河北省承德普通中学2024年高三冲刺模拟数学试卷含解析

河北省承德普通中学2024年高三冲刺模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（）A． B． C． D．2．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则()A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b3．为得到y=sin(2x-πA．向左平移π3个单位B．向左平移πC．向右平移π3个单位D．向右平移π4．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）A． B． C． D．5．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．已知向量，，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．7．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是A．在内总存在与平面平行的线段B．平面平面C．三棱锥的体积为定值D．可能为直角三角形8．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,29．已知，，，则的最小值为（）A． B． C． D．10．已知全集，集合，则（）A． B． C． D．11．设函数，则函数的图像可能为（）A． B． C． D．12．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.14．设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______．15．三棱锥中，点是斜边上一点.给出下列四个命题：①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为；③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为.其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）16．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频率分布表质量指标值频数2184814162（1）求图中实数的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.18．（12分）在数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值19．（12分）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，求的值．20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）求的最大值．21．（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意，，解得.故选：B.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.2、A【解析】

求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.【详解】依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.故选：A【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．3、D【解析】试题分析：因为，所以为得到y=sin(2x-π3)的图象，只需要将考点：三角函数的图像变换．4、D【解析】

由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，得，当时，.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.5、D【解析】

由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得，，，.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.6、C【解析】

求出，进而可求,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，.则所以，则向量与的夹角为.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式进行计算.7、D【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；B项利用线面垂直的判定定理；C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；B项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.8、C【解析】

先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义，属于简单题．9、B【解析】,选B10、D【解析】

根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.【详解】，，，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.11、B【解析】

根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.【详解】定义域为：，函数为偶函数，排除，排除故选【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.12、C【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求出抛物线的准线方程，然后根据点到准线的距离为6，列出，直接求出结果.【详解】抛物线的准线方程为，由题意得，解得.∵点在抛物线上，∴，∴，故答案为：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.14、【解析】

先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点时取得最大值,从而得到一个关于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而．故答案为．【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．15、①②③【解析】

对①，由线面平行的性质可判断正确；对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；对④，由动点分析可知，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，结合几何关系可判断错误；【详解】对于①，因为平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若，，，平面，∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，∴②正确；对于③，设内心是，则平面，连接，则有，又内切圆半径，所以，，故，∴三棱锥的体积为，∴③正确；对于④，∵若，平面，则直线与平面所成的角最大时，点与点重合，在中，，∴，即直线与平面所成的最大角为，∴④不正确，故答案为：①②③.【点睛】本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题16、4038.【解析】

由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．【详解】由知：得函数的图象关于点对称又函数的图象关于点对称则函数图象与函数图象的交点关于点对称则故，即本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）详见解析【解析】

（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出值；（2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为.，选2件产品，支付的费用的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望．【详解】解：（1）据题意，得所以（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为.随机变量的所有取值为240，300，360，420，480.随机变量的分布列为240300360420480所以（元）【点睛】本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．18、（1）；（2）【解析】

（1）由得，两式相减可得是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；（2），分类讨论，当时，，作商法可得数列为递增数列，由此可得答案，【详解】解：（1）因为，，两式相减得：，即，是从第二项开始的等比数列，∵∴，则，；（2），当时，；当时，设递增，，所以实数的最小值．【点睛】本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．19、（1）（2）【解析】

（1）当时，，由可得，（所以，解得，所以不等式的解集为．（2）由题可得，因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，所以，解得，当时，，函数的图象与轴没有交点，不符合题意；当时，，函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形，符合题意．综上，可得．20、（1），；（2）1．【解析】

（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【详解】（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x，∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是y2+4my﹣4＝0的两个不同实根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，（），（x2﹣2，），（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m）2+1．∴当m时，取最大值1．【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法