苏科版九年级上月考数学试卷含解析

九年级（上）月考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母代号填在下表中相应的题号下）

1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

2.在同一坐标系中，作y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的图象，它们共同特点是（）

A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上

B.都是关于原点对称，顶点都是原点

C.都是关于y轴对称，抛物线开口向下

D.都是关于y轴对称，顶点都是原点

3.抛物线y=x2-m为（）

A.0B.1C.-ID.±1

4.把二次函数y=x2-2x-1配方成顶点式为（）

A.y=（x-1）2B.y=（x+1）2-2C.y=（x+1）2+lD.y=（x-1）2-2

5.如图所示，^ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30。、45°,如果此时

热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离

A.200米B.200«米C.220«米D.100(V3+I)米

7.如图，在RSABC中，ZC=90°,AB=6,cosB=-1,则BC的长为()

J

9.如图，PA,PB切。。于A、B两点，CD切€）0于点E,交PA,PB于C,D.若

O0的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tanNAPB的值是（)

V13V13

D3

3

已知抛物线（）（）与轴交于点与轴交于点则

10.y=ax+1x—axA,B,yC,

能使4ABC为等腰三角形的a的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请

将答案直接填写在下面答题栏内的相应位置）

11.（2分）若锐角e满足2sin;血=0,则。=°.

12.（2分）函数y=（m-l/m+1-2m=.

13.（2分）抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点为.

14.（2分）抛物线y=x2-=.

15.（2分）抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是—.

16.（2分）如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都

在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P,则cos/APD=

17.（2分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm,深为30cm,

为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,

现设计斜坡BC的坡度i=l：5,则AC的长度是—cm.

18.（2分）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一

个动点，连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接HN.则在

点M运动过程中，线段HN长度的最小值是—.

三、解答题（本大题共有10小题，共84分.解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

19.(8分)解方程:

(1)x2-5x+6=0；

(2)x(x-6)=4.

20.（8分）求下列各式的值

(1)sin260o+cos60°tan45°；

cos30°

4-tan60

(2l+sin30

21.（6分）如图，竖立在点B处的标杆AB高2.4m,站立在点F处的观察者从

点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上，设BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求

树昌jCD.

22.（6分）根据条件求函数的关系式

（1）已知二次函数y=x2+bx+c经过（-2,5）和（2,-3）两点，求该函数的

关系式；

（2）已知二次函数的图象以A（-1,4）为顶点，且过点B（2,-5）,求该

函数的关系式.

23.（8分）如图，小岛A在港口P的南偏东45。方向，距离港口100海里处.甲

船从A出发，沿AP方向以10海里/小时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，

沿北偏东30。方向，以20海里/小时的速度驶离港口.现两船同时出发，出发后

几小时乙船在甲船的正北方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据^^1.41,

24.（10分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销

产品.某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元.经过一段时

间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=-2X+1000.

（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；

（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？

（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高

利润和最低利润分别为多少？

25.（8分）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离

水面4m.

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；

（2）设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽

度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

R才正篱水位C

3

26.（10分）如图，已知直线I的函数表达式为x+3,它与x轴、y轴的交点

分别为A、B两点.

（1）求点A、点B的坐标；

（2）设F是x轴上一动点，OP经过点B且与x轴相切于点F设。P的圆心坐标

为P（x,y）,求y与x的函数关系式；

（3）是否存在这样的。P,既与x轴相切又与直线I相切于点B?若存在，求出

圆心P的坐标；若不存在，请说明理由.

->

X

27.（10分）如图1,在菱形ABCD中，AB=J^,tan/ABC=2,点E从点D出

发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t

（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a（a=NBCD）,得到对应线段CF.

（1）求证：BE=DF；

（2）当1=秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；

(3)如图2,连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当t为何值时，△EPQ是

直角三角形？

(4)如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a(a=NBCD),得到对应线

段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点

F到直线AD的距离v关于时间t的函数表达式.

28.(10分)如图，在平面直角坐标系中，己知点。(0,0),A(5,0),B

(4,4).

(1)求过0、B、A三点的抛物线的解析式.

(2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以。、A、B、M为顶点的四边形面积

最大，求点M的坐标.

(3)作直线的值.

/'B

rX

-江苏省无锡市东湖塘中学九年级（上）月考数学试卷（12

月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母代号填在下表中相应的题号下）

1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

【考点】二次函数的定义.

【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a

W0）的函数，叫做二次函数解答.

【解答】解：A、y=ax2+bx+c,应说明a#0,故此选项错误；

B、*2+丫-2=0可变为丫=-*2+2,是二次函数，故此选项正确；

C、y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误；

D、x2-y2+l=0不是二次函数，故此选项错误；

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数定义.

2.在同一坐标系中，作y=2x\y=-2x\y=0.5x2的图象,它们共同特点是（）

A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上

B.都是关于原点对称，顶点都是原点

C.都是关于y轴对称，抛物线开口向下

D.都是关于y轴对称，顶点都是原点

【考点】二次函数的性质.

【分析】根据抛物线y=ax2的特征进行判断即可.

【解答】解：在二次函数y=ax2中，其图象关于y轴对称，顶点为原点，

Vy=2x2>y=-2x2>y=0.5x2都是y=ax?类型的二次函数,

，y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的图象关于y轴对称，且顶点都是原点.

故选D.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握y=ax2的图象关于y轴对称，顶点

为原点是解题的关键.

3.抛物线y=x2-m为()

A.0B.1C.-1D.±1

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】把原点坐标代入抛物线y=x2-m2+l=O,

所以m=±1.

故选D.

【点评】此题考查了点与函数的关系，点在图象上，将点代入函数解析式即可求

得.

4.把二次函数y=x2-2x-l配方成顶点式为()

A.y=(x-1)2B.y=(x+1)2-2C.y=(x+1)2+lD.y=(x-1)2-2

【考点】二次函数的三种形式.

【分析】利用配方法把一般式配成顶点式即可.

【解答】解:y=x2-2x+l-2

=(x-1)2-2.

故选D.

【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常

数，aWO),该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是

(0,c)；顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，aWO),其中(h,k)

为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(h,k)；

交点式：y=a(x-Xi)(x-x2)(a,b,c是常数，aWO),该形式的优势是能

直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标(X1，0),(X2,0).

5.如图所示，^ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为()

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理.

【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答.

【解答】解：如图：在B点正上方找一点D,使BD=BC,连接CD交AB于0,

根据网格的特点，CD_LAB,

在RtAAOC中，

的而理；

ACV12+32网.

则皿器痛V-

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网

格构造直角三角形是解题的关键.

6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30。、45°,如果此时

热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离

是（）

A.200米B.20^3米c.22r米D.100^+1）米

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻

边后，相加求和即可.

【解答】解：由已知，得NA=30°,ZB=45",CD=100,

VCD±AB于点D.

4dCD

.,.在RQACD中，ZCDA=90°,tanA而，

CD100V3

.•.ADtanA返=100

T

在RtZ\BCD中，ZCDB=90°,ZB=45°

.\DB=CD=100米，

，AB=AD+DB=103亏+100=1004+1）米.

故选D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△

ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解.分别在两三角形中求出

AD与BD的长.

2

7.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AB=6,cosBy,则BC的长为（）

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】根据cosB看，可答4,再把AB的长代入可以计算出CB的长.

DADD

9

【解答】解：•.,cosB^,

CB2

AB~3,

VAB=6,

2

...CBWX6=4,

o

故选：A.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边

b与斜边c的比叫做NA的余弦.

8.已知二次函数y=ax2+bx+c,若a>0,cVO,那么它的图象大致是（）

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】根据a的符号确定抛物线的开口方向，根据c的符号确定抛物线与y轴

的交点.

【解答】解：•.,二次函数y=ax2+bx+c,a>0,c<0,

二抛物线开口向上，与y轴交点在x轴的下方，

故选A.

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c

（aWO）来说，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开

口大小，|a|越大开口就越小；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴

的位置.

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,

对称轴在y轴右（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物

线与y轴交于（0,C）；④抛物线与x轴交点个数.△=b2-4ac>0时，抛物线

与x轴有2个交点；442-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；442-4ac<

0时，抛物线与x轴没有交点.

9.如图，PA,PB切。。于A、B两点，CD切€）0于点E,交PA,PB于C,D.若

。。的半径为r,4PCD的周长等于3r,则tan/APB的值是（）

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.

【分析】（1）连接OA、OB、0P,延长B。交PA的延长线于点F.利用切线求

32

得CA=CE,DB=DE,PA=PB再得出PA=PByr.利用RtABFP^RTAOAF得出AF^

FB,在RTZ\FBP中，利用勾股定理求出BF,再求tanNAPB的值即可.

【解答】解：连接OA、OB、0P,延长B。交PA的延长线于点F.

VPA,PB切。。于A、B两点，CD切。。于点E

AZOAF=ZPBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

APCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

3

/.PA=PByr.

在RtAPBF和RtAOAF中，

fZFAO=ZFBP

IZOFA=ZPFB，

RtAPBF^RtAOAF.

AFAOr2

FBBP,

~2T

2

AAFyFB,

在RtAFBP中，

VPF2-PB2=FB2

，(PA+AF)2-PB2=FB2

323

AyryBF)2-yr)2=BF2,

1o

解得BF爸r,

BF^8_22

PBVrV

.e.tanZAPB=飞=,

~2T

故选：B.

【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题

的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系.

3

10.已知抛物线y=a(x+1)(x—)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则

a

能使AABC为等腰三角形的a的值有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考点】抛物线与x轴的交点；等腰三角形的判定.

【分析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C,

然后求出AC的长度，再分①a>0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、

AB=BC三种情况求解；②aVO时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的

左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可.

3

【解答】解：解法1：y=a(x+1)XT-)=(x+1)(ax-3),

(a

所以，抛物线经过点A(-1,0),C(0,-3),

222

ACVOA+OCVl+38，

3

点B坐标为二，0),

①k>0时，点B在x正半轴上，

若AC=BC,J(-|-)2+32=VTO，解得a=3,

若AC=AB,三+1网，解得a驾乜，

aJ

若AB=BC,曰+l^(-1)2+32,解得a,；

②kVO时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，

只有AC=AB,则-1?卢\解得2=碧二，

所以，能使^ABC为等腰三角形的a的值有4个.

解法2：易得抛物线一定过两个定点：(-1,0),(0,-3),连接这两个定

点，得到一条线段，以这条线段为底边可以在横轴上找一点构成等腰三角形，以

这条线段为腰，分别以两个定点为顶点可以在横轴上找到三个点构成等腰三角形,

所以共有四个点可以与定点构成等腰三角形，从而可以确定四个形状不同的抛物

线，所以a有四个值.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物

线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论，此题有一定的难度.

二、填空题：(本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请

将答案直接填写在下面答题栏内的相应位置)

11.若锐角。满足2sin[&=°,则。=45

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】先根据题意得出sinQ的值，再由特殊角的三角函数值即可得出结论.

【解答】解：,•,2sin1仔。,

/.sin

•••0为锐角，

.,.0=45°.

故答案为：45.

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答

此题的关键.

z+1

12.函数y=(m-1x-2m=-1.

【考点】二次函数的定义.

【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可.

2

【解答】解：由y=(m-l,xm+1-2mx+l是抛物线，得

/in2+l=2

IB-1卢0，

解得m=-l,m=l(不符合题意舍去)，

故答案为：-L

【点评】本题考查二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为零是解题关键.

13.抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点为(-3,0),(1,0).

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】直接得出y=o时x的值，进而得出答案.

【解答］解:当y=0,则0=-x?-2x+3,

x2+2x-3=0,

则(x+3)(x-1)=0,

解得：X1=-3,X2=l,

故抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点为：(-3,0),(1,0).

故答案为：(-3,0),(1,0).

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点求法，正确解方程是解题关键.

14.抛物线y=x2-.

【考点】二次函数的性质.

【分析】把抛物线方程化为顶点式，令其纵坐标为。即可求得m.

【解答】解：Vy=x2-x+m=（xy）2+mj,

,其顶点坐标为a,m2）,

•.•顶点在x轴上，

A=0,解得心.

故答案为春.

【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关

键.

15.抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2.

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】先设出抛物线与X轴的交点，再根据根与系数的关系求出X1+X2及X1・X2

的值，再由完全平方公式求解即可.

【解答】解：设抛物线与X轴的交点为：（Xi，0）,（X2,0）,

'."X1+X2=-4,X1*X2=3,

|Xi-X2I1+x~2^1~~2=2,

...抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2.

故答案为：2.

【点评】本题考查的是抛物线与X轴的交点问题，能由根与系数的关系得到X1+X2

及X1・X2的值是解答此题的关键.

16.如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小

正方形的顶点上，AB、CD相交于点P,则COSNAPDM24国.

【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.

【分析】作AE1CD于E,由DB：AC=1：3,求出4APC的面积，线段AP、PC

的长，在RT/XAPE中可以求出cosNAPD.

【解答】解：如图作AE±CD交CD的延长线于E,

DBPBPD1

ACPAPC?)

C2222

VDV1+1,ABV1+3网“ABC迈畤^世，

•，•SAAPC|-f看，PC，l平AP1率,

19

I・CP・AE9，

AAE^-,

•7AP2-AE22/58

**PE4

.,PE^,/145

..cos/APD而飞-

故答案弋黄.

【点评】本题考查了勾股定理、平行线性质、三角形的面积的计算、三角函数等

知识，构造直角三角形是解三角函数问题的常用方法，用面积法求高是解题的关

键.

17.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm,深为30cm,为方

便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设

计斜坡BC的坡度i=l：5,则AC的长度是210cm.

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】首先过点B作BD_LAC于D,根据题意即可求得AD与BD的长，然后由

斜坡BC的坡度i=l：5,求得CD的长，继而求得答案.

【解答】解：过点B作BDLAC于D,

根据题意得：AD=2X30=60(cm),BD=18X3=54(cm),

•.•斜坡BC的坡度i=l：5,

ABD：CD=1：5,

/.CD=5BD=5X54=270(cm),

.*.AC=CD-AD=270-60=210(cm).

，AC的长度是210cm.

故答案为:210.

B

一一

——l18|

6，，，，，，，

【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题.此题难度适中，注意掌握

坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.

18.如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点,

连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接HN.则在点M运动

过程中，线段HN长度的最小值是1.25.

【考点】全等三角形的判定与性质；垂线段最短；等边三角形的性质.

【分析】取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BD=BG,再求

出NHBN=NMBG,根据旋转的性质可得MB=NB,然后利用“边角边”证明ZXMBG

gANRH,再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG,然后根据垂线段最短可

得MG±CH时最短，再根据NBCH=30。求解即可.

【解答】解：如图，取BC的中点G,连接MG,

•••旋转角为60。，

；.NMBH+NHBN=60",

XVZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

，NHBN=NGBM,

VCH是等边4ABC的对称轴，

1

/.HByAB,

/.HB=BG,

XVMB旋转到BN,

，BM=BN,

在△MBG和△NBH中，

rBG=BH

•NMBG=NNBH,

,J[B=NB

.'.△MBG^ANBH(SAS),

；.MG=NH,

根据垂线段最短，MGLCH时，MG最短，即HN最短,

„111

止匕时b•.,NBCH,X60°=30°,CG]AByX5=2.5,

11

/.MGyCGyX2.5=1.25,

，HN=L25,

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，

垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

三、解答题（本大题共有10小题，共84分.解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤)

19.解方程:

(1)x2-5x+6=0；

(2)x(x-6)=4.

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

(2)先利用配方法把方程变形为(x-3)2=13,然后利用直接开平方法解方程.

【解答】解：(1)(x-3)(x-2)=0,

x-3=0或x-2=0,

所以Xi=3,X2=2；

(2)x2-6x=4,

x2-6x+9=13,

(x-3)2=13,

x-,

所以,X2=3，^.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再

把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有

可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次,

把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了

配方法解一元二次方程.

20.求下列各式的值

(1)sin260°+cos60°tan45°；

cos300

(2，tan6

l+Sin300.

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】(1)、(2)直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

【解答】解：⑴原式=野)25X1

_31

W~2

5

W；

2

(2)原式一二+

核

返^3

W3

可,

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答

此题的关键.

21.如图，竖立在点B处的标杆AB高2.4m,站立在点F处的观察者从点E处

看到标杆顶A、树顶C在•一条直线上，设BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求树高CD.

【考点】相似三角形的应用.

【分析】延长CE交DF的延长线于点G,可证明△GFEs/^GBA,得GF的长；可

证明△GDCsaGBA,树高CD的长即可知.

【解答】解：延长CE交DF的延长线于点G,设GF为xm,

VEF//AB,

/.△GFE^AGBA,

GF_EFx1.6

GB'7+2T7'

解得x=4,

VCD^AB,

AAGDC^AGBA,

GD_CD14二CD

GB^AB'T=2.4'

解得CD=5.6,

答：树图CD为5.6m.

【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，解题的关键是正确作出辅

助线构造相似三角形.

22.根据条件求函数的关系式

(1)已知二次函数y=x2+bx+c经过(-2,5)和(2,-3)两点，求该函数的

关系式；

(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点，且过点B(2,-5),求该

函数的关系式.

【考点】待定系数法求二次函数解析式.

【分析】(1)直接把(-2,5)和(2,-3)代入y=x2+bx+c得到关于b、c的

方程组，然后解方程组求出b、c即可；

(2)已知抛物线的顶点坐标，设顶点式，将点B(2,-5)代入求a,即可确定

函数关系式.

'4-2b+c=5

【解答】解:根据题意储+2b+c=-3，

%=-2

解c=-3，

所以该二次函数的解析式为y=x2-2x-3；

(2)由A(-1,4)为抛物线顶点，设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4,

将点B(2,-5)代入，得9a+4=-5,解得a=-1,

所以该函数的关系式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次

函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入

数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三

元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式

来求解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

23.如图，小岛A在港口P的南偏东45。方向，距离港口100海里处.甲船从A

出发，沿AP方向以10海里/小时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿北偏

东30。方向，以20海里/小时的速度驶离港口.现两船同时出发，出发后几小时

乙船在甲船的正北方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据^^1.41/3心

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【分析】根据题意画出图形，过点P作PE_LCD,根据余弦的定义分别表示出PE,

列出方程，解方程即可.

【解答】解：设出发后x小时乙船在甲船的正北方向.

此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处.

连接CD,过点P作PELCD,垂足为E.则点E在点P的正东方向.

在RtaCEP中，NCPE=45°,

.,.PE=PC«cos45°,

在RtAPED中，ZEPD=60°,

，PE=PD・cos60°,

PC*cos45°=PD*cos60°,

•二(100-lOx)•cos45°=20x*cos60°.

解这个方程，得x-4.1,

答：出发后约4.1小时乙船在甲船的正东方向.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、灵

活运用锐角三角函数的概念是解题的关键.

24.（10分）（秋•无锡期末）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气

净化器成了热销产品.某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200

元.经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关

系为y=-2x+1000.

（1）该公司每月的利润为W元，写出利润W与销售单价X的函数关系式；

（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？

（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高

利润和最低利润分别为多少？

【考点】二次函数的应用.

【分析】（1）根据销售利润=每天的销售量X（销售单价-成本价），即可列出

函数关系式；

（2）令y=40000代入解析式，求出满足条件的x的值即可；

（3）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值.

【解答】解：（1）由题意得：w=（x-200）y=（x-200）（-2x+1000）=-2x2+1400x

-00；

(2)令w=-2x2+1400x-00=40000,

解得:x=300或x=400,

故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元;

（3）y=-2x2+1400x-00=-2（x-350）2+45000,

当x=250时y=-2X2502+1400X250-00=25000；

故最高利润为45000元，最低利润为25000元.

【点评】本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌

握利用配方法求二次函数的最大值.

25.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；

（2）设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽

度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

【考点】二次函数的应用.

【分析】（1）设该抛物线的解析式是y=ax2,结合图象，只需把（10,-4）代

入求解；

（2）根据（1）中求得的函数解析式，把x=9代入求得y的值，再进一步求得水

深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

【解答】解：（1）设该抛物线的解析式是丫=2*2,

结合图象，把（10,-4）代入，得

100a=-4,

1

a=25，

则该抛物线的解析式是y=^x2.

（2）当x=9时，则有y=^X81=-3.24,

4+2-3.24=2.76（米）.

所以水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

【点评】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求

得二次函数的解析式.

3

26.（10分）（秋•无锡期末）如图，已知直线I的函数表达式为x+3,它与

x轴、y轴的交点分别为A、B两点.

（1）求点A、点B的坐标；

（2）设F是x轴上一动点，OP经过点B且与x轴相切于点F设。P的圆心坐标

为P（x,y）,求y与x的函数关系式；

（3）是否存在这样的。P,既与x轴相切又与直线I相切于点B?若存在，求出

圆心P的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】圆的综合题.

【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征易得以A点坐标为（-4,0）,B点

坐标为（0,3）；

（2）过点P作PD_Ly轴于D,则PD=|x|,BD=|3-y|,根据切线的性质得PF=y,

则PB=y,在RtABDP中，根据勾股定理得到y2=x2+（3-y）2,然后整理得到y1

4；

（3）由于。P与x轴相切于点F,且与直线I相切于点B,根据切线长定理得到

AB=AF,而AB=5,所以AF=x+4|=5,解得x=l或x=-9,再把x=l和x=-9分别

13

代入丫3x2y计算出对应的函数值，即可确定P点坐标.

3

【解答】解：（1）当x=0时，y彳x+3=3；

3

当y=0时Wx+3=0,解得x=-4,

所以A点坐标为（-4,0）,B点坐标为（0,3）；

（2）过点P作PD_Ly轴于D,如图1,则PD=|x|,BD=|3-y,

V0P经过点B且与x轴相切于点F

.-.PB=PF=y,

在RtABDP中，

/.PB2=PD2+BD2,

y2=x2+（3-y）2,

(3)存在.

•.'OP与x轴相切于点F,且与直线I相切于点B,

，AB=AF

VAB2=OA2+OB2=52,

；.AF=5,

VAF=|x+4|,

|x+4=5,

x=l或x=-9,

[3]35

当x=i时，万亨；

13i3

当x=-9时，yyX2-2JX(-9)2y=15,

5

・••点p的坐标为(iy)或(-9,15).

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和切线长定理、一次函数

的性质；会利用坐标表示线段和运用勾股定理进行几何计算.

27.（10分）（•镇江）如图1,在菱形ABCD中，AB=4,tanZABC=2,点E

从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动

时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a（a=NBCD）,得到对应

线段CF.

（1）求证:BE=DF；

（2）当1=赤+6秒时,DF的长度有最小值，最小值等于12；

（3）如图2,连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当t为何值时，△EPQ是

直角三角形？

（4）如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a（a=NBCD）,得到对应线

段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点

【考点】四边形综合题.

【分析】（1）由NECF=NBCD得NDCF=NBCE,结合DC=BC、CE=CF证4DCF组

△BCE即可得；

（2）当点E运动至点E，时，由DF=BE'知此时DF最小，求得BE\AE，即可得答案；

(3)①/EQP=90°时，由NECF=NBCD、BC=DC、EC=FC得NBCP=NEQP=90°,根

据AB=CD=/5,tanZABC=tanZADC=2即可求得DE；

②NEPQ=90。时，由菱形ABCD的对角线AC±BD知EC与AC重合，可得DE=J^；

(4)连接GF分别交直线AD、BC于点M、N,过点F作FHLAD于点H,证4

DCEgz^GCF可得N3=N4=/1=N2,即GF〃CD,从而知四边形CDMN是平行四

边形，由平行四边形得MN=CD=4；再由NCGN=ZDCN=ZCNG知

CN=CG=CD=4,根据tanZABC=tanZCGN=2可得GM=4+12,由GF=DE=t得

FM=t-潜-12,

利用tan/FMH=tanNABC=2即可得FH.

【解答】解：(1)VZECF=ZBCD,即NBCE+NDCE=NDCF+NDCE,

/.ZDCF=ZBCE,

•••四边形ABCD是菱形，

DC=BC,

在4DCF和4BCE中，

'CF=CE

<ZDCF=ZBCE,

,CD=CB

.'.△DCF^ABCE(SAS),

.*.DF=BE；

(2)如图1,

当点E运动至点E，时，DF=BE\此时DF最小，

在Rt/XABE'中，AB=/,tanNABC=tanNBAE'=2,

...设AE'=x,则BE'=2x,

AABVSX=4,

则AE'=6

.•.DE，1+6,DF=BE'=12,

故答案为：r+6,12；

(3)VCE=CF,

，/CEQV90°,

①当NEQP=90。时，如图2①,

VZECF=ZBCD,BC=DC,EC=FC,

.,.ZCBD=ZCEF,

VZBPC=ZEPQ,

，NBCP=NEQP=90°,

,.•AB=CD=4,tanZABC=tanZADC=2,

，DE=6,

At=6秒；

②当NEPQ=90。时，如图2②，

图2②

•菱形ABCD的对角线AC±BD,

；.EC与AC重合，

，DE=A,

：.t#秒;

2A/524^5

(4)y—t-12—

如图3,连接GF分别交直线AD、BC于点M、N,过点F作FH_LAD于点H,

由(1)知N1=N2,

又；Z1+ZDCE=Z2+ZGCF,

/.ZDCE=ZGCF,

在4DCE和aGCF中，

'EC=FC

<ZDCE=ZGCF,

DC=GC

/.△DCE^AGCF(SAS),

，N3=N4,

VZ1=Z3,Z1=Z2,

，Z2=Z4,

，GF〃CD,

又,.,AH〃BN,

四边形CDMN是平行四边形，

.*.MN=CD=^,

VZBCD=ZDCG,

/.ZCGN=ZDCN=ZCNG,

.*.CN=CG=CD=/5,

tanZABC=tanZCGN=2,

AGN=12,

，GM#+12,

VGF=DE=t,

.\FM=t--12,

tanZFMH=tanZABC=2,

，FH45（t-酒-12）,

5

2V5+型

即y丁t-12-y-.

【点评】本题主要考查菱形的有关性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角

形及旋转的性质，熟练掌握灵活运用是解题的关键.

28.（10分）（•达州）如图，在平面直角坐标系中，己