陕西省西安市西北工业大学2024年高三适应性调研考试数学试题含解析

陕西省西安市西北工业大学2024年高三适应性调研考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．2．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．83．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A．若，，则或B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则5．集合中含有的元素个数为（）A．4 B．6 C．8 D．126．命题“”的否定为（）A． B．C． D．7．已知复数，则对应的点在复平面内位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．已知函数，，若成立，则的最小值为（）A．0 B．4 C． D．9．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数在上单调递减B．函数在上单调递增C．函数的对称中心是D．函数的对称轴是10．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）A． B．C． D．11．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）．A． B． C． D．12．已知复数满足，且，则（）A．3 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量与的夹角为，，，则________.14．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____.15．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______________．16．若函数为偶函数，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值．18．（12分）已知函数．⑴当时，求函数的极值；⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．19．（12分）已知函数.（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.20．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求证：21．（12分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为公顷和公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为公顷和公顷.（1）设，用关于的函数表示，并求在区间上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；（2）如果，并且，试分别求出、、、的值.22．（10分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．2、C【解析】

根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值，第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，；第七次循环：，；第九次循环：，；第十次循环：，；所以输出.故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.3、A【解析】

建立平面直角坐标系，求出直线，设出点，通过，找出与的关系．通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围．【详解】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线，设点，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A．【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．4、D【解析】

根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解.【详解】选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确；选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确；选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确；选项D，若，，有可能，故D不正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.5、B【解析】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B6、C【解析】

套用命题的否定形式即可.【详解】命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.故选：C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.7、A【解析】

利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.【详解】依题意，对应点为，在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.8、A【解析】

令，进而求得，再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】∵∴（），∴，令：，，在上增，且，所以在上减，在上增，所以，所以的最小值为0.故选：A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键，属于中档题.9、B【解析】

根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】由图象可得，函数的周期，所以.将点代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，故A正确；令，得，故函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，故B错误；令，得，故函数的对称中心是，故C正确；令，得，故函数的对称轴是，故D正确.故选：B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10、B【解析】

根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.【详解】解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称，对满足的，，有，∴.再根据其图像关于直线对称，可得，.∴，∴.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令，求得，则函数的单调递减区间是，，故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.11、B【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，∵是直线上任意一点，则直线与直线的距离，∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，∴，即，又故的取值范围为，故选：B．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、C【解析】

设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.【详解】由可得，则，所以.故答案为:【点睛】本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.14、【解析】

根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值.【详解】根据题意,连接,如下图所示:在等腰三角形中,已知,则由向量数量积运算可知线段的中点分别为则由向量减法的线性运算可得所以因为,代入化简可得因为所以当时,取得最小值因而故答案为:【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.15、【解析】

过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角.故当和抛物线相切时，的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值.【详解】解：由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角.故当最小时，的值最小.设切点，由的导数为，则的斜率为，求得，可得，，，.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.16、【解析】

二次函数为偶函数说明一次项系数为0，求得参数，将代入表达式即可求解【详解】由为偶函数，知其一次项的系数为0，所以，，所以，故答案为：-5【点睛】本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】

（1）先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；（2）写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出和，利用三角函数的性质求出的最大值.【详解】解：（1），，即极坐标方程为，，极坐标方程．（2）由题可知，，当时，.【点睛】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.18、（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨论，得到的取值范围是．试题解析：（1）函数的定义域为当时，，所以所以当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）设函数上点与函数上点处切线相同，则所以所以，代入得：设，则不妨设则当时，，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，代入可得：设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时,又当时因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．又由得：所以单调递减，因此所以实数的取值范围是．19、（1）.（2）【解析】

（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，构造函数g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，结合导数及函数的性质可求.【详解】（1），x＞0，由题意可得，0，解可得t＝﹣4，∴，易得，当x＞2，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣3；（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0时恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，则，（i）当t≥0时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，（ii）当﹣2＜t＜0时，g（x）在（）上单调递减，在（0，），（1，+∞）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣1不合题意，舍去；（iii）当t＝﹣2时，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时g（1）＝﹣3不合题意；（iv）当t＜﹣2时，g（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣3不合题意，综上，t≥1时，f（x）≥2恒成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.20、（1）（2）见解析【解析】

（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．【详解】（1）∵，∴.∴当时，取得最大值.∴.（2）由（Ⅰ），得，.∵，当且仅当时等号成立，∴.令，.则在上单调递减.∴.∴当时，.∴.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.21、（1），最大