高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 分层限时跟踪练23-人教版高三数学试题

分层限时跟踪练(二十三)(限时40分钟)eq\f([基础练],扣教材练双基)一、选择题图3­7­121．如图3­7­12，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°【解析】由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.【答案】D2．如图3­7­13所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()图3­7­13A.eq\f(\r(231),5) B.eq\f(5,16)C.eq\f(\r(231),16) D.eq\f(11,5)【解析】由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16)，所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).故选A.【答案】A3．如图3­7­14，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()图3­7­14A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h【解析】设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，从而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).选B.【答案】B4．(2015·丹东模拟)如图3­7­15所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于()图3­7­15A.eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C.eq\r(3)－1 D.eq\f(\r(2),2)【解析】在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝eq\f(AB·sin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin45°－15°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))．在△BCD中，sin∠BDC＝eq\f(BC·sin∠CBD,CD)＝eq\f(50\r(6)－\r(2)·sin45°,50)＝eq\r(3)－1.由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1.【答案】C5．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A.eq\f(150,7)分钟B.eq\f(15,7)小时C．21.5分钟 D．2.15小时【解析】如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝eq\f(5,14)时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为eq\f(5,14)×60＝eq\f(150,7)分钟．【答案】A二、填空题6．为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)如图3­7­16所示，且∠B＋∠D＝180°，则AC的长为km.图3­7­16【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cosD，由cosD＝－cosB并消去AC2得cosB＝eq\f(1,2)，所以AC＝7.【答案】77．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为m.图3­7­17【解析】过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝eq\f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq\f(1000sin150°,sin15°)＝500(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)．所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(eq\r(3)＋1)(m)．【答案】500(eq\r(3)＋1)8．如图3­7­18，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为m．(取eq\r(2)＝1.4，eq\r(3)＝1.7)图3­7­18【解析】如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))．∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)＝7350.故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．【答案】2650三、解答题9．(2015·石家庄模拟)如图3­7­19所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.图3­7­19请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．【解】第一步：在△AEF中，利用正弦定理，得eq\f(AE,sinβ)＝eq\f(EF,sin180°－α－β)，解得AE＝eq\f(asinβ,sinα＋β).第二步：在△CEF中，同理可得CE＝eq\f(asinφ,sinθ＋φ).第三步：在△ACE中，利用余弦定理，得AC＝eq\r(AE2＋CE2－2AE·CE·cosγ)＝eq\r(\f(a2sin2β,sin2α＋β)＋\f(a2sin2φ,sin2θ＋φ)－2\f(a2sinβsinφcosγ,sinα＋βsinθ＋φ)).10．(2015·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq\f(2,17)秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【解】由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－eq\f(2,17)×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝140eq\r(3).即该仪器的垂直弹射高度CH为140eq\r(3)米．eq\f([能力练],扫盲区提素能)1．如图3­7­20，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角为()图3­7­20A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】依题意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的视角为45°.【答案】B2．如图3­7­21，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()图3­7­21A．2.7m B．17.3mC．37.3m D．373m【解析】在△ACE中，tan30°＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(CM－10,AE).∴AE＝eq\f(CM－10,tan30°)(m)．在△AED中，tan45°＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(CM＋10,AE)，∴AE＝eq\f(CM＋10,tan45°)(m)，∴eq\f(CM－10,tan30°)＝eq\f(CM＋10,tan45°)，∴CM＝eq\f(10\r(3)＋1,\r(3)－1)＝10(2＋eq\r(3))≈37.3(m)．【答案】C3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.【解析】如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．【答案】10eq\r(3)4．(2014·浙江高考)如图3­7­22，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)图3­7­22【解析】如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ.设CO＝xm，则OP＝eq\f(\r(3),3)xm.在Rt△ABC中，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝20m，所以cos∠BCA＝eq\f(4,5).所以AO＝eq\r(625＋x2－2×25x×\f(4,5))＝eq\r(x2－40x＋625)(m)．所以tanθ＝eq\f(\f(\r(3),3)x,\r(x2－40x＋625))＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(1－\f(40,x)＋\f(625,x2)))＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,x)－\f(4,5)))2＋\f(9,25))).当eq\f(25,x)＝eq\f(4,5)，即x＝eq\f(125,4)时，tanθ取得最大值为eq\f(\f(\r(3),3),\f(3,5))＝eq\f(5\r(3),9).【答案】eq\f(5\r(3),9)5．(2016·银川模拟)如图3­7­23所示，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．图3­7­23(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？【解】(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，∴AB＝eq\r(3)(千米)，在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝eq\f(\r(3),3)(千米)，在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°.∴BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2－\r(3)2)＝eq\f(\r(30),3).eq\f(\r(30),3)÷eq\f(1,6)＝2eq\r(30).(2)∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(3),\f(\r(30),3))＝eq\f(3,10)eq\r(10).sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACBcos30°－cos∠ACBsin30°＝eq\f(3,10)eq\r(10).eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)·eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)\r(10)))2)＝eq\f(3\r(3)－1\r(10),20)，在△ACD中，据正弦定理得eq\f(AD,sin∠DCA)＝eq\f(AC,sin∠CDA)，此时船距岛A为eq\f(9－\r(3),13)千米．6．(2013·江苏高考)如图3­7­24，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).图3­7­24(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC中，因为cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋