线性代数与概率论（第五版） 课件 1.4 克莱姆法则

第四节克莱姆法则1本节主要学习目标：[知识目标]

熟练掌握克莱姆法则的内容。[能力目标]

能运用克莱姆法则进行方程组的解的判断及计算。克莱姆法则第四节克莱姆法则2对于由两个线性方程式构成的二元线性方程组

用消元法求解,得到结论:当a11a22-a12a21≠0时,此线性方程组有唯一解

克莱姆法则第四节克莱姆法则3这个求解公式可以用行列式表示,以进一步揭示它的规律.引进记号

克莱姆法则第四节克莱姆法则4行列式D是由线性方程组中未知量系数构成的行列式,称为系数行列式行列式D1是系数行列式D中第1列元素由线性方程组常数项对应替换后所得到的行列式行列式D2是系数行列式D中第2列元素由线性方程组常数项对应替换后所得到的行列式克莱姆法则第四节克莱姆法则5于是上面的结论可以表达为:当系数行列式D≠0时,此线性方程组有唯一解

一般地,对于由n个线性方程式构成的n元线性方程组,有克莱姆(Cramer)法则.克莱姆法则第四节克莱姆法则6克莱姆法则已知由n个线性方程式构成的n元线性方程组

由未知量系数构成的行列式称为系数行列式,记作D,即

克莱姆法则第四节克莱姆法则7克莱姆法则（续）在系数行列式D中第1列元素,第2列元素,…,第n列元素分别用线性方程组常数项对应替换后所得到的行列式,分别记作D1,D2,…,Dn,即

…

…

克莱姆法则第四节克莱姆法则8克莱姆法则（续）那么:(1)如果系数行列式D≠0,则此线性方程组有唯一解

(2)如果系数行列式D=0,则此线性方程组无唯一解即有无穷多解或无解例1第四节克莱姆法则9

(1)判别有无唯一解;(2)若有唯一解,则求唯一解.解：(1)计算系数行列式

所以此线性方程组有唯一解例1第四节克莱姆法则10(2)再计算行列式解：

所以此线性方程组的唯一解为

例2第四节克莱姆法则11

判别有无唯一解计算系数行列式解：

=1+(-4)+3-1-6-(-2)=-5≠0所以此线性方程组有唯一解齐次线性方程组第四节克莱姆法则12常数项为零的线性方程式称为齐次线性方程式对于齐次线性方程组,显然所有未知量取值皆为零是它的一组解,这组解称为零解此外,若未知量的一组不全为零取值也是它的解,则称这样的解为非零解齐次线性方程组一定有零解,也可能有非零解对于由n个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组,根据克莱姆法则,如果系数行列式D≠0,则有唯一解,意味着仅有零解,说明无非零解在什么条件下,它一定有非零解？齐次线性方程组第四节克莱姆法则13定理1.3已知由n个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组

那么:(1)如果系数行列式D=0,则此齐次线性方程组有非零解;(2)如果此齐次线性方程组有非零解,则系数行列式D=0.例3第四节克莱姆法则14

判别有无非零解.例3第四节克莱姆法则15解：计算系数行列式

第1行加到第4行上去

注意到第4行与第3行的对应元素相同=0所以此齐次线性方程组有非零解.

第2行加到第3行上去例4第四节克莱姆法则16

有非零解,求系数k的值.例4第四节克莱姆法则17解：计算系数行列式

第1行的公因子k+2提到行列式外面

第2行与第3行皆加到第1行上第1行的-1倍分别加到第2行与第3行上去例4第四节克莱姆法则18解：

=(k+2)(k-1