第23章图形的相似单元测试卷2023-2024学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似单元测试卷一、单选题1．已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（）A． B． C．0.618 D．2．下列的点在函数y＝x－2上的是（）A．(0，2) B．(3，－2) C．（－3，3） D．（6，0）3．如图，在矩形中，分别是的中点，，则的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）A．1，2，3，4 B．2，3，5，8C．2，，3， D．1，2，3，65．如图，菱形ABCD的对角线AC，BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）．A．4 B．4 C．4 D．286．一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（）A． B．C．或 D．以上都不对7．下列说法正确的是（）A．小红小学毕业时的照片和初中毕业时的照片相似B．商店新买来的一副三角板是相似的C．所有的课本都是相似的D．国旗的五角星都是相似的8．如图，在中，，且，则的值为（）A． B． C． D．9．一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米10．直角坐标系中，我们定义横、纵坐标均为整数的点为整点在0<x<3内，直线y=x+2和y=-x所围成的区域中，整点一共有（）A．8个 B．7个 C．6个 D．5个二、填空题11．将点P向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（3,-1），则点P坐标为．12．如图，在中，，，是边上的高，过点作，且，点与点均在的右侧，连接，交于点．（1）若点为的中点，则的长为；（2）若，则的长为．13．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为.14．如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，若△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点处，F为AD上一点，且，EF与BD相交于点G，与BD相交于点H，，HG=2，则BD=.三、解答题15．如图，在中，，M是斜边的中点，，垂足为点N，且的延长线交于点D．（1）求证；（2）如果，求的长度．16．在中，（1）若，如图1，点、分别是边、的中点，，，求的长；（2）若，如图2，点、分别是边、的中点，请仅用无刻度的直尺在图2中画一个以为边的菱形．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）17．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．18．如图，△ADE∽△ABC，=，△ABC的面积为18，求四边形BCED的面积．19．位于汉江沿岸的小明家、学校、医院、游乐场的平面图如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，使医院的坐标为（3，0）并写出小明家、学校、游乐场的坐标；（2）根据蜀河大坝蓄水工程需要，小明家及学校、医院、游乐场需要等距离整体迁移，已知迁移后新的小明家、学校、游乐场、医院分别用A、B、C、D表示，且这四点的坐标分别用原来各地点的横坐标都减去5、纵坐标都加上2得到，请先在图中描出A、B、C、D的位置，画出四边形ABCD，然后说明四边形ABCD是由以小明家、学校、游乐场、医院所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的？四、综合题20．已知A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣2，1）四个点．（1）在图中描出A，B，C，D四个点，并顺次连接点A，B，C，D，A．（2）直接写出线段AB，CD之间的关系．（3）求四边形ABCD的面积．21．如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．22．如图，点E为正方形ABCD中AD边上的一个动点，AB=16，以BE为边画正方形BEFG，边EF与边CD交于点H．（1）当E为边AD的中点时，求DH的长；（2）当tan∠ABE=时，连接CF，求CF的长；（3）连接CE，求△CEF面积的最小值．23．在正方形中，点E是边上的动点，连接.（1）如图1，点F在的延长线上，且.①求证：；②如图2，将绕点逆时针旋转得到对应，射线交于N，交于M，连接，试探究与之间的数量关系.（2）如图3，若，点是边上的动点，且，连接，直接写出的最小值.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵点是线段的黄金分割点，，∴，令，∴，，∴；故答案为：B.

【分析】设AB=x，根据黄金分割比把AP和PB分用含x的关系式表示，则可求出AP：PB的比值.2．【答案】D【解析】【解答】A.当x=0时，.因此，点(0,2)不在该函数的图象上.故A选项不符合题意.B.当x=3时，.因此，点(3,-2)不在该函数的图象上.故B选项不符合题意.C.当x=-3时，.因此，点(-3,3)不在该函数的图象上.故C选项不符合题意.D.当x=6时，.因此，点(6,0)在该函数的图象上.故D选项符合题意.故答案为：D.

【分析】把选项中的各点代入解析式，通过等式左右两边是否相等来判断点是否在函数图象上．3．【答案】A【解析】【解答】解：连接AC

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD=12

E、F分别是AB、BC的中点；

∴EF为△ABC的中位线；

∴EF=AC=6；

故答案为：A。

【分析】根据矩形的性质得出AC=BD=12，E、F分别是AB、BC的中点，EF为△ABC的中位线，得出EF=AC=6。4．【答案】D【解析】【解答】解：A、1×4≠2×3，故四条线段不成比例，不合题意；B、2×8≠5×3，故四条线段不成比例，不符合题意；C、2×≠3×，故四条线段不成比例，不合题意；D、1×6=3×2，故四条线段成比例，符合题意.故答案为：D.【分析】四条线段中，如果最长线段与最短线段的乘积等于剩下两条线段的乘积，那么这四条线段成比例，据此即可一一判断得出答案.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，∴AC=2EF=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，∴AB==，∴菱形ABCD的周长为4．故答案为：C．【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2EF的值，由菱形的性质对角线互相垂直平分，再根据勾股定理求出AB的值，得到菱形ABCD的周长.6．【答案】C【解析】【解答】解：由题可知四边形的相似比为1：1或1：3，四边形的面积之比等于相似比的平方，且四边形的面积为，四边形的面积为或．故答案为：C．

【分析】利用位似图形的性质：相似图形的面积之比等于相似比的平方求解即可。7．【答案】D【解析】【解答】A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片，形状不相同，不相似；B．商店新买来的一副三角板，形状不相同，不相似；C．所有的课本都是相似的，形状不相同，不相似；D．国旗的五角星都是相似的，形状相同，相似.故答案为：D．【分析】观察图形，看它们的形状是否相同，形状相同的两个图形是相似图形.8．【答案】B【解析】【解答】解：∵DE∥AB，

∴.

∵CE+AE=AC，

∴.

故答案为：B.

【分析】根据平行线分线段成比例定理求出比值即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：①设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，根据题意得：，解得，；②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，根据题意得：，解得，；③设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，根据题意得：，解得，.故答案为：C.【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，直线y=x+2与直线y=-x在0<x<3内共有8个整点.

故答案为：A.

【分析】在平面直线坐标系中，画出直线y=x+2与直线y=-x的图象，利用图象法在0<x<3内读出整个点的个数即可.11．【答案】（5，2）【解析】【解答】设点P的坐标为（x，y），根据题意，x-2=3，y-3=-1，解得x=5，y=2，则点P的坐标为（5，2）．故答案是：（5，2）．【分析】设点P的坐标为（x，y），然后根据向左平移，横坐标减，向下平移，纵坐标减，列式进行计算即可得解．12．【答案】（1）（2）【解析】【解答】解：（1）∵是边上的高，∴，∵，，∴，，∵点是的中点，∴，∵，∴，∴；故答案为：；（2）∵，，∴，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，即，设，则，∴，即，解得（负值舍去）．∴．故答案为：．【分析】（1）先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；

（2）先求出，再求出，最后求解即可。13．【答案】【解析】【解答】解：过点C作CE⊥OA，∵，，∴CE=OC·sin60°=，OE=OC=，∴点的横坐标为：OE+BC=+=，∴点的坐标为：，【分析】过点C作CE⊥OA，根据，可以求出CE、OE的长，点B的坐标便不难求出.14．【答案】【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠C=90°，∵∠AE=∠D=90°，∴∠A+∠E=90°，∠ED'C+∠D∴∠AD'∴△CD'∴D'∵C=DF，AD'=AD，，∴，∵∠EDF=∠BAD=90°，∴△EDF∽△DAB，∴∠FED=∠ADB，∵∠ADB+∠BDC=90°，∴∠FED+∠BDC=90°，∴EF⊥BD，又∵∥BD，AD'⊥∴BD⊥A，∴四边形HGE是矩形，∴HG=E=DE=2，设EC=y，CD'易得△EGD≌△D'∴DG=CE=y，EG=C=HD'=x∵∥BD，∴∠ED'∵∠C=∠BHD'∴△BH∽△D'∴BHC∴，即BH=，∴BD=BH+GH+DG=，易得：△DFE∽△CE，∴DE即，∴，∵，∴，∴或（舍去），∴BD=.所以答案为.【分析】首先证明出△CE∽△BA，然后得出D'EAD'=CD'BA，进一步再证明△EDF∽△DAB，从而结合题意得出EF⊥BD，然后证明出四边形HGE是矩形，得出HG=E=DE=2，之后设EC=y，C=x，通过△BH∽△15．【答案】（1）证明：∵M是斜边BC的中点，∴AM＝CM．∴∠MAC＝∠C．∵∠MAC＋∠BAN＝90°，∠ABD＋∠BAN＝90°，∴∠MAC＝∠ABD．∴∠C＝∠ABD．∵∠BAC＝∠DAB＝90°，∴△ABC∽△ADB．（2）解：∵△ABC∽△ADB，．设AC＝4x，AB＝3x．由勾股定理得(4x)2＋(3x)2＝202．解得：x＝4，x＝－4（舍去）．∴AB＝3x＝12．【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：即然后根据直角的定义和角的等量代换得到：，进而即可求证；

（2）根据相似三角形的性质得到：，设AC＝4x，AB＝3x．最后根据勾股定理即可求出AB的长度.16．【答案】（1）解：连接，过点作于点，，在中，，是等腰直角三角形，，，，，，，在中，，点、分别是边、的中点，是的中位线，；（2）解：如图2中，四边形即为所求，．【解析】【分析】（1）连接BD，过点D作DG⊥AB交于点G，则是△ADG为等腰直角三角形，由勾股定理可得，DG=AG=3，从而得到BG=4，由勾股定理得出BD=5，最后由三角形中位线定理即可到答案.

（2）连接BD、AC相交于点P，则AC=BD，连接EO，延长EO交BC于G，连接，延长交于FO，延长FO交CD于点H，连接EH、HG、FG即可作出图形.17．【答案】解：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE=FC，DF=EC∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，∵AC=8，BC=12，∴AF=2，DF=3∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6，∴DE=FC=6，DF=EC=3∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18．答：四边形DECF的周长是18【解析】【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出，代入求出DF、AE即可求出答案．18．【答案】解：∵=，∴=，∵△ADE∽△ABC，=，∴△ADE与△ABC的面积比为，又△ABC的面积为18，∴△ADE的面积为2，∴四边形BCED的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积=16．【解析】【分析】根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质得到两个三角形的面积比，求出△ADE的面积，结合图形计算即可．19．【答案】解：（1）如图所示：小明家的坐标为：（0，0）、学校的坐标为：（2，2）、游乐场的坐标为：（5，2）；（2）∵四点的坐标分别用原来各地点的横坐标都减去5、纵坐标都加上2得到，∴A、B、C、D的位置如图所示，则四边形ABCD是由以小明家、学校、游乐场、医院所在地为顶点的四边形经过向左平移5个单位再向上平移2个单位得到的．​【解析】【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，进而得出小明家、学校、游乐场的坐标；（2）利用平移规律得出各对应点位置，进而得出答案．20．【答案】（1）解：（2）解：AB，CD之间的关系是：AB∥CD且AB=CD．（3）解：[2﹣（﹣3）]×[1﹣（﹣2）]=5×3=15答：四边形ABCD的面积是15．【解析】【分析】（1）根据A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣2，1），在图中描出A，B，C，D四个点，并顺次连接点A，B，C，D，A即可（2）根据图示，写出线段AB，CD之间的位置关系和数量关系即可．（3）根据平行四边形的面积=底×高，求出四边形ABCD的面积是多少即可．21．【答案】（1）解：由题意知：BP=2t，AP=10﹣2t，AQ=2t，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴=，∴=，t=，即当t为s时，PQ∥BC；（2）解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，则PD∥BC，∴△APD∽△ABC，∴=，∴=，PD=（10﹣2t），∴S=AQ•PD=•2t•（10﹣2t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣）2+7.5，∵﹣＜0，开口向下，有最大值，当t=秒时，S的最大值是7.5cm2．（3）解：假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则S△APQ=S△ABC即﹣t2+6t=××8×6t2﹣5t+10=0，∵△=52﹣4×1×10=﹣15＜0，∴此方程无解，即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．【解析】【分析】（1）证△APQ∽△ABC，推出=，代入得出=，求出方程的解即可（2）求出∠C=90°，过P作PD⊥AC于D，证△APD∽△ABC，代入得出方程=，求出PD=（10﹣2t），根据三角形的面积公式求出即可；（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，得出方程﹣t2+6t=××8×6，求出此方程无解，即可得出答案．22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD和四边形BGFE是正方形，∴∠D=∠A=∠BEF=90°，∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°，∴∠AEB=∠DHE，∴△EDH∽△BAE，∴，∵E为边AD的中点，∴DE=AE=8，∴，∴DH=4；（2）解：过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，∵tan∠ABE=，AB=16，∴AE=12，∴DE=4，∵∠MEF+∠AEB=∠AEB+∠ABE=90°，∴∠MEF=∠ABE，∴tan∠MEF=，∴ME=16，FM=12，∴DM=12，∴DM=MF，∴四边形DGFM是正方形，∴FG=12，HG=9，∴CG=4，∴FC==4（3）解：∵S△CEF=S△CHF+S△CHE=CH•EM，∵△EMF≌△BAE，∴EM=AB=16，∴S△CEF=8CH，∵△EDH∽△BAE，∴，设AE为x，则DH=（﹣x2+16x）=﹣（x﹣8）2+4≤4，∴DH≤4，∴CH≥12，CH最小值是12，∴△CEF面积的最小值是96【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到∠D=∠A=∠BEF=90°，根据余角的性质得到∠AEB=∠DHE，根据相似三角形的想知道的，代入数据即可得到结论；（2）过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，根据已知条件得到AE=12，求得DE=4，根据余角的性质得到∠MEF=∠ABE，等量代换得到tan∠MEF=求得ME=16，FM=12，根据勾股定理即可得到结论；（3）