线性代数与概率论（曹景龙第五版） 课件 第六章 几种重要的概率分布

第六章

几种重要的概率分布第一节

二项分布第二节

泊松分布第三节

指数分布第四节

正态分布本章知识思维导图引导案例---三个臭皮匠顶一个诸葛亮假设某篮球运动员投篮的命中率是80%，有三个普通人要与该篮球运动员比赛投篮，假若每人的命中率都为45%，只要有一人命中就算赢，问这三个人能赢过这名篮球运动员吗？分析：本案例的解决涉及到n重贝努里试验的概率计算，本章要介绍几种重要的常见的概率分布。

第一节二项分布本节主要学习目标：[知识目标]

掌握二项分布的概念及数字特征。[能力目标]

能计算二项分布的概率。

能根据实际问题分析判断是否为二项分布。n次独立试验5进行n次试验,若任何一次试验各种结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生与否的影响,则称这n次试验相互独立.当然,相互独立的n次试验中,各次的试验结果相互独立.射手射击试验6设事件A1表示第1次中靶,事件A2表示第2次中靶,事件A3表示第3次中靶,事件A4表示第4次中靶事件B表示在4次射击中恰好有2次中靶显然,4次射击的全部可能结果共有24=16类情况,当然这16类情况中每类情况发生的可能性并不完全是等同的考虑某射手射击,射击结果分中靶与不中靶两种,若每次射击相互独立,中靶的概率皆为0.7,讨论在4次射击中恰好有2次中靶的概率射手射击试验7

射手射击试验8由于事件A1,A2,A3,A4相互独立,根据§1.3乘法公式特殊情况的推广,有概率P(B1)=P(B2)=P(B3)=P(B4)=P(B5)=P(B6)=(0.7)2×(0.3)2注意到事件B=B1+B2+B3+B4+B5+B6且事件B1,B2,B3,B4,B5,B6两两互斥射手射击试验9根据§1.2加法公式特殊情况的推广,所以概率P(B)=P(B1+B2+B3+B4+B5+B6)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)+P(B5)+P(B6)=6×(0.7)2×(0.3)2=0.2646产品抽取试验10考虑一批产品由正品与废品两部分构成,每次从中任取1件产品,放回取n次,若这批产品的正品率为p(0<p<1),讨论在n次抽取中恰好有i(i=0,1,2,…,n)次取到正品的概率设事件A1表示第1次取到正品,事件A2表示第2次取到正品,…,事件An表示第n次取到正品,事件B表示在n次抽取中恰好有i次取到正品显然,n次抽取的全部可能结果共有2n类情况,当然这2n类情况中每类情况发生的可能性并不完全是等同的产品抽取试验11

产品抽取试验12

……产品抽取试验13由于事件A1,A2,…,An相互独立,根据§1.3乘法公式特殊情况的推广,有概率P(B1)=P(B2)=…=P(Bm)=piqn-i

(q=1-p)注意到事件B=B1+B2+…+Bm且事件B1,B2,…,Bm两两互斥产品抽取试验14根据§1.2加法公式特殊情况的推广,所以概率P(B)=P(B1+B2+…+Bm)=P(B1)+P(B2)+…+P(Bm)=mpiqn-i

n重贝努里试验15一般地,在每次试验中,事件A或者发生或者不发生,若每次试验的结果与其他各次试验结果无关,同时在每次试验中,事件A发生的概率皆为p(0<p<1),则称这样的n次独立重复试验为n重贝努里(Bernoulli)试验或独立试验序列概型在n重贝努里试验中,事件A发生的次数X是一个离散型随机变量,它的所有可能取值为0,1,2,…,n,共有n+1个值n重贝努里试验16在一次试验中,设事件A发生的概率为p(0<p<1),从而事件A不发生的概率为q=1-p显然,n次试验的全部可能结果共有2n类情况,当然这2n类情况中每类情况发生的可能性并不完全是等同的

n重贝努里试验17它所包括的每类情况都是事件A在i次试验中发生且在另外n-i次试验中不发生,根据§1.3乘法公式特殊情况的推广,其发生的概率皆为piqn-i由于事件X=i所包括的各类情况两两互斥,根据§1.2加法公式特殊情况的推广,所以概率

二项分布18定义3.1若离散型随机变量X的概率分布用公式表示为

则称离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p)容易看出,当n=1时,二项分布就化为两点分布.所以两点分布是二项分布的特殊情况,二项分布是两点分布的推广.二项分布的数学期望与方差19定理3.1如果离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即离散型随机变量X~B(n,p),则其数学期望与方差分别为E(X)=npD(X)=npq

(q=1-p)二项分布的数学期望与方差20在实际问题中,若n次试验相互独立,且各次试验是重复试验,即事件A在每次试验中发生的概率皆为p(0<p<1)则在这n次独立重复试验中,事件A发生的次数X是一个离散型随机变量,它服从参数为n,p的二项分布,即离散型随机变量X~B(n,p)例121某连锁总店每天向10家商店供应货物,每家商店订货与否相互独立,且每家商店订货的概率皆为0.4,求10家商店中订货商店家数X的概率分布.解:一家商店向连锁总店通知订货情况就是一次试验,10家商店向连锁总店分别通知订货情况就是10次试验,由于每家商店订货与否相互独立,因而这10次试验是相互独立的例122由于商店订货这个事件在每次试验中发生的概率皆为0.4,因而各次试验是在相同条件下进行的重复试验在这10次独立重复试验中,商店订货这个事件发生的次数就是10家商店中订货商店家数X,是一个离散型随机变量,它服从参数为n=10,p=0.4的二项分布,即离散型随机变量X~B(10,0.4)例123离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…,10,共有11个值.由于每家商店订货的概率皆为0.4,从而不订货的概率皆为0.6

例124事件X=i发生的概率即为离散型随机变量X的概率分布,所以订货商店家数X的概率分布用公式表示为

例225口袋里装有4个黑球与1个白球,每次任取1个球,放回取3次,求所取过的3个球中恰好有2个黑球的概率.解:由于放回抽取,从而这3次抽取相互独立,而且是在相同条件下进行的重复试验

例226

事件X=2表示所取过的3个球中恰好有2个黑球,其发生的概率为

例327某柜台上有4位售货员,只准备了两台台秤,已知每位售货员在8小时内均有2小时使用台秤.求台秤不够用的概率.

例328台秤不够用,意味着同时使用台秤的售货员超过2个,因此事件X>2表示台秤不够用注意到在X>2范围内,离散型随机变量X的可能取值只有两个,即X=3与X=4,有概率P{X>2}=P{X=3}+P{X=4}例329

≈0.0508

例430某厂只有6台同型号机床,每台机床开动时所消耗的电功率皆为7.5单位,每台机床在1小时内均有24分钟开动,且各台机床开动与否相互独立,求全部机床消耗电功率超过30单位的概率.

例431

例432注意到在X>4范围内,离散型随机变量X的可能取值只有两个,即X=5与X=6,有概率P{X>4}=P{X=5}+P{X=6}

≈0.0410例533

例534

例535事件X=2表示在4次独立重复试验中事件A恰好发生2次,其发生的概率为P{X=2}

例636

解:由于离散型随机变量X~B(2,p),计算概率P{X≥1}=1-P{X=0}

例637

例738在进行100重贝努里试验时,每次试验中事件A发生的概率皆为0.8,设离散型随机变量X表示事件A发生的次数,则它的标准差为

.

解:显然,离散型随机变量X~B(100,0.8),因此标准差

4例839设离散型随机变量X~B(n,p),若数学期望E(X)=1.6,方差D(X)=1.28,则参数n,p的值为(

).(a)n=2,p=0.8

(b)n=4,p=0.4(c)n=8,p=0.2

(d)n=16,p=0.1例840解:从已知条件得到关系式

解此方程组,容易解出未知量

例841从而得到未知量p=1-q=1-0.8=0.2

即参数n=8,p=0.2(c)例942若离散型随机变量X~B(10,0.4),则离散型随机变量X2的数学期望E(X2)=(

).(a)2.4

(b)4(c)16 (d)18.4例943解:从已知条件得到数学期望E(X)=np=10×0.4=4方差D(X)=npq=10×0.4×0.6=2.4例944根据§2.2定理2.1即计算方差的简便公式D(X)=E(X2)-(E(X))2得到数学期望E(X2)=D(X)+(E(X))2=2.4+42=18.4(d)45最后应该说明的是:对于产品的抽检问题,二项分布的背景是放回抽取.但在产品总数很大,且抽取产品数目又很小的条件下,可将不放回抽取近似看作放回抽取,应用二项分布得到结果46本次课程结束第二节泊松分布本节主要学习目标：[知识目标]

掌握泊松分布的概念及数字特征。[能力目标]

能计算泊松分布的概率。

能根据实际问题分析判断是否为泊松分布。泊松分布48定义3.2若离散型随机变量X的概率分布用公式表示为

则称离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布泊松分布49泊松分布是一种常见分布,在实际问题中,服从泊松分布的离散型随机变量很多如一匹布上疵点的个数一本书一页上印刷错误的个数在一天中进入某商店的人数某段时间内电话交换台收到呼唤的次数某段时间内候车室里旅客的人数泊松分布的数学期望与方差50定理3.2如果离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布,则其数学期望与方差分别为E(X)=λD(X)=λ例151一页书上印刷错误的个数X是一个离散型随机变量,它服从参数为λ的泊松分布,一本书共300页,有21个印刷错误,求任取1页书上没有印刷错误的概率.

例152

事件X=0表示任取1页书上没有印刷错误,其发生的概率为

例253一个铸件上砂眼的个数X是一个离散型随机变量,它服从参数为λ=0.8的泊松公布,规定砂眼个数不多于1个的铸件为合格品,求铸件的合格品率.解:事件X≤1表示砂眼个数不多于1个,即铸件为合格品注意到在X≤1范围内,离散型随机变量X的可能取值只有两个,即X=0与X=1例254有概率P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}

=e-0.8+0.8e-0.8=1.8e-0.8≈0.8088所以铸件的合格品率为1.8e-0.8≈0.8088例355每分钟内电话交换台收到呼唤的次数X是一个离散型随机变量,它服从参数为λ的泊松分布,平均每分钟内电话交换台收到3次呼唤,求任意一分钟内电话交换台收到呼唤次数超过2次的概率.解:由于平均每分钟内电话交换台收到3次呼唤,即离散型随机变量X的数学期望E(X)=3又由于离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布,说明离散型随机变量X服从参数为λ=E(X)=3的泊松分布例356事件X>2表示一分钟内电话交换台收到呼唤次数超过2次,注意到在X>2范围内,离散型随机变量X的可能取值有无限可列个,即X=3,X=4,…,因此考虑它的对立事件事件X>2的对立事件是事件X≤2,注意到在X≤2范围内,离散型随机变量X的可能取值只有三个,即X=0,X=1及X=2例357根据§1.2加法公式的特殊情况,事件X>2发生的概率为P{X>2}=1-P{X≤2}=1-(P{X=0}+P{X=1}+P{X=2})

例358

例459某种花布一匹布上疵点的个数X是一个离散型随机变量,它服从参数为λ的泊松分布,已知一匹布上有8个疵点与有7个疵点的可能性相同,问一匹布上平均有多少个疵点?解:由于已知一匹布上有8个疵点与有7个疵点的可能性相同,即概率P{X=8}=P{X=7}例460又由于离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布,从而有关系式

即有

例461注意到λ>0,因此得到参数λ=8于是数学期望即均值E(X)=λ=8所以一匹布上平均有8个疵点例562某种商品日销售量X百件是一个离散型随机变量,它服从参数为λ=2的泊松分布,求:(1)这种商品任1日销售量恰好为2百件的概率;(2)这种商品任4日销售量皆为2百件的概率.例563解:(1)事件X=2表示这种商品任1日销售量为2百件,其发生的概率为

所以这种商品任1日销售量恰好为2百件的概率为2e-2≈0.2706.例564(2)这种商品任4日销售量中销售量为2百件的日数Y是一个离散型随机变量,它服从参数为n=4,p=2e-2的二项分布,即离散型随机变量Y~B(4,2e-2)事件Y=4表示这种商品任4日销售量皆为2百件,其发生的概率为

所以这种商品任4日销售量皆为2百件的概率为16e-8≈0.0048例665

已知离散型随机变量X服从参数为λ=4的泊松分布,则概率P{X=2}=

.

解:由于离散型随机变量X服从参数为λ=4的泊松分布,因此概率

0.1465例766设离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且已知它取值为零的概率P{X=0}=e-1,求:(1)参数λ值;(2)概率P{X=3}.例767解:(1)由于离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布,因此概率

它应等于所给概率值e-1,有关系式e-λ=e-1所以得到参数λ=1例768(2)由于离散型随机变量X服从参数为λ=1的泊松分布,所以概率

例869设离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且已知有概率等式P{X=1}=P{X=2},求:(1)参数λ值;(2)概率P{2<X<6};(3)数学期望E(X);(4)方差D(X).例870解:(1)由于已知概率等式P{X=1}=P{X=2}又由于离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布,从而有关系式

即有

注意到λ>0,所以得到参数λ=2例871(2)由于离散型随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布,注意到在2<X<6范围内,离散型随机变量X的可能取值只有三个,即X=3,X=4及X=5所以概率P{2<X<6}=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}

例872(3)数学期望E(X)=λ=2(4)方差D(X)=λ=2例973已知离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布,则离散型随机变量X2的数学期望E(X2)=(

).(a)Λ (b)λ2(c)λ-λ2 (d)λ+λ2解:根据§2.2定理2.1即计算方差的简便公式D(X)=E(X2)-(E(X))2得到数学期望E(X2)=D(X)+(E(X))2=λ+λ2d例1074已知离散型随机变量X,Y皆服从泊松分布,若数学期望E(X)=16,E(Y)=3,则下列方差计算结果中(

)正确.

例1075解:由于离散型随机变量X,Y皆服从泊松分布,因而方差D(X)=E(X)=16D(Y)=E(Y)=3根据§2.4随机变量方差的性质3,于是方差

D(-Y)=(-1)2D(Y)=1×3=376考虑离散型随机变量X,它服从参数为n,p的二项分布,即离散型随机变量X~B(n,p)当n≥10,p≤0.1,且使得λ=np≤5时,则离散型随机变量X近似服从参数为λ=np的泊松分布在计算泊松分布的概率时,可以查泊松分布概率值表77在表中第一行找到给定的参数值λ,再在表中第一列找到离散型随机变量X的取值i,其纵横交叉处的数值即为所求概率值如已知离散型随机变量X服从参数为λ=5的泊松分布,查附表一可以得到概率P{X=2}=0.0842P{X=5}=0.175578本次课程结束第三节指数分布本节主要学习目标：[知识目标]

掌握指数分布的概念及数字特征。[能力目标]

能计算指数分布的概率。

能根据实际问题分析判断是否为指数分布。指数分布80

定义3.3若连续型随机变量X的概率密度为

则称连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布指数分布81指数分布的概率密度曲线如图在实际问题中,服从指数分布的连续型随机变量很多,如某些电子元件的寿命,随机服务系统中的服务时间,等等.指数分布82如果连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,在b>a≥0的条件下,分别讨论事件a<X<b,X>a及X<b发生的概率由于连续型随机变量在任一区间上取值的概率等于它的概率密度在该区间上的积分,并注意到连续型随机变量X的概率密度为

指数分布83事件a<X<b发生的概率P{a<X<b}

指数分布84事件X>a发生的概率P(X>a)

指数分布85再根据§1.2加法公式的特殊情况,事件X<b发生的概率P{X<b}=1-P{X≥b}=1-e-λb指数分布86综合上面的讨论,得到计算指数分布概率的公式:如果连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,在b>a≥0的条件下,则概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

=e-λa-e-λbP{X>a}=P{X≥a}=e-λaP{X<b}=P{X≤b}=1-e-λb指数分布的数学期望与方差87定理3.3如果连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,则其数学期望与方差分别为

例188某种型号灯泡的使用寿命X小时是一个连续型随机变量,其概率密度为

任取1只灯泡,求这只灯泡使用寿命在600小时~1200小时的概率.例189解:由于连续型随机变量X的概率密度为

例190事件600<X<1200表示任取1只灯泡使用寿命在600小时~1200小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为P{600<X<1200}

=e-1-e-2≈0.2326所以任取1只灯泡使用寿命在600小时~1200小时的概率为e-1-e-2≈0.2326例291修理某种机械所需要的时间X小时是一个连续型随机变量,其概率密度为

任取1台待修机械,求修理这台机械需要时间超过2小时的概率.例292解:由于连续型随机变量X的概率密度为

说明连续型随机变量X服从参数为λ=1的指数分布.例293事件X>2表示修理任1台待修机械需要时间超过2小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为P{X>2}=e-1×2=e-2≈0.1353所以修理任1台待修机械需要时间超过2小时的概率为e-2≈0.1353例394

(1)任取1只电子元件使用寿命超过1000小时的概率(2)任取2只电子元件使用寿命皆超过1000小时的概率.例395解:(1)事件X>1000表示任取1只电子元件使用寿命超过1000小时,根据指数分布概率的计算公式,其发生的概率为P{X>1000}

=e-1≈0.3679所以任取1只电子元件使用寿命超过1000小时的概率为e-1≈0.3679例396(2)任取2只电子元件中使用寿命超过1000小时的电子元件只数Y是一个离散型随机变量,它服从参数为n=2,p=e-1的二项分布,即离散型随机变量

例397事件Y=2表示任取2只电子元件使用寿命皆超过1000小时,其发生的概率为P{Y=2}

=e-2≈0.1353所以任取2只电子元件使用寿命皆超过1000小时的概率为e-2≈0.1353例498已知连续型随机变量X服从参数为λ=0.1的指数分布,则概率P{X≤20}=

.

解:由于连续型随机变量X服从参数为λ=0.1的指数分布,根据指数分布概率的计算公式,得到概率P{X≤20}=1-e-0.1×20=1-e-2≈0.86470.8647例599设连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,若已知其方差D(X)=4,则数学期望E(X)=(

).

例5100解:从已知条件得到关系式

注意到λ>0,容易解出

于是得到数学期望

（b）例6101已知连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,求它取值大于数学期望的概率P{X>E(X)}.

例7102设连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,且已知它取值大于100的概率P{X>100}=e-2,求:(1)参数λ值;(2)概率P{50<X<150};(3)数学期望E(2X+1);(4)方差D(2X+1).例7103解:(1)由于连续型随机变量X服从参数为λ的指数分布,根据指数分布概率的计算公式,计算概率P{X>100}=e-λ×100=e-100λ它应等于所给概率值e-2,有关系式e-100λ=e-2所以得到参数

例7104

P{50<X<150}

=e-1-e-3≈0.3181例7105(3)由于数学期望

根据§2.4随机变量数学期望的性质4,所以数学期望E(2X+1)=2E(X)+1=2×50+1=101例7106(4)由于方差

根据§2.4随机变量方差的性质4,所以方差D(2X+1)=22D(X)=4×2500=10000107本次课程结束第四节正态分布本节主要学习目标：[知识目标]

掌握标准及一般正态分布的概念及数字特征。

掌握一般正态分布如何转化为标准正态分布。[能力目标]

能计算标准及一般正态分布的概率。

能根据实际问题分析判断是否为正态分布。标准正态分布109定义3.4若连续型随机变量X的概率密度为

则称连续型随机变量X服从标准正态分布,记作X~N(0,1)标准正态分布性质110标准正态分布的概率密度φ0(x)具有下列性质:性质1

φ0(-x)=φ0(x),说明函数φ0(x)为偶函数,图形对称于纵轴;标准正态分布性质111

性质2计算一阶导数

令一阶导数φ'0(x)=0,得到驻点x=0.列表如表标准正态分布性质112x(-∞,0)0(0,+∞)φ0'(x)+0-

φ0(x)

↗

↘

标准正态分布性质113性质3计算二阶导数

令二阶导数φ0″(x)=0,得到根x=-1与x=1.列表如表标准正态分布性质114x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)φ0″(x)+0-0+y=φ0(x)∪∩∪

标准正态分布概率密度曲线115标准正态分布的概率密度曲线如图标准正态分布函数116

标准正态分布函数117有极限

根据反映变上限定积分重要性质的定理,得到一阶导数

Φ0'(x)=φ0(x)说明函数Φ0(x)为φ0(x)的一个原函数标准正态分布概率计算118由于连续型随机变量在任一区间上取值的概率等于它的概率密度在该区间上的积分,因而概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

=Φ0(b)-Φ0(a)标准正态分布概率计算119作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率P{X<b}=P{X≤b}

=Φ0(b)标准正态分布概率计算120P{X>a}=P{X≥a}

=1-Φ0(a)标准正态分布函数值121注意到标准正态分布函数Φ0(x)不是初等函数,因而直接计算函数值是很困难的,必须通过查标准正态分布函数表得到结果表中第一列为x的整数及十分位数,表中第一行为x的百分位数,其纵横交叉处的数值即为函数值Φ0(x)如查表得到函数值Φ0(0)=0.5,Φ0(1)=0.8413,Φ0(1.96)=0.9750,Φ0(2)=0.9772标准正态分布函数值122标准正态分布函数表中x的取值范围为[0,3.9),若x≥3.9,则可取函数值Φ0(x)≈1若x取值为-a<0,则无法直接查表而得到函数值Φ0(-a)标准正态分布函数值123这时从图容易看出:左边阴影部分面积

标准正态分布函数值124右边阴影部分面积

由于概率密度曲线φ0(x)对称于纵轴,从而左、右两边阴影部分面积相等,于是有Φ0(-a)=1-Φ0(a)

(a>0)查表可以得到函数值Φ0(a),进而计算出函数值Φ0(-a)标准正态分布函数值125应用上述关系式,容易得到概率P{|X|≤k}

(k>0)=P{-k≤X≤k}=Φ0(k)-Φ0(-k)=Φ0(k)-(1-Φ0(k))=2Φ0(k)-1标准正态分布概率公式126综合上面的讨论,得到利用标准正态分布函数表计算标准正态分布概率的公式:如果连续型随机变量X服从标准正态分布,即连续型随机变量X~N(0,1),则概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}=Φ0(b)-Φ0(a)概率公式特殊情况127作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率P{X<b}=P{X≤b}=Φ0(b)P{X>a}=P{X≥a}=1-Φ0(a)P{|X|<k}=P{|X|≤k}=2Φ0(k)-1

(k>0)在计算概率的过程中,用到函数值Φ0(0)=0.5Φ0(-a)=1-Φ0(a)

(a>0)例1128

已知连续型随机变量X服从标准正态分布N(0,1),查表得函数值Φ0(1)=0.8413,则概率P{-1<X<0}=

.

解:根据标准正态分布概率的计算公式,同时注意到函数值Φ0(0)=0.5,因此概率P{-1<X<0}=Φ0(0)-Φ0(-1)=Φ0(0)-(1-Φ0(1))=Φ0(0)+Φ0(1)-1=0.5+0.8413-1=0.34130.3413例2129已知连续型随机变量X~N(0,1),查表得函数值Φ0(2)=0.9772,求:(1)概率P{|X|<2};(2)概率P{X<-2}.例2130解:根据标准正态分布概率的计算公式,所以概率(1)P{|X|<2}=2Φ0(2)-1=2×0.9772-1=0.9544(2)P{X<-2}=Φ0(-2)=1-Φ0(2)=1-0.9772=0.0228例3131已知连续型随机变量X~N(0,1),若概率P{X>λ}=0.025,则常数λ=________.解:根据标准正态分布概率的计算公式,得到概率

P{X>λ}=1-Φ0(λ)例3132它应等于所给概率值0.025,有关系式1-Φ0(λ)=0.025即函数值Φ0(λ)=0.9750查表,得到常数λ=1.96正态分布133定义3.5若连续型随机变量X的概率密度为

则称连续型随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2)容易看出,当参数μ=0,σ=1时,正态分布就化为标准正态分布,所以标准正态分布是正态分布的特殊情况.正态分布134正态分布的概率密度曲线对称于直线x=μ,参数μ决定曲线的中心位置若参数μ增大则曲线向右平移,若参数μ减少则曲线向左平移参数σ决定曲线的形状,若参数σ越大则曲线越平坦,若参数σ越小则曲线越陡峭正态分布135正态分布的概率密度曲线如图正态分布是最常见也是最重要的一种分布,取中间值可能性大且取两头值可能性小的连续型随机变量通常都服从正态分布正态分布与标准正态分布136定理3.4

Y~N(0,1)正态分布与标准正态分布137

正态分布与标准正态分布138于是得到利用标准正态分布函数表计算正态分布概率的公式:如果连续型随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布,即连续型随机变量X~N(μ,σ2),则概率P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a<X≤b}=P{a≤X≤b}

正态分布与标准正态分布139作为这个计算概率公式的特殊情况,有概率

正态分布与标准正态分布140考虑连续型随机变量X~N(μ,σ2),计算它在区间(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率根据正态分布概率的计算公式,有概率P{μ-3σ<X<μ+3σ}

=Φ0(3)-Φ0(-3)=Φ0(3)-(1-Φ0(3))=2Φ0(3)-1=2×0.9987-1=0.9974正态分布与标准正态分布141从这个计算结果可以看出:连续型随机变量X的取值几乎全部落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内,落在这个区间外的概率不到0.003尽管服从正态分布的随机变量X的取值范围是(-∞,+∞),但往往认为它的取值范围是有限区间(μ-3σ,μ+3σ),这个结论称为3σ原则正态分布的数学期望与方差142定理3.5如果连续型随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布,即连续型随机变量X~N(μ,σ2),则其数学期望与方差分别为E(X)=μD(X)=σ2正态分布的数学期望与方差143定理3.5说明正态分布中的两个参数μ与σ分别是服从正态分布的连续型随机变量的数学期望与标准差.因而若已知数学期望与方差,则完全确定正态分布.推论如果连续型随机变量X服从标准正态分布,即连续型随机变量X~N(0,1),则其数学期望E(X)=0,方差D(X)=1例4144

已知连续型随机变量X~N(-3,4),则连续型随机变量Y=(

)~N(0,1).

解:由于已知连续型随机变量X~N(-3,4),说明参数μ=-3,σ=2,因此连续型随机变量

b例5145已知连续型随机变量X~N(4,9),查表得函数值Φ0(1.96)=0.9750,则概率P{X<9.88}=

.

解:根据正态分布概率的计算公式,因此概率

0.9750例6146已知连续型随机变量X~N(μ,σ2),查表得函数值Φ0(1.16)=0.8770,则概率P{|X-μ|≤1.16σ}=

.

例6147根据标准正态分布概率的计算公式,并注意到参数σ>0,因此概率P{|X-μ|≤1.16σ}

=2Φ0(1.16)-1=2×0.8770-1=0.7540例7148已知连续型随机变量X~N(40,52),若概率P{X<a}=0.9850,则常数a=

.

解:根据正态分布概率的计算公式,得到概率

例7149它应等于所给概率值0.9850,即函数值

查表,得到关系