数值分析课后部分习题答案

习题一(P.14)

1.下列各近似值均有4个有效数

字,X*=0.001425/=13.52u*=2.300,试指出它们的绝对误差和相

对误差限.

解X*=0.001428=0.1428x10-2有4个有效数，即”=4,m=-2

由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

1x10"n=-xl0-6,

22'

由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

_Lxl0(n-l)=lxl0-3.

2at2'

y*=13.521=0.13521x102有4个有效数，即〃=4,m=2

由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

-xlOmM=-xl02,

22'

由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

—xl0(n_1)=-xl0-3；

2at2'

z*=2.300=0.2300x1()1有4个有效数，即〃=4,m=l

由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

-xlO"H=-xl0-3,

22'

由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

——xl0-(n_1)=-xl0-3.

2.下列各近似值的绝对误差限都是;X10-3,试指出它们各

有几位有效数字.

x*=2.00021,y=0.032,z*=0.00052

解x*=2.00021=0.200021x101,即，"=1

由有效数字与绝对误差的关系得|xl0-=1xl0-3,

即m-n=-3?所以，〃=2；

1

y*=0.032=0.32X10,即帆=1

由有效数字与绝对误差的关系得|xl0-=1x10-,

即加一〃=一3,所以，〃二4；

Z*=0.00052=0.52x10-3,即m=-3

由有效数字与绝对误差的关系得|xl0-«=|xl0-3,

即m-n=-3,所以，n=0.

4.设有近似数x*=24Ly*=1.84,z*=2.35且都有3位有效数

字，试计算S=x*+y*z*,问S有几位有效数字.

解方法一

因x*=2.41=0.241x10',/=1.84=0.184x10',zs=2.35=0.235x10'都

有3位有效数字，即〃=3,m=l,则

k(x*)|<-xlO,n-H=-xl0-2,|e(v*)|<-xio,n-n=-xio-2,

2222

|e(Z*)|<-xlOm-n=-xl0-2,

22

|e(y*z*)|«|z*e(y*)+y*e(z*)|<z*|e(y*)I+y*Ie(z*)|

<2.35x-xl0-2+1.84x-xl0-2=2.095xlO-2,

22

=0.2595x10'<-xlO',,

2，

又x*+y*z*=2.41+1.84x2.35=0.6734x1(V,此时》i=l,m-n=-l,

从而得"=2.

方法一

因x*=2.41=0.241x10],y*=1.84=0.184x10]*=2.35=0.235x1()1都

有3位有效数字,即〃=3,机=1,则

,*、1*10-2

k(x*)|<-xiom-n=-xl0-2,

22x*2.41

/—x10~

./|。(y*)2

k(j*)|<-xiom-"=-xl0-2,W(y*)l=l*141,

22y*1.84M4

,八-xlO-2

k(z*)|<-xlO,n-H=-xlO-2,W(z*)|=l区。，u

22z,i2.35

\er(y*z*)|«|er(y*)+er(z*)I,

B(x*+/z*)忖3■°"*)+式高^"*加

2.41,,*、，1.84x2.35

<---------------------e,(x*)+-----------------------|er(j*)+er(z*)|

2.41+1.84x2.35r2.41+1.84x2.35

1x10-2L84x-xl0-22.35x110-2

<------------------4-------------------+------------------

2.41+1.84x2.352.41+1.84x2.352.41+1.84x2.35

<0.3854x10-2,<1_*io",

2，

由有效数字与绝对误差的关系得"=2.

5.序列9｝有递推公式

笫=10打-1-1,（〃=1,2，・一）

若为=四句.41（三位有效数字），问计算%的误差有多大，这

个计算公式稳定吗？

解用5表示典的误差，由为=正，L41,得/=0.0042,

由递推公式X,=10x,_l-l,（n=l，2,-）,知计算卅的误差为

%=0.42xlO8,因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，

这个计算公式不稳定.

习题2（P.84）

3.证明力以*）=,对所有的工

A=0

其中乙（*）为Lagrange插值奇函数.

证明令/（*）="则/（项）=1,

从而L“（X）=£?A（X）/（X&）=£?A（X）,

A=0A=0

又居"）=系界%

可得，"（*）=/（=）,从而为4（*A.

A=0

4.求出在x=0,L2和3处函数/（*）=炉+1的插值多项

式.

解方法一因为给出的节点个数为4,而/仅）。从

而余项

/■(A)

^(x)=^—^®4(x)=0,

于是《X)=/(X)-&(X)=f(x)=x2+l

(几次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成

立).

方法二因为二0)=L/(1)=2,/(2)=5,/(3)=10,

(x-l)(x-2)(x-3)=

°(0-1)(0-2)(0-3)6,

1(1-0)(1-2)(1-3)2'

x(x-l)(x-3)=_1x(x_1)(x_3)

2(2-0)(2-l)(2-3)2，

x(x-l)(x-2)=lx(x_1)(x_2

3(3-0)(3-1)(3-2)6'

2

从而x>Hx)7(40\I仅计QINx(O3(21=x+.

5.设/(x)wC2a刃且/(a)=/s)=o,求证

2

mSj|/(x)^5(ft-«)maxir(x)l.

证明因仆)=/S)=0,则4(x)=o,

从而f(x)=Rl(x)=J^-(x-a)(x-b),

/・

l

\色

芬x

a^—

6z

由极值知识得Xx/blx((<04-<Ivbl

6.证明△(/(x)g(x*)/&劣且传出/仅).

证明由差分的定义

A(f(x)g(x))=f(x+h)g(x+h)-/(x)g(x)

=[f[x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)]+[f(x)g(x+h)-/(x)g(x)]

=/(x)-Ag(x)+A/Cx)-g(x+h)

或着A(/(x)g(x^)/仅为注仅一九)f

=[f[x+h)g(x+h)-f(x+/t)g(x)]+[/(x+h)g(x)-/(x)g(x)]

=/(x+/z)-Ag(x)+AfCx)-g(x)

7.证明〃阶差商有下列性质

⑷如果方(x)=d(x),则歹[了0，/，,xii]=cf[x0,xl,，王

S)如果b(x)=/(x)+g(x),则

尸=/[4,巧，，茗』+矶，X/J

证明由差商的定义

3)如果JF(X)=</(X),则

*XXX]=**1，*2，，X”卜**0，/，，X"-J

0，'"£7。

cf[x^99‘巧''X〃-l

x-X

c/，X”]V[x(),Xi，，x”-i

-=cf[x^x^,xj.

%7。

(。)如果尸(X)=/(%)+g(x),则

jrrr]卜尸[%0,X]?,，％一1

网看,与，9xn]=——---------------------------

[/[再，*2，，x,」+矶/，*2，，x/i-iyixo,x”+g[x°,巧,

/卜],*2，,X"*0，*1,,X"[]+g[X],12，，X"]一皿X。，*1,，Xn-t

=f[x0,xx,，茗』+矶项”巧，，茗』

8.设/(x)=3，+4x4+3x+l,求/3「刃7，/啰,*,28].

解由P.35定理7的结论(2),得

7阶差商,27]=3(/(X)的最高次方项的系

数)，

8阶差商/啰,21,2)0(8阶以上的差商均等与0).

9.求一个次数不超过4次的多项式P(x),使它满足：

尸(0)=尸'(0)=0,尸⑴=尸'⑴=1,尸⑵=1.

解方法一先求满足插值条件求0)=。,P⑴=1,尸⑵=1的

二次插值多项式

13

1(x)=-插值基函数或待定系数法),

<P(x)=j»(x)+Ax(x-l)(x-2)+Bx2(x-l)(x-2)

132

——x*2+—x+Ax(x—l)(x—2)+JRX2(X—l)(x—2)

3

从而尸'(x)=4Bx3+(3A-9B)x2+(-6A+4B-l)x+(24+-),

2

?1

再由插值条件P'(0)=0,p⑴=1,得4=-15=w，

」133i

所以P(x)=-2x2+2X-D(x-2)+^/(%-1)(工-2))

i39

即产⑺二54

方法二设P(x)=00+/*+4*2+43*3+。4工4,

23

则P'(x)=a,+2a2x+3a5x+4«4x

由插值条件尸(0)=P'(0)=0,21)=P")=1,尸(2)=1,得

«o=°

=0

<a[]+%+4+/+&=1

%+2。2+3%+4a4=1

Q0+2。]+4〃2+8〃3+16a4=1

解得«2=^皿3=34一，

从而尸(*)=54-|/+#.

方法三利用埃尔米特插值基函数方法构造.

10.下述函数S(x)在［1,3］上是3次样条函数吗?

x3—3x~+2x+1,1<x<2

S(x)=«

-X3+9X2-22X+17,2<X<3

3x2—6好2,<1

解因为S'(x)T-3X2+1J8-22,<X2<'

6x-6,1<x<2

S"(x)=《

一6x+18,2<x<3

而SX(2)=1=S2(2),S；⑵=2=S；(2),S")=6=S式2),

又S(x)是三次函数，所以函数S(x)在［1,3］上是3次样条函数.

补设试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值

节点的三次插值多项式.

解因为&.(》)=t»4(x)=x(x+l)(x-l)(x-2),

从而(x)=/(x)-(x)=2x3+X2-2x

习题3(P.159)

1.设3(x)%为［。向上具有权函数。(幻？0的正交多项式组

且外(幻为首项系数为1的女次的多项式，则｛a(X)｝建于［。，勿线

性无关.

解方法一因为｛秋⑴上为必向上具有权函数3(x)2。的正

交多项式组，则其Gram行列式不等于零，采用反证法：若

｛外,0,…必｝于向线性相关，于是，存在不全为零…,c”,使

c00o(x)+C留(X)++c*“(x)=O,xe［a,b］

上式两边与％作内积得到

%3,。0)+5@,01)++c“(e，/)=O,(i=O,l,,n)

由于用不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解

故系数矩阵的行列式为零，即G以阴，…必｝=0与假设

矛盾.

方法二因为助(x)｝建为［a,b］上具有权函数o(x)N0的正交

多项式组，则其Gram行列式不等于零，由(P.95)定理2得

3(X)脸于［a,句线性无关.

2.选择a,使下述积分取得最小值

22

(a)JJx-ax]dr,(b)(ex-ax)2dx

ja

解⑷岛ax2^dx=J^-^—[x—ax2fdx

=「2[x-ax2]-(-x2)dr=—ax5V_--a,

1x

JT55

令f1[x-ax2]2dx=0.得a=0.

SaJ-i

())-—f(e"—ocx)"dx=F—(e"-ax)~dx

oaJijda

=|^2(ex—ax)­(-x)dx=^~一2

令——\\ex-ax]dJF得a=3.

8aJ°,

3.设，3=Lx£[1,3],试用“W，x｝求〃九）一次最佳平方逼近

x

多项式.

解取权函数为。⑺=N为了计算简便），则

3

,3

(1,1)=J：xdx=5=4,(1,x)=(x,l)=£3x2dx==26

石'

,43

3

X=20,

3

：：；f31

(/(x),l)=Jxdx=M=2,(/(x),x)=[一x2dx=-=4,

J1X2।

261f_12

得法方程:yN=RL解得广飞,

2（1“见43

所以/（X）的一次最佳平方逼近多项式P|（x）=dx.

8.什么常数C能使得以下表达式最小?

£(f(x"CeW

i=\

a“〃

解云£(/(x，)—Ce*)2=2片/(a)-Ce*)(-e*),

℃i=li=l

力/(xjd

(

令怒CQ,)，得。=1=1_____________/(x),eO

x

力e%(e,e^)

r=l

14.用最小二乘法求解矛盾方程组

2x+3y=1

<x-4j=-9.

2x-y=-l

31

x+—V==—

22

解方法一方程组可变形为x-4y=-9

x—V=—

22

t3

原问题转化成在已知三组离散数据—4

/⑴T

下求一次最小二乘逼近函数々(x)=x+y*X与y为一次函数

的系数,t为自变量),取用基｛1,4,求解法方程

37

31

即

5-6

31

31

x+—y=—

22

方法二方程组可变形为x-4j=-9

11

x—V=—

22

令/(x,y)=(x+—j--)2+(x-4j+®2+(x--j+-)2

2222

a3iii

—/(x,j)=2x(x+—j--)+2x(x-4j+®+2x(x——y+—)

dx2222

=6x-6y+18,

=—+—37

A

/

x-j=-3

令

<axA，得（37,

—3xH2，y—3

、av

37

X=-----

解之得矛盾方程组的解为21.

56

y——

31

习题4

7.对列表函数

/(x)O152127

求八5方广⑸.

解一阶微商用两点公式（中点公式），得

/（8）-/（2）=10

二阶微商用三点公式(中点公式)，首先用插值法求/⑸，

由/(4)=5J⑻=21,得一次插值函数。(x)=4x-11,

从而/(5今乙(=5),

于是，r(5),/(2)-2/(5)+/(8)=4

8.导出数值数分公式

13hh3

/(3，W«-7TI/^+T^)-3/U+-)+3/(X--)-/(X--/7)]

nZ222

并给出余项级数展开的主部.

解由二阶微商的三点公式(中点公式)，得

ff，(x-3*+g)-2/(X-g)+-，

2222

h、1r£•/3k、c//h工,h

f+―）«-Tjlfix+—）-2/（x4---）+/（x——）］

,,/，f（x+T）-/"X--

从而/,3（、）«--------------

13hh3

=7y［/（^+—^）~3/（x+—）+3/（x--）-/（x--/i）］

n2222

将+/（x+\f（x-\/（X-"）分别在x处展开，得

2222

331313

/（x+-/i）^（x）+r（x）.-/i+-r（x）.（-/i）2+-/<3,（x）.（-/i）3

+1r4＞（x）.（3无尸+1/⑸（x）.（3力5+。（无5）

17⑴

f（x+4m）+/'（X）4+±r'（x）•（/+白/⑶（X）.分

+]/（4）（X）-A4+（5）（）s（s）

2fx-A+0h⑵

f（X~~~）=f（x）+/'（x）・（一g）+\/”（X）,（一；）2+*/⑶（工）・（一^）3

+/，）.（一夕+9⑸（X）.（一夕+o（⑹⑶

331313

f(x——h)=f(x)+—+—/<3)(x).(——/z)3

//j：/

i3i3

+-f^(x)-(--h)4+-f^(x)-(--h)s+O(h5)(4)

i/3・乙

(1)—(2)X3+(3)X3—(4),得

-+--=-^f{5}(x)h2+O(h2),

2"2228

即余项主部为⑸(x)〃

o

习题5(P.299)

3.设Ae/T”为对称矩阵，且q产0,经高斯消去法一步后,

A约化为7?，试证明&亦是对称矩阵.

0

证明设…旬虫力其中

a”Q]

则经高斯消去法一步后，A约化为,1

0nA--a

_an

因而…为对称矩阵，则A为对称矩阵,

且q=a,易知4=A为对称矩阵.

a\\

设10099

13.9998

(1)计算II4ILJIAII2；

(2)计算a〃或A%,及CO〃I(A)2.

解(1)计算||AL=199,

A=1跟98，其特征值为九=99±7^位，

又人=修匐为对称矩阵，则的特征值为

式2=(99士廊五)2,因此||刈2=〃□不不="^彳=99+网底；

198-991

⑵A=一［.991。。］,.g199,

所以Co〃d(闺8=||AIL•IIA_1IL=9801,

k=-二；；；为对称矩阵，其特征值为4,2=-99±囱诙，

则(1)74-'=(4-')2的特征值为42=(99±V9802)2,因此

IIA-'||2==A1ax(1)2=99+V9802

2

所以Cond(A)2=||AH2.||4Tli?=(99+V9802)

15.设AGR"X",XGR",求证

(i)||xL<H<w||<；

(2)^||<<||4^ll<.

证明⑵由(i)11Moe<||矶<加|3得体仁男g||L，

iniiMILvMM】v〃MML

」而厂问一下「

从而max卜4max%"<max"R：’,

IIHL-R”M…H

由算子范数的定义

=max=max

WTVxwK”W

得［MIL<Mlle咻Ah

17.设WeR"*"为非奇异阵，又设辰||为R"上一向量范数，

定义旬,求证：IIMw是僧上向量的一种范数(称为

向量的w一范数).

证明①正定性，因*为一向量，下

证忖lw=O0x=。，

“=”若但J=0即||*|=0,由向量范数的正定性得

Wx=0,We/T"为非奇异阵，所以x=O；

“u”若x=0,则Wx=0，由向量范数的正定性得||VKr||=0

即闻=。・

②齐次性，任意实数a有||ax||w=l|Wax||=||aW同，由向

量范数的齐次性，得

ll«^L=1卬。刈=||01网|=同|咯：||=同闰.；

③三角不等式，任意实数有

||x+j||w=||W(x+y)||=||VI^4-V^||,

再由向量范数的三角不等式，得

x+

\\y\\w==\\yVx+Wy\\<\\WK\\4-||V^