线性代数与概率论（第五版） 课件 3.1 线性方程组的一般解法

第三章线性方程组第一节线性方程组的一般解法第三节齐次线性方程组第二节线性方程组解的判别第四节投入产出问题12本章知识思维导图引导案例---投入产出模型3假设一个经济系统由煤炭、电力和钢铁三个部门组成，每个部门的年度总产出已知，并且每个部门的总产出在各部门之间分配已知如下表3-1：

因所有产出都必须分配，求出平衡价格使得每个部门的收支平衡。分析：为使每个部门的收支都平衡，就是各部门的总收入等于它的总支出，就是本章要学习的齐次线性方程组的求解问题。

第一节线性方程组的一般解法4本节主要学习目标：[知识目标] 了解线性方程组的同解变换。 熟练掌握线性方程组的初等行变换解法。[能力目标] 能用矩阵的初等行变换确定线性方程组解的结构及求出方程组的解。5考虑由m个线性方程式构成的n元线性方程组

由未知量系数构成的m行n列矩阵称为系数矩阵,记作A,即矩阵

6由未知量构成的矩阵称为未知量矩阵,记作X由常数项构成的矩阵称为常数项矩阵,记作B

7这时此线性方程组可以表示为矩阵形式AX=B显然,线性方程组解的情况取决于未知量系数与常数项增广矩阵8定义3.1已知由m个线性方程式构成的n元线性方程组AX=B,由未知量系数与常数项构成的m行n+1列矩阵称为增广矩阵,记作

解线性方程组最常用的方法是消元法,即对线性方程组作同解变换.线性方程组的同解变换9定义3.2对线性方程组施以下列三种变换:(1)交换线性方程组的任意两个线性方程式(2)线性方程组的任意一个线性方程式乘以非零常数k(3)线性方程组任意一个线性方程式的常数k倍加到另外一个线性方程式上去称为线性方程组的同解变换.例110解线性方程组

解:首先交换第1个线性方程式与第2个线性方程式,得到

例111再将第1个线性方程式的-3倍加到第2个线性方程式上去,得到

至此第2个线性方程式不含未知量x1,只含未知量x2,可以解出未知量x2的值,由于系数行列式

例112

最后将第2个线性方程式的-2倍加到第1个线性方程式上去,得到

即为此线性方程组的唯一解例113对线性方程组作同解变换,只是使得未知量系数与常数项改变,而未知量记号不会改变因此在求解过程中,不必写出未知量记号,而只需写出由未知量系数与常数项构成的增广矩阵,它代表线性方程组这时上面的求解过程可以表示为矩阵形式:

例114交换第1行与第2行

第1行的-3倍加到第2行上去

至此化为阶梯形矩阵,根据§1.4克莱姆法则,此线性方程组有唯一解例115

第2行的-2倍加到第1行上去

例116

所以此线性方程组的唯一解为

线性方程组的同解变换17交换线性方程组的任意两个线性方程式意味着交换增广矩阵的相应两行;线性方程组的任意一个线性方程式乘以非零常数k增广矩阵的相应一行乘以非零常数k意味着线性方程组的同解变换18线性方程组任意一个线性方程式的常数k倍加到另外一个线性方程式上去增广矩阵相应一行的常数k倍加到另外相应一行上去意味着结论：对线性方程组作同解变换,相当于对增广矩阵作初等行变换.线性方程组的一般解法19上面的求解过程可以推广到一般情况,得到线性方程组AX=B的一般解法:

线性方程组的一般解法20如何将阶梯形矩阵经若干次初等行变换化为简化阶梯形矩阵？这时应该从右到左依次将非零行首非零元素所在列其余元素全化为零,只需将此非零行的适当若干倍分别加到其他各行上去线性方程组的一般解法21在上述步骤中,可根据需要,穿插将非零行首非零元素适时化为1,只需非零行乘以其首非零元素的倒数,或者另外一行的适当若干倍加到此行上去值得注意的是:由于此题所给线性方程组有唯一解,从而也可以应用行列式求解,如§1.4例1当然,还可以应用逆矩阵求解,如§2.4例7,都得到同样的结果.例222

解：

第1行的-3倍加到第2行上去,第1行加到第3行上去

例223第2行的-1倍加到第3行上去

注意到所得阶梯形矩阵第3行是零行,它代表第3个线性方程式

例224这是恒等关系式,对线性方程组的求解不起作用,是多余线性方程式这意味着构成此线性方程组的3个线性方程式不是完全有效的,其中1个线性方程式(如第3个线性方程式)可以去掉,而其余2个线性方程式(如第1个线性方程式与第2个线性方程式)是有效线性方程式它们不能完全约束3个未知量的取值,只能完全约束其中2个未知量的取值,而另外1个未知量可以自由取值例225自由取值的未知量称为自由未知量,非自由取值的未知量称为非自由未知量选择非自由未知量所依据的原则是:其系数行列式不为零.当然,这种选择不唯一,习惯于将脚标较大的未知量选作自由未知量,而将脚标较小的未知量选作非自由未知量例226所得阶梯形矩阵第1行与第2行代表2个有效线性方程式构成的线性方程组

将含未知量x3的项都移到等号的右端,有

例227对于未知量x1,x2,其系数行列式

任给未知量x3的一个值,根据§1.4克莱姆法则,得到未知量x1,x2的唯一解,它们构成此线性方程组的一组解,这说明此线性方程组有无穷多解例228对所得阶梯形矩阵继续作初等行变换,化为简化阶梯形矩阵,有

第2行乘以-1

例229第2行的2倍加到第1行上去

所得简化阶梯形矩阵第1行与第2行代表线性方程组

例230选择未知量x3为自由未知量,未知量x1,x2为非自由未知量,非自由未知量x1,x2用自由未知量x3表示,其表达式为

例231自由未知量x3取任意常数c,所以此线性方程组无穷多解的一般表达式为

当然,解线性方程组的具体过程不是唯一的例332解线性方程组

例333第1行的-2倍加到第2行上去,第1行的-1倍加到第3行上去

第2行加到第3行上去

例334对于全体未知量x1,x2,x3,其系数行列式D=0,根据§1.4克莱姆法则,此线性方程组无