

同理可证，当0<a<l时，产a*是减函数.

证法二：设xgGR,且X]<X2,则y2与yi都大于0,则力.

%«1

因为a>l,X2—xi>0,所以aX2~x,>1,

即立■>i,yi〈y2.

%

所以当a>l时，产a',xGR是增函数.

同理可证，当0<a<l时，产a'是减函数.

变式训练

若指数函数产(2a-l)*是减函数，则a的范围是多少？

田田1，

答案：一<a<l.

2

例3截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经

过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？

活动:师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,

教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规

律，最后解决问题：

1999年底人口约为13亿；

经过1年人口约为13(1+1%)亿；

经过2年人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2亿；

经过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%户13(1+1%)3亿；

经过x年人口约为13(1+1%户亿；

经过20年人口约为13(1+1%严亿.

解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则

y=13(l+l%)x,

当x=20时,产13(1+1%)2~6(亿).

答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.

点评：类似此题，设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(l+p);像

尸N(l+p)、等形如产ka'(kWR,a>0且存1)的函数称为指数型函数.

思路2

例1求下列函数的定义域、值域：

X

f——x2-2

(l)y=0.4->;(2)产3旧-|；(3)y=2+l;(4)y=——.

2,+1

解：(1)由x-1用得x，l,所以所求函数定义域为｛x|xrl｝.由x#0得y/1,

即函数值域为｛y|y>0且疗1｝.

(2)由5x-lK)得x[,所以所求函数定义域为｛x|xN』｝.山石二120得yNl,

所以函数值域为｛y|yNl｝.

（3）所求函数定义域为R,由2*>0可得2*+1>1.

所以函数值域为{y|y>l}.

⑷由已知得：函数的定义域是R,且（2*+1）产2*-2,即（y-l）2x=-y-2.

因为讲1,所以2X=-=v一—2.又X6R,所以—v一-2>0.解之，得

y-1y-1

因此函数的值域为{yH〈y<l}.

点评：通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的

定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性.

变式训练