高考数学一轮复习 阶段规范强化练9 直线与圆-人教版高三数学试题

阶段规范强化练(九)直线与圆一、选择题1．(2015·海淀模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0.若l1⊥l2，则实数a的值是()A．0 B．2或－1C．0或－3 D．－3【解析】因为l1⊥l2，所以a＋a(a＋2)＝0，则a＝0或a＝－3，故选C.【答案】C2．(2015·河南天一大联考)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积为()A．5π B．9πC．16π D．25π【解析】抛物线的准线方程为x＝－4，而圆心坐标为(－1，0)，所以圆心到直线的距离为3，所以圆的半径为5，故圆面积为25π.【答案】D3．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，则直线l1：xsin2A＋ysinA＝a与l2：xsin2B＋ysinC＝c的位置关系是()A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直【解析】由2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，得sin2B＝sinAsinC，故eq\f(sin2A,sin2B)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，从而得两直线方程的系数之比都相等，所以直线l1与l2重合.【答案】B4．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝5 B．(x－1)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝4【解析】由抛物线方程及题意知A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋2E＋F＋5＝0，,D－2E＋F＋5＝0，,－D＋F＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－3.))从而所求方程为x2＋y2－2x－3＝0，即圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.【答案】D5．(2016·安阳模拟)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)【解析】点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，化为kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，即24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4).【答案】D6．(2016·云南师大附中模拟)设直线l与抛物线x2＝4y相交于A,B两点，与圆C：x2＋(y－5)2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1,3) B.(1,4)C．(2,3) D.(2,4)【解析】圆C在抛物线内部，当l⊥y轴时，必有两条直线满足条件，当l不垂直于y轴时，设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＝4y1，,x\o\al(2,2)＝4y2，))得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝4(y1－y2)⇒eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)⇒kAB＝eq\f(x0,2)，因为圆心C(0,5)，所以kCM＝eq\f(y0－5,x0－0).由直线l与圆C相切，得kAB·kCM＝－1⇒y0＝3，又因为xeq\o\al(2,0)<4y0，所以xeq\o\al(2,0)<12，且r2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0－5)2＝xeq\o\al(2,0)＋4<16⇒r<4.又r2－(y0－5)2＝xeq\o\al(2,0)>0⇒r2－(3－5)2>0⇒r2>4⇒r>2，故2<r<4，此时，又有两条直线满足条件，故选D.【答案】D二、填空题7．(2016·开封模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【解析】因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝eq\r(2－12＋0＋12)＝eq\r(2)，即最大半径r＝eq\r(2)，此时，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.【答案】(x－1)2＋y2＝28．(2016·云南师大附中模拟)已知圆的方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝4.若过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))的直线l与此圆交于A，B两点，圆心为C，则当∠ACB最小时，直线l的方程为________．【解析】易知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))在此圆的内部，当且仅当直线AB⊥PC时，∠ACB最小，此时kAB＝－eq\f(1,kPC)，又kPC＝eq\f(1－\f(1,2),0－1)＝－eq\f(1,2)，故kAB＝2.故直线l的方程为4x－2y－3＝0.【答案】4x－2y－3＝0三、解答题9．已知曲线C的方程为x2＋y2－4x＋2y＋5m＝0.(1)当m为何值时，此方程表示圆；(2)若m＝0，是否存在过点P(0,2)的直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解】(1)方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5m，当5－5m>0，即m<1时表示圆．(2)当m＝0时，曲线C的方程为x2＋y2－4x＋2y＝0.①当直线l斜率不存在时，即直线l方程为x＝0，A(0,0)，B(0，－2)，|PA|＝|AB|，符合题意．②当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＋y2－4x＋2y＝0.))有(1＋k2)x2＋(6k－4)x＋8＝0.依题意有Δ＝4(k2－12k－4)>0，∵|PA|＝|AB|，∴A为PB的中点，∴xB＝2xA.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝\f(4－6k,1＋k2)，,xAxB＝\f(8,1＋k2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xA＝\f(4－6k,31＋k2)，,x\o\al(2,A)＝\f(4,1＋k2).))解得k＝－eq\f(5,12)，满足Δ>0，∴直线l的方程为5x＋12y－24＝0.综上所述，直线l的方程为x＝0或5x＋12y－24＝0.10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．图1(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．【解】(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和直线y＝x－1的交点，解得点C(3,2)．于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或－eq\f(3,4)，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心M在以D