(3.1)-数学专题选讲学大纲

《数学专题选讲》教学大纲《数学专题选讲》教学大纲

《数学专题选讲》教学大纲第一部分大纲说明一、课程性质与任务：《数学专题选讲》是数学与应用数学、信息与计算科学、经济管理类等各专业的一门专业拓展课。通过课程的学习，帮助学生巩固前期所学的微积分理论，引导学生对微积分的深入学习，从而提高学生的微积分综合素质，更好地培养学生的数学能力与数学思维,为将来学生后继的专业学习和研究奠定坚实的理论基础。二、教学对象：数学，信息与计算科学、经济管理类本科各个专业二、三年级年级以上在校大学生三、教学目的和要求：夯实基础。较全面讲透微积分的经典理论和方法，帮助学生理解其中的深刻内涵；重点讲授方法，强调运算和证明的技巧；强化训练过程，提高学生应用数学知识解决问题的能力。四、先修课程：微积分、高等数学、数学分析五、使用教材及参考资料：使用教材：自编讲义。参考资料：[1]《高等数学》（第七版），同济大学数学系，高等教学出版社,2016年。[2]《微积分》（第四版），赵树嫄，人民大学出版社，2016年。[3]《2022版张宇考研数学基础30讲》，张宇主编，北京理工大学出版社，2020年。[4]《考研数学历年真题全精解析》，李永乐，西安交通大学出版社，2018年[5]《数学历年真题全精解析（数学三）》，李永乐主编，西安交通大学出版社，2021年。[6]《数学基础过关660题（数学三）》，李永乐等编著，中国农业出版社，2020年。六、教学形式、教学方法及实践性环节：教学形式：课堂教学；网络课程教学教学方法：讲授七、考核：考核形式：考察；成绩评定：期末考试（50%），平时考核（50%）；八、课时分配表：《数学专题选讲》章目教学内容教学课时第一讲函数、极限、连续12第二讲一元函数微分学14第三讲一元函数积分学14第四讲多元函数微分学8第五讲二重积分8第六讲无穷级数8第七讲常微分方程与差分方程8九、教学进度表：周次学时教学内容第一周4高等数学预备知识第二周4数列极限、函数极限与连续性第三周4函数极限与连续性第四周4中秋放假、一元函数微分学的概念与计算第五周4一元函数微分学的概念与计算、一元函数微分学的几何应用第六周4国庆放假第七周4中值定理第八周4零点问题与微分不等式、一元函数积分学的概念与计算第九周4一元函数积分学的概念与计算第十周4一元函数积分学的几何应用第十一周4积分等式与积分不等式、多元函数微分学第十二周4多元函数微分学第十三周4二重积分第十四周4常微分方程第十五周4常微分方程第十六周4无穷级数第十七周4无穷级数、数学三专题内容第十八周4数学三专题内容、期末考试十、主讲教师：朱存斌(副教授),葛莉(副教授),李清栋(讲师)等。第二部分教学内容第一讲函数、极限与连续基本教学内容与要求了解：1.函数的定义及性质；2.基本初等函数、初等函数的概念；3.经济学中的常用函数；4.数列和函数极限概念；5.无穷小和无穷大的概念；6.极限的运算法则，极限存在准则与两个重要极限；7.初等函数的连续性；8.闭区间上连续函数的性质，理解：1.复合函数与分段函数的概念；2.无穷小量的概念和基本性质；3.函数连续性；掌握：1.函数的表示法；2.极限的四则运算；3.利用洛必达法则求未定式极限；4.利用两个重要极限求极限；5.无穷小的比较。教学重点、难点1.数列、函数极限的计算方法；2.函数的连续性判断及间断点类型的判断；3.闭区间上连续函数性质的应用。具体内容（1）函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.

（2）函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

（3）复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.

（4）数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.

（5）无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.

（6）极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.

（7）函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.

（8）连续函数的性质和初等函数的连续性.

（9）闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).第二讲一元函数微分学导数、微分及其应用基本教学内容与要求了解：1.导数的定义及几何意义；2.高阶导数；3.微分的概念；4.边际与弹性；5.柯西中值定理，泰勒定理。理解：1.可导和连续之间的关系；2.函数的极值与最值；3.罗尔中值定理，拉格朗日中值定理；掌握：1.导数的几何意义；2.分段函数，反函数与隐函数的导数；3.简单函数的高阶导数；4.函数的微分；5.利用函数导数判断函数的单调性和凹凸性；6.求函数的极值与最值；7.微分中值定理的应用。教学重点、难点1.导数和高阶导数的求解；2.中值定理的应用；3.单调性的判断、凹凸性的判断、极值最值的求法。具体内容（1）导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

（2）基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.

（3）复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.

（4）高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.

（5）微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

（6）洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.

（7）函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.

（8）函数最大值和最小值及其简单应用.

第三讲一元函数积分学不定积分、定积分及其应用基本教学内容与要求了解：1.定积分的概念、性质；2.微积分中值定理；3.反常积分的概念；理解：1.原函数与不定积分的概念、性质；2.积分上限函数；掌握：1.不定积分、定积分的计算法；2.积分上限函数的导数；3.定积分的几何应用；4.反常积分的计算。教学重点、难点1.不定积分的计算；2.定积分的性质和计算；3.定积分的几何应用。具体内容（1）原函数和不定积分的概念.

（2）不定积分的基本性质、基本积分公式.

（3）定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.

（4）不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.

（5）有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.

（6）广义积分.

（7）定积分的应用：平面图形的面积，旋转体的体积，平行截面面积为已知的立体体积，函数的平均值．

第四讲多元函数微分学基本教学内容与要求了解：1.多元函数的概念；2.二元函数的几何意义；3.二元函数的极限与连续的概念；4.多元函数的偏导数与全微分的概念概念；5.偏导数及其在经济分析中的应用；理解：1.多元复合函数的求导法则及隐函数的求导公式；2.二元函数极值存在的充分条件；掌握：1.求多元复合函数一阶、二阶偏导数；2.求多元隐函数的偏导数；3.二元函数无条件极值和条件极值；4.简单多元函数的最值，并解决简单的应用问题。教学重点、难点1.偏导数的定义及计算；2.多元复合函数的求导法则及隐函数的求导公式；4.多元函数的极值最值及其应用。具体内容（1）多元函数的概念、二元函数的几何意义.

（2）二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.

（3）多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.

（4）多元复合函数一阶、二阶偏导数

（5）隐函数求导公式（6）多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.

第五讲二重积分基本教学内容与要求了解：1.二重的概念和基本性质；2.无界区域上简单的反常二重积分；理解：二重积分的几何意义；掌握：1.二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标）。教学重点、难点1.二重的计算；2.二重积分的积分次序交换。具体内容（1）二重积分概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)

（2）直角坐标系下二重积分的计算，对称性在二重积分中的应用（3）直角坐标系下二重积分的积分次序交换

（4）极坐标系下二重积分的计算

第六讲无穷级数基本教学内容与要求了解：1.常数项级数的敛散性的概念；2.任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念；3.交错级数的莱布尼兹判别法；4.幂级数在其收敛区间的基本性质；掌握：1.p级数的收敛与发散的条件；2.正项级数收敛的判别法；3.幂级数的收敛半径、收敛域及和函数；4.简单函数的幂级数展开。教学重点、难点1.正项级数及其审敛法；2.任意项级数的绝对收敛与条件收敛的判定；3.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域的求解；4.简单幂级数的和函数的求解；5.间接展开法将函数展开为幂级数。具体内容（1）常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.

（2）几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.

（3）任意项级数的绝对收敛与条件收敛.

（4）函数项级数的收敛域与和函数的概念.

（5）幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.

（6）简单幂级数的和函数的求法.

（7）初等函数的幂级数展开式.

第七讲常微分方程与差分方程基本教学内容与要求了解：1.常微分方程的基本概念；2.线性微分方程解的性质及解的结构定理；3.差分方程的基本概念；掌握：1.一阶变量分离方程，齐次方程，线性微分方程的求解；2.二阶常系数线性微分方程的求解；3.用微分方程求解简单的经济应用问题；4.一阶常系数线性差分方程的求解。教学重点、难点1.一阶微分方程（变量分离方程，齐次方程，线性方程）的解法；2.二阶常系数线性微分方