中考数学总复习专题17相似三角形(10个高频考点)(举一反三)(全国版)(原卷版+解析)

专题17相似三角形（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1比例的性质】 1【考点2比例线段】 2【考点3黄金分割】 3【考点4平行线分线段成比例】 6【考点5相似多边形】 7【考点6相似三角形的判定与性质】 9【考点7网格中的相似三角形】 12【考点8相似三角形中的动点问题】 13【考点9相似三角形的应用】 15【考点10位似变换】 17【要点1比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【考点1比例的性质】【例1】（2022·浙江杭州·模拟预测）一组不为零的数a，b，c，d，满足ab=cdA．ac＝bd B．a+bC．a−9b＝c−9d D．a−9b【变式1-1】（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．【变式1-2】（2022·广东茂名·统考一模）若x,y,z都是正整数，且3x=4y=5z，则x+y+z的最小值是________．【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）已知a、b、c、满足ba+c=ac+b=【要点2成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点2比例线段】【例2】（2022·江苏泰州·统考中考模拟）下列各组线段中，成比例的是（

）A．1，2，2，4 B．1，2，3，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，3【变式2-1】（2022·湖北武汉·校考一模）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，则两地的实际距离为（）A．600000km B．6000km C．600km D．60km【变式2-2】（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中项，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【变式2-3】（2022·山西·校联考二模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和BN，若MN2=AM·BN，则称MN是线段AB的比例中段，M、N是线段AB(1)已知点M、N是线段AB的中段分点．①若AM=2，MN=3，则BN=；②在图1中，若AB=7，MN=2，求AM的长．(2)如图2，在ΔABC中，MN是线段AB的比例中段，F、G分别是线段AC、BC延长线上的点，且FG∥AB，MC、NC的延长线分别交线段FG于点P，K．探究PK是否为线段【要点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【考点3黄金分割】【例3】（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR>RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2【变式3-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________．【变式3-2】（2022·湖南娄底·统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈________DE.（精确到0.001）

【变式3-3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）数学活动一宽与长的比是5−1第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．若AD=2，请证明矩形BNMC是黄金矩形．（2）数学活动二如图⑤，点C在线段AB上，且满足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC⋅AB，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得BCAB=5−12．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的【要点4平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．【要点5平行线分线段成比例定理的推论】平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF//BC．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做交AC于点，再证明与F重合即可．【考点4平行线分线段成比例】【例4】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（A．4 B．5 C．6 D．7【变式4-2】（2022·宁夏银川·校考二模）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE=3，BC=8，则【变式4-3】（2022·广西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线(2)若AEDE=2【考点5相似多边形】【例5】（2022·河南·统考三模）取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则baA．22 B．12 C．24【变式5-1】（2022·河北·模拟预测）如图所示的三个矩形中，其中相似形是()A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对【变式5-2】（2022·广东广州·广州市第六十五中学校考一模）如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则A1B1A．12 B．22 C．14【变式5-3】（2022·河北·模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（

）两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【要点6相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．【要点7相似三角形的性质】①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有【考点6相似三角形的判定与性质】【例6】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（A．56 B．1 C．54 【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则DE【变式6-2】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE【变式6-3】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝12∠DCG∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求AEEF的值（用含k(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC【考点7网格中的相似三角形】【例7】（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．【变式7-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考一模）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【变式7-2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为．【变式7-3】（2022·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，ΔABC的顶点都是格点（小正方形的顶点），且点D是AB边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）．（1）如图1，在AC边上找点E，使ΔADE与ΔABC相似；（2）如图2，在BC边上找点F，使ΔDBF与ΔABC相似．【考点8相似三角形中的动点问题】【例8】（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是_____．【变式8-1】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH＝13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM【变式8-2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接(1)当EQ⊥AD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式8-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运动时间为t(1)点D到边AB的距离为__________；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．【考点9相似三角形的应用】【例9】（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm（即EF=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书角H的对应点H′恰为CD（1）收纳盒的长BC=_______；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有________本书可与边BC有公共点．【变式9-1】（2022·广西·统考中考真题）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．【变式9-2】（2022·上海·统考中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度【变式9-3】（2022·湖南株洲·统考模拟预测）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AF∥MN．(1)求⊙A的半径长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，sin∠CAF=910【要点8位似图形】1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；=3\*GB3③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为【考点10位似变换】【例10】（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已知OAA．4 B．6 C．16 D．18【变式10-1】（2022·重庆·统考中考真题）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9【变式10-2】（2022·山东青岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是−2,3，先将△ABC绕点−1,0顺时针旋转90度得到△A1B1C1，再以原点为位似中心作△A1B1C1的位似图形A．4,2 B．6,4C．6,4或−6,−4 D．4,2或−4,−2【变式10-3】（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）如图，在8×11网格图中，△ABC与△A(1)直接写出：tanC=(2)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A(−1,5)，点C1①以点C为位似中心，在网格中作出△A2B2C②在图上标出△ABC与△A1B1C1专题17相似三角形（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1比例的性质】 1【考点2比例线段】 4【考点3黄金分割】 6【考点4平行线分线段成比例】 12【考点5相似多边形】 18【考点6相似三角形的判定与性质】 21【考点7网格中的相似三角形】 31【考点8相似三角形中的动点问题】 36【考点9相似三角形的应用】 51【考点10位似变换】 58【要点1比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【考点1比例的性质】【例1】（2022·浙江杭州·模拟预测）一组不为零的数a，b，c，d，满足ab=cA．ac＝bd B．a+bC．a−9b＝c−9d D．a−9b【答案】C【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．【详解】解：∵一组不为零的数a，b，c，d，满足ab∴ac=bd，ab设ab∴a=bk，c=dk，∴a−9ba+9b=kb−9b∴a−9ba+9b=c−9d若a−9b=c−9d则∵b、d不一定相等，故不能得出a−9b=c−9故选：C．【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．【变式1-1】（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的_________倍．【答案】1.2【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，2.5a=3×1，解得a=1.2，故答案为：1.2．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．【变式1-2】（2022·广东茂名·统考一模）若x,y,z都是正整数，且3x=4y=5z，则x+y+z的最小值是________．【答案】47【分析】先设3x=4y=5z=k，再利用等量关系消元，用k表示x+y+z，最后再利用x,y,z都是正整数得出k的最小值即可．【详解】设3x=4y=5z=k，则x=13k，y=∴x+y+z=1∵47∴x+y+z的值随k的增大而增大，又∵x，y，z都是正整数，且x=13k，y=∴k是3，4，5的公倍数，∴k的最小值为60，∴x+y+z的最小值为4760故答案为：47【点睛】本题考查了设k法，函数思想，以及函数的最值等要点，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式1-3】（2022·四川成都·统考二模）已知a、b、c、满足ba+c=ac+b=【答案】3【分析】根据先求出k值，进而求得正比例函数的解析式，再根据正比例函数图象上点的坐标特征依次判断四个点，进而利用概率公式求解即可．【详解】解：∵a、b、c、满足ba+c∴当a+b+c=0时，k=﹣1，此时正比例函数的表达式为y＝12将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上；当a+b+c≠0时，k=b+a+ca+c+c+b+a+b=b+a+c2(a+b+c)=∴正比例函数的表达式为y＝12将四个点代入，点①(1,12)∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是34故答案为：34【点睛】本题考查等比性质、正比例函数图象上点的坐标特征、求概率公式，能分类求解k值是解答的关键．【要点2成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点2比例线段】【例2】（2022·江苏泰州·统考中考模拟）下列各组线段中，成比例的是（

）A．1，2，2，4 B．1，2，3，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，3【答案】A【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【详解】解：A、1×4=2×2，故选项符合题意；B、1×4≠2×3，故选项不符合题意；C、3×13≠5×9，故选项不符合题意；D、1×3≠2×2，故选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．【变式2-1】（2022·湖北武汉·校考一模）在比例尺为1：2000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，则两地的实际距离为（）A．600000km B．6000km C．600km D．60km【答案】C【分析】首先设相距30cm的两地实际距离为xcm，根据题意可得方程1：2000000＝30：x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．【详解】解：设相距30cm的两地实际距离为xcm，根据题意得：1：2000000＝30：x，解得：x＝60000000，∵60000000cm＝600km，∴相距30cm的两地实际距离为600km．故选：C．【点睛】此题主要考查了比例尺的性质．解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．【变式2-2】（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如果a:b=12:8，且b是a，c的比例中项，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【答案】B【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得bc=ab，又由【详解】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，∴∵a:b=12:8，∴ab∴b:故选：B．【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．【变式2-3】（2022·山西·校联考二模）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成三条线段AM、MN和BN，若MN2=AM·BN，则称MN是线段AB的比例中段，M、N(1)已知点M、N是线段AB的中段分点．①若AM=2，MN=3，则BN=；②在图1中，若AB=7，MN=2，求AM的长．(2)如图2，在ΔABC中，MN是线段AB的比例中段，F、G分别是线段AC、BC延长线上的点，且FG∥AB，MC、NC的延长线分别交线段FG于点P，K．探究PK是否为线段【答案】(1)①92(2)PK是线段FG的比例中段，理由见解析【分析】（1）根据点M、N是线段AB的中段分点，可得MN（2）设GFAB=k，根据平行线分线段成比例定理，得出GKBN=k，KPMN=k，PFAM=k，再根据【详解】（1）①由题可得，MN2=AM·BN，AM=2∴BN=9故答案为：92②设AM=x，则由题可得：22解得x=1或4，∴AM的长为1或4；（2）PK是线段FG的比例中段．理由如下：设GFAB∵FG∥∴GKBN同理，KPMN=k，∴GK=kBN，KP=kMN，PF=kAM，∵MN是线段AB的比例中段，∴MN∴k∴KP即PK是线段FG的比例中段．【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．【要点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【考点3黄金分割】【例3】（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR>RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2【答案】1【分析】设AB=a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：设AB=a，∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR>RB，∴AR=5则BR=AB−AR=a−5∴S1：S2故答案为：1．【点睛】本题考查是黄金分割的概念、黄金比值，熟记黄金比值为5−1【变式3-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，若CD＝1，则AB的长是_______________．【答案】5＋2【分析】根据黄金分割的定义可得：AC=5−12AB，BD=5−12AB，从而可AC+BD=AB+【详解】∵C、D两点都是AB的黄金分割点，∴AC＝5−12AB，BD＝5∴AC＋BD＝（5﹣1）AB，即AB＋CD＝（5﹣1）AB，∵CD=1，∴AB＝5＋2，故答案为：5＋2．【点睛】本题考查黄金分割的含义，关键是根据C、D都是黄金分割点，从而得出AB+CD=（5﹣1）AB．【变式3-2】（2022·湖南娄底·统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈________DE.（精确到0.001）

【答案】0.618【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，由DE≈0.618AD得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得EGDE【详解】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，∴四边形EFGM是矩形，∴EG＝MF＝y，∵DE≈0.618AD，∴x－y≈0.618x，解得y≈0.382x，∴EGDE∴EG≈0.618DE．故答案为：0.618．【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得y≈0.382x是解题的关键．【变式3-3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）数学活动一宽与长的比是5−1第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．若AD=2，请证明矩形BNMC是黄金矩形．（2）数学活动二如图⑤，点C在线段AB上，且满足AC:BC=BC:AB，即BC2=AC⋅AB，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得BCAB=5−12．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【分析】（1）由正方形ABCD的边长为2，根据折叠可知FB，由勾股定理可得FC，易得出BN的值，再求BN：BC的值即可判断；（2）如图，连接GE,设AG=x,则GK=x,GD=2−x,再利用轴对称的性质与勾股定理求解KE=5−2,再利用勾股定理建立方程求解【详解】证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD是正方形，由正方形边长为2，根据第二步可知，FB=1,在△FCB中，根据勾股定理，得FC=根据第三步可知，FC=FN=∴BN=∴BN∴矩形BNMC是黄金矩形．（2）如图，连接GE,正方形的边长AD=2,由对折可得：AF=BF=CE=DE=1,BA=BK=2,AG=GK,∠A=∠GKB=90°,∴BE=2设AG=x,∴GK=x,GD=2−x,所以由勾股定理可得：(2−x)2解得：x=5∴AG所以G点是AD的黄金分割点．【点睛】本题考查的是成比例线段，黄金分割点的含义，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，理解题意利用轴对称的性质逐步计算是解本题的关键．【要点4平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．【要点5平行线分线段成比例定理的推论】平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，．平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF//BC．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做交AC于点，再证明与F重合即可．【考点4平行线分线段成比例】【例4】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据CD∥OB得出ACAO=CDOB，根据AC:OC=1:2，得出ACAO【详解】解：∵CD∥∴ACAO∵AC:OC=1:2，∴ACAO∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD=3−1=2，∴2OB解得：OB=6，∴B点的纵坐标为6，故C正确．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出ACAO【变式4-1】（2022·吉林延边·统考二模）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，则CE的长为______．【答案】4【分析】由AB∥CD∥EF，推出【详解】∵AB∥∴ADAF∴35∴BE=10，∴CE=BE-BD=10-6=4，故答案为：4．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．【变式4-2】（2022·宁夏银川·校考二模）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE=3，BC=8，则【答案】5【分析】由平行线分线段成比例可得CD=6，由勾股定理可得AC=10，由直角三角形斜边中线的性质可得OB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵OE∥∴OE∥∴AOAC=OE∴CD=6，在Rt△ADC中，AC=∵点O是AC的中点，∴OB=1故答案为：5．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，求出CD的长度是本题的关键．【变式4-3】（2022·广西·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线(2)若AEDE=2【答案】(1)见解析(2)13【分析】（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；（2）连接CF，证OD是△ABC的中位线，得CF=2DE，再证DE是△FBC的中位线，得CF=2DE,设AE=2x，DE=3k，则CF=6k，BE=EF=AE+AF=2k+10，AC=BA=EF+AE=4k+10，然后在Rt△ACF中，由勾股定理，得(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，从而求得AC=4k+10=4×4+10=26，即可求得⊙O的半径OA长，即可求解．【详解】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE,∵AEDE∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13,即⊙O的半径为13．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，证OD是△ABC的中位线，DE是△FBC的中位线是解题的关键．【考点5相似多边形】【例5】（2022·河南·统考三模）取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则baA．22 B．12 C．24【答案】B【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为14∵小长方形与原长方形相似，∴ab∴a=2b．即ba的值是故选：B．【点睛】此题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．【变式5-1】（2022·河北·模拟预测）如图所示的三个矩形中，其中相似形是()A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对【答案】B【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可．【详解】甲：矩形宽与长比为：34乙:矩形宽与长比为：12丙:矩形宽与长比为：24所以乙和丙的宽与长的比相等，故这两个矩形相似.故选B.【点睛】考查相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形．【变式5-2】（2022·广东广州·广州市第六十五中学校考一模）如图，若正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，则A1B1A．12 B．22 C．14【答案】B【分析】根据相似多边形的性质进行求解即可.【详解】解:图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似,OF,OF1分别是两个正方形的边心距,△OC1F是等腰直角三角形,因而OF:OC1=22因而则A1B故选B.【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，边数相同的正多边形一定相似,边心距的比,半径的比都等于相似比.【变式5-3】（2022·河北·模拟预测）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（

）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【答案】C【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得ABA【详解】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴ABA∴ABA∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法不正确．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【要点6相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果，则．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则．【要点7相似三角形的性质】①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有【考点6相似三角形的判定与性质】【例6】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（A．56 B．1 C．54 【答案】A【分析】根据矩形的性质得出DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，求出DF=CF=12DC=3，CE=BE=12BC=2，求出FH=BH，根据勾股定理求出【详解】解析：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，∵点E、F分别为BC、CD的中点，∴DF=CF=12DC=3∵EH∥∴FH=BH，∵BE=CE，∴EH=1由勾股定理得：BF=B∴BH=FH=1∵EH∥∴△EHG∼△DFG，∴EH∴3解得：GH=5故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则DE【答案】3【分析】先根据勾股定理得出AB=5，根据△ABE的面积是2，求出点E到AB的距离为45，根据Rt△ABC的面积，求出点C到AB的距离为AC⋅BCAB=125，即可得出点C到DF的距离为85，根据相似三角形的判定与性质，得出CDCA=【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5∵△ABE的面积是2，∴点E到AB的距离为45在Rt△ABC中，点C到AB的距离为AC⋅BC∴点C到DF的距离为85∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴CDCA∴CD=2，DF=10∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE，∵DF∥AB，∴∠AED=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DA=DE=1，∴EF=DF−DE=10∴DEEF故答案为：37【点睛】本题主要考查了三角形高的有关计算，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是求出点E到AB的距离为45，点C到DF的距离为8【变式6-2】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知正方形ABCD的边长为4，E为CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥AF，交AF于点H，交BF于点G，N为EF的中点，M为BD上一动点，分别连接MC，MN．若S△DCGS△FCE【答案】5172【分析】由正方形的性质，可得A点与C点关于BD对称，则有MN+CM=MN+AM⩾AN，所以当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小为AN，先证明ΔDCG∽ΔFCE，再由SΔDCGSΔFCE=19【详解】解：连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴A点与C点关于BD对称，∴CM=AM，∴MN+CM=MN+AM⩾AN，∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE+∠DEH=90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，∴∠DAE=∠CDG，∴∠CDG=∠F，∴Δ∵SΔ∴CDCF∵正方形边长为4，∴CF=12，∵AD∥CF，∴ADCF∴DE=1，CE=3，在Rt△CEF中，EF∴EF=3∵N是EF的中点，∴EN=3在Rt△ADE中，EA∴AE=4∴AN=AE+EN=5∴MN+MC的最小值为517故答案为：517【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理．【变式6-3】（2022·湖北襄阳·统考中考真题）矩形ABCD中，ABBC＝k2（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝12∠DCG∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求AEEF的值（用含k(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=5，求BC【答案】(1)见解析(2)k−1(3)2【分析】（1）证明△AHE≌△ECF（ASA）即可；（2）在BA上截取BH=BE，连接EH．证明△AHE∽△ECF，即可求解；（3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，设AB=3a，则BC=2a，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，证明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四边形APEP'是正方形，再证明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，过点P作PK⊥AE交于K，进而证明四边形PKEF是矩形，则有PF=5=1210a，即可求出BC=【详解】（1）证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH．∵k=2，∴AB=BC．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠1=∠2=45°，∴∠AHE=180°-∠1=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠3=12∠DCG∴∠ECF=∠3+∠4=135°，∵AE⊥EF，∴∠6+∠AEB=90°，∵∠5+∠AEB=90°，∴∠5=∠6，∵AB=BC，BH=BE，∴AH=EC，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）解：在BA上截取BH=BE，连接EH．∵∠B=90°，BH=BE，∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=135°，∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，∴∠DCF=12∠DCG∴∠ECF=135°，∵AE⊥EF，∴∠FEC+∠AEB=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴AEEF∵ABBC=k2，∴EC=HB=12BC∴AH=AB-12BC=12∴AEEF（3）解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，∵k=3，∴ABBC设AB=3a，则BC=2a，∵∠PAE=45°，∴∠P'AP=90°，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点M，连接EM，∵AH=AD=2a，∴BH=a，∵E是BC的中点，∴BE=a，∴HE=2a，∠BHE=45°，∴∠P'HE=135°，∵CG=EC=a，∴∠MEC=45°，∴∠PME=135°，∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE，∴△AEP'≌△AEP（SAS），∴PE=P'E，∴△PEM≌△P'EH（AAS），∴∠PEG=∠P'EH，∵∠HEG=∠EGH=45°，∴∠HEG=90°，∴∠PEP'=90°，∴∠AEP=∠AEP'=45°，∴∠APE=∠AP'E=90°，∴四边形APEP'是正方形，∴AP=PE，∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°，∴∠DAP=∠EPC，∵AP=PE，∴△APD≌△PEC（AAS），∴AD=PC=2a，PD=ED=a，∴PE=5a，由（2）得△AHE∽△ECF，∴AHEC∵AE=∴EF=10∵∠HEM=∠AEF=90°，∴∠HEA=∠MEF，∵∠PEM=∠P'EH，∴∠PEF=∠P'EH=45°，过点P作PK⊥AE交于K，∵EF⊥AE，∴PK∥EF，∵PK=1∴PK=EF，∴四边形PKEF是矩形，∴PF=KE，∵PF=5∴12∴a=∴BC=22【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键．【考点7网格中的相似三角形】【例7】（2022·湖北武汉·校联考二模）如图是由小正方形组成的8×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，边AC上的D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图（1）中，先将线段CB绕点C顺时针旋转90°，画出对应线段CE，再在CE上画点F，使△BCF∽△BDA；(2)在图（2）中，先在边AB上画点G，使DG∥BC，再在边BC上画点H，使AH＋DH值最小．【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）利用旋转变换的性质作点B的对应点E，CE=CB，CE与格点交于点F，连接BF即可，FC∶BC=FC∶EC=3∶4，tan∠FBC=34，tan∠ABD=34，因此∠EBC=∠ABD，（2）作点D关于BC的对称点D'，连接AD'交BC于点H。连接DH，点H即为所求．【详解】（1）解：如图，线段CE，点F即为所求，（2）解：如图，线段DG，点H即为所求，【点睛】本题主要考查了旋转的性质，对称的性质及相似三角形的判定，灵活运用以上要点作图是做出本题的关键．【变式7-1】（2022·湖北省直辖县级单位·校联考一模）如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意找到格点P,Q，画出线段PQ即可（1）如图所示，PQ即为所求，（2）如图所示，取格点J,K，连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N连接MN，则MN即为所求，∵EO∴△MOE∽△MHF∴OE同理EN∴∴△EMN∽△EFG∴EMEF【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键．【变式7-2】（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在边长为1小正方形的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上，请用无刻度的直尺按要求作图．（保留画图痕迹，不需证明）（1）如图①，点P在格点上，在线段AB上找出所有符合条件的点Q，使△APQ和△ABC相似；（2）如图②，在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并直接写出此时⊙M的半径为．【答案】（1）见详解；（2）32【分析】（1）过点P作BC的平行线，交AB于点Q或找到格点F，连接PF交AB于点Q，即可；（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，再证明∆BDN~∆BMC，列出比例式，即可求解．【详解】（1）如图①，过点P作BC的平行线，交AB于点Q，即为所求点，找到格点F，连接PF交AB于点Q，即为所求点；（2）找到格点D，连接BD并延长，交AC于点M，即为所求点，理由如下：由题意得：BC=3，AC=4，AB=5，∴BE=14AB=54，HE=∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠DBC，即BM是∠ABC的平分线，∴以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，∵MC∥DN，∴∆BDN~∆BMC，∴MCDN=BCBN，即∴此时⊙M的半径为：32故答案是：32【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理，找准格点位置，掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．【变式7-3】（2022·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在5×5的正方形网格中，ΔABC的顶点都是格点（小正方形的顶点），且点D是AB边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（不写画法，保留画图痕迹）．（1）如图1，在AC边上找点E，使ΔADE与ΔABC相似；（2）如图2，在BC边上找点F，使ΔDBF与ΔABC相似．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作以AC为对角线的矩形的中心E，连接DE即可；（2）作以BC为对角线的矩形的中心F，连接DF即可．【详解】（1）如图1，△ADE即为所求；（2）如图2，△DBF即为所求．【点睛】本题考查了作图-应用与设计，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【考点8相似三角形中的动点问题】【例8】（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是_____．【答案】52π【分析】根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，且ΔAQM∼ΔFQN，NQ:MQ=1:2,点H在以BQ为直径的PN上运动，运动路径长为PN的长，求出【详解】解：∵点M、N分别是边AD、BC的中点，连接MN，则四边形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=12AD根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴Δ∴NF∴NQ=1当点E与点A重合时，则NF=12∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴ΔABF∴∠AFB=45°,∵BP⊥AF，∴∠PBF=45°由题意得，点H在以BQ为直径的PN上运动，运动路径长为PN长，取BQ中点O，连接PO，NO，∴∠PON=90°，又∠BNQ=90°,∴BQ=B∴ON=OP=OQ=1∴PN的长为90π×5180故答案为：5【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H运动的路径长为PN长是解答本题的关键．【变式8-1】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝23，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH＝13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM【答案】(1)EPPC(2)y关于x的函数解析式为y=34x20≤x(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得△AFD~△BFG，可得AFFB=ADBG，根据题意可得AF=83，AE=（2）分三种情况讨论：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上；当2≤x≤433时，E点在BD上，F点在AB上；当433（3）当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解．（1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CG∥∴△AFD∴AFFB∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为23∴AF=83，AE=2∵AB=4，AD=2，∴BF=43，ED=4∴83∴BG=1，∴CG=3，∵CG∥∴△PDE∽△PGC，∴EPPC∴EPPC（2）解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，AF=∵DB=23，AB=4，∴AD∴△ABD是直角三角形，∵ADAB∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如图，过点E作EH⊥AB交于∴EH=∴y=∴当x＞0时，y随x的增大而增大，此时当x=2时，y有最大值3；当2≤x≤433时，E点在BD如图，过点E作EN⊥AB交于N，过点D作DM⊥AB交于M，则根据题意得：DE=x-2，∴BE=2在Rt△ABD中，DM=AD⋅sin∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴ENDM∴EN∴EN=1+∴y=此时该函数图象的对称轴为直线x=∴当2≤x≤433此时当x=433时，当433≤x≤23时，点过点E作EQ⊥AB交于Q，过点F作FP⊥AB交于P，过点D作DM⊥∴AB+BF=3x，DA∵AB=4，AD=2，∴BE=23−∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴BFBD=PF∴PF=∵EQ//∴△BEQ∽△BDM，∴BEBD=EQ∴EQ=∴y=此时y随x的增大而减小，此时当x=433时，综上所述：y关于x的函数解析式为y当x=433时，（3）解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：连接DH，如图，∵AH=13∴．AH=1，由（2）得：此时AH⊥∵M是DF的中点，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．【变式8-2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接(1)当EQ⊥AD时，求t的值；(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2)，求S(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16(2)S=(3)存在，t=【分析】（1）利用△AQE∽△AED得AQAE=AE（2）分别过点C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分别为M，N，证△ABC∽△CAM得，ABCA=BCAM=ACCM，求得AM=125（3）当PQ∥CD时∠AQP=∠ADC，易证△APQ∽△MCD，得出APMC=AQMD，则（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE∴AD=5∵EQ⊥AD∴∠AQE=∠AED=90°又∠EAQ=∠DAE∴△AQE∽△AED∴AQ∴t∴t=答：当EQ⊥AD时，t的值为165（2）解：分别过点C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分别为M，N∵∠B+∠BAC=90°,∠CAM+∠BAC=90°∴∠B=∠CAM又∠BCA=∠AMC=90°∴△ABC∽△CAM∴AB∴5∴AM=∵∠B=∠B∴△BPN∽△BAC∴BP∴t∴PN=∴SS∴S==6+8−=∴S=（3）解：假设存在某一时刻t，使PQ∥CD∵AD=5,AM=∴DM=AD−AM=5−∵PQ∥CD∴∠AQP=∠ADC又∠PAQ=∠CMD=90°∴△APQ∽△MCD∴AP∴5−t∴t=∴存在时刻t=6529s【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题．【变式8-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=13，点M为边AB的中点，动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M．设点P的运动时间为t(1)点D到边AB的距离为__________；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结A′D，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0≤t≤1时，DP=13−13t；当1＜(3)3(4)23或【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段A′D最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得DE=3−3t,PE=2−2t，从而得到A′E=DE−A′D=2−3t（4）分两种情况讨论：当点A′位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点A′（A″）位于CM的延长线上时，此时点P在BD（1）解：如图，连接DM，∵AB=4，AD=BD=13，点M为边AB∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴DM=A即点D到边AB的距离为3；故答案为：3（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，DP=13当1＜t≤2时，点P在BD边上，PD=13综上所述，当0≤t≤1时，DP=13−13t；当1＜（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，∵作点A关于直线PM的对称点A′，∴A′M=AM=2，∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，∴当点D、A′、M三点共线时，线段A′D最短，此时点P在AD上，∴A′D=1，根据题意得：A′P=AP=13由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴PDAD∴13−解得：DE=3−3t,PE=2−2t，∴A′在Rt△A′PE∴13t2=∴PE=6∴S△DP（4）解：如图，当点M、A′、C三点共线时，且点A′位于M、C之间时，此时点P在AD上，连接AA′，A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则AA′⊥PM，∵AB为直径，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，在▱ABCD中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴sin∠CMN=∵A′M=2，∴A′∴MG=8∴BG=BM−MG=2∴tan∠∴tan∠PMF=∴PFFM=3，即PF=3∵tan∠DAM=DMAM∴PF=3∴3FM=32AF，即AF∵AM=2，∴AF=4∴4313t如图，当点A′（A″）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，PB=2过点A″作A″G′⊥AB于点G′，则∠AMA″=∠CMN，取AA″的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB于点同理：A″∵HK⊥AB，A″∴HK∥A′′G′，∴△AHK∼△AA∵点H是AA∴HKA∴HK=3∴MK=9∴tan∠PMT=∴PTMT=13，即∵tan∠PBT=DMBM∴BT=2∴MT=9∵MT+BT=BM=2，∴BT=4∴411213综上所述，t的值为23或20【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点A′的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．【考点9相似三角形的应用】【例9】（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm（即EF=17cm）的词典放入高（AB）为16cm的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处8cm，若此时将词典无滑动向右倒，书角H的对应点H′恰为CD（1）收纳盒的长BC=_______；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有________本书可与边BC有公共点．【答案】

251【分析】（1）由图知BC=BF+FG′+G′C，已知BF=8，根据ΔHAE（2）延长HF交BC于G'，如图2所示，由（1）知在RtΔAHE中，HA=根据ΔHAE∽ΔFGG′，得到F【详解】解：（1）如图所示：在RtΔBEF中，∠B=90°，EF=17，BF=8，则BE=∵AB=16，∴AE=AB−BE=16−15=1，连接AH，如图所示：∵恰好能盖上盒盖，∴AH⊥AB，∵词典是长方体，∴∠HEF=90°，即∠HEA+∠BEF=90°，在RtΔBEF中，∠BFE+∠BEF=90°∴∠HEA=∠BFE，∴Δ∴HEAE=EFBF∵将词典无滑动向右倒，∴FG∵书角H的对应点H′恰为CD中点，∴H在RtΔG′CH′中，∠C=90°，G∴BC=BF+FG∴收纳盒的长BC=251故答案为：251（2）延长HF交BC于G'，如图2所示：由（1）知FG=HE=17∵∠BFE+∠GFG′=90°由（1）知∠HEA=∠BFE∴∠GFG∴Δ∴F由（1）知在RtΔAHE中，∠A=90°，HE=178，AE=1∴FG′由（1）知FC=251∵171∴最多有7本书可与边BC有公共点．【点睛】本题考查利用勾股定理及相似的实际运用，涉及到勾股定理求线段长及三角形相似的判定与性质，读懂题意，根据图