苏教版2019版高中数学必修第二册第13章立体几何初步知识点清单

苏教版2019版高中数学必修第二册

第13章立体几何初步知识点清单

目录

第13章立体几何初步

13.1基本立体图形

13.2基本图形位置关系

13.3空间图形的表面积和体积

第1■页共24页

第13章立体几何初步

13.1基本立体图形

13.1.1棱柱、棱锥和棱台

一、棱柱

1.棱柱的相关概念

名称定义图形及表示相关概念

E'D'

底面：平移起止位置的两个

一般地，由一个平面

面；

多边形沿某一方向

棱柱侧面多边形的边平移所形成

平移形成的空间图

'A2T顶点的面；

形叫作棱柱

图中的六棱柱可记作侧棱：相邻侧面的公共边

棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

2.棱柱的分类

按底面多边形的边数来分，底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别

称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3.棱柱的特点

棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形.

二、棱锥

1.棱锥的相关概念

名称定义图形及表示相关概念

亲顶点

底面：多边形；

当棱柱的一个底面收侧面有一个公共顶点的三角形

棱锥缩为一个点时，得到的/\媲面侧棱：相邻侧面的公共边；

空间图形叫作棱锥AR顶点：由棱柱的一个底面收缩而

图中的四棱锥可记作成

棱锥S-ABCD

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2.棱锥的分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

3.棱锥的特点：棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.

三、棱台

1.棱台的相关概念

名称定义图形及表示相关概念

/八、

上底面：平行于棱锥底面的截面；

用一个平行于棱锥底4%彩g上底面

下底面：原棱锥的底面；

面的平面去截棱锥，春/皿容侧棱

棱台侧面：其余各面；

截面和底面之间的部

卜U下底面侧棱：相邻侧面的公共边；

分称之为棱台‘顶点

图中的四棱台可记作顶点：侧棱与上、下底面的公共点

棱台ABCD-A'B'C'D'

2.棱台的分类

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台

四、多面体

名称定义图形相关概念

E

由若干个平面多边面：围成多面体的各个多边形；

多面体形围成的空间图形棱：相邻两个面的公共边；

叫作多面体顶点：棱与棱的公共点

*

五、如何确定多面体的截面

1.平行于底面的截面：

⑴用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面与底面全等.

⑵用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的截面与底面相似.

⑶用一个平行于棱台底面的平面去截棱台，得到的截面与两个底面都相似.

2.经过不相邻的两条侧棱的截面：

⑴在棱柱中（三棱柱除外），经过不相邻的两条侧棱的截面（也称为棱柱的对角面）

是平行四边形.

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⑵在棱锥中（三棱锥除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形.

⑶在棱台中（三棱台除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形.

3.作截面的步骤：

一是确定截面与多面体的哪些棱相交；二是找到截面与多面体相交棱的公共点；

三是将所得的公共点依次连接起来，画出截面.

13.1.2圆柱、圆锥、圆台和球

一、圆柱、圆锥、圆台的相关概念

1.圆柱、圆锥、圆台的相关概念

将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰

所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫作轴.

垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，

无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线.

2.圆柱、圆锥、圆台的图形表示

名称圆柱圆锥圆台

匕轴

轴■丰-轴

下＜底i:

。夕面

）侧

图形一面

A，——.幺7线

底面

图中白勺圆柱记作圆柱。图中的圆锥记作圆锥so图中外1圆台记作圆台001

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二、球的相关概念

名称球

半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面

定义

围成的空间图形叫作球体，简称球

图形及表示Ait

图中的球记作球。

球心：半圆的圆心；

相关概念半径：连接球心和球面上任意一点的线段；

直径：连接球面上两点并经过球心的线段

三、旋转面和旋转体

1.一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面,

封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.

2.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.

四、圆柱、圆锥、圆台基本量的计算

L解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高（母线）与矩形（圆柱的轴截面）

之间的关系，注意在矩形中一边长为圆柱的高，其邻边长为圆柱的底面直径.

2.解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，利用截面中的直角三角形建

立底面半径r、高h、母线长I三者之间的关系：『二八2+匕即可解决问题.

3.解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面（等腰梯形）入手，利用轴截面可

以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解.另外，也可以将其

两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识

来解决

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13.1.3直观图的斜二测画法

一、斜二测画法画直观图

1.斜二测画法画直观图的规则

⑴在空间图形中取互相垂直的X轴和y轴，两轴交于。点，再取Z轴，使乙xOz二90。，

且乙yOz=90°.

(2)画直观图时把它们画成对应的父轴、y，轴和/轴，它们相交于点O,并使乙xOy,二

45。(或135。)，乙x'0'z'=90。，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面.

(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于M轴、y,

轴或z，轴的线段.

⑷已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的

线段，长度为原来的一半.

直观图的作法可以总结为“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”.

二、平面图形的直观图及相关计算

1.水平放置的平面图形与直观图的面积间的关系

由于斜二测画法中平行于x轴的线段在直观图中长度不变，而平行于y轴的线

段在直观图中长度要减半，并且乙x‘0'y'=45。(或135。)，因此平面图形的直观图中任

意一点到X轴的距离都为原图形中相应点到x轴距离的9n45。二乎.

Z4

设一个平面图形的面积为S原图，利用斜二测画法得到的直观图的面积为S直观图，

贝情S直观图二一二S原图■

4

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13.2基本图形位置关系

13.2.1平面的基本性质

一、用集合语言表示空间中点、直线和平面的位置关系

位置关系符号表示

点P在直线AB上PEAB

点C不在直线AB上CqAB

点M在平面AC内平面AC

点Ai不在平面AC内Aiq平面AC

直线AB与直线BC交于点BABCBC二B

直线AB在平面AC内ABu平面AC

直线AAi不在平面AC内AA«平面AC

二、平面的基本事实

基本事实文字语言图形语言符号语言作用

①确定平面的

过不在一条直线上A,B,C三点不共

基本事实依据；

的三个点，有且只线今存在唯一的平

1②判定点、线共

有一个平面///面a,使A,B,CGa

面

如果一条直线上的①确定直线在

基本事实两个点在一个平面Aea)_口平面内的依据；

匚nAABua

2内，那么这条直线7'/BDeaJ②判定点在平

在这个平面内面内

如果两个不重合的

①判定两平面

平面有一个公共三

基本事实Pea)…C,rn相交的依据；

点，那么它们有且p且

3e②判定点在直

只有一条过该点的

PEI线上

公共直线

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三、平面基本事实的推论

文字语言图形语言符号语言

经过一条直线和这

直线1,点A出今有且只

推论工条直线外的一点，有

有一个平面a,使AEa,lua

且只有一个平面

经过两条相交直线，@门13二「今有且只有一^T"平面a,

推论2

有且只有一个平面使aua,bua

经过两条平行直线，a〃b今有且只有一"t平面a,使

推论3

有且只有一^平面Z?aua,bua

四、如何研究共面、共线问题

1.点、线共面问题的证明

⑴点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是基本事实

L基本事实2及其推论.

⑵解决此类问题通常有两种方法：

①纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；

②辅助平面法（平面重合法）,先由有关的点、线确定平面«,再由其余元素确定平面3,

最后证明平面Q,B重合.

2.点共线问题

⑴点共线问题是指证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

⑵解决此类问题常用以下两种方法：

①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,

这些点都在这两个平面的交线上；

②选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.

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3.线共点问题

线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，主要的证明依据也是基本

事实3.

证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明

第三条直线也过该点.常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内，故该点在

它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.

13.2.2空间两条直线的位置关系

一、空间两条直线的位置关系

位置关系共面情况公共点个数

相交直线在同一平面内有且只有一个

平行直线在同一平面内没有

异面直线不同在任何一个平面内没有

二、基本事实4

文字语言平行于同一条直线的两条直线平行

a

图形语言b

-c

符号语言

作用揭示了空间平行线的传递性

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三、等角定理

如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那

么这两个角相等.

文字语言

特别地，如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向

一边相同，另一边相反，那么这两个角互补

OA/O'A',OB#O'B',且ZAOB与乙A'O'B,两边的方向相同

今乙AOB二乙A'OB；

符号语言

OA#O'A',OB#O'B',且乙AOB与乙A'O'B'的一边方向相同，另一边方

向相反=△AOB+乙A'OB=180°

()〃-----------A,/

图形语言或R

0上--Af)^-------------A

作用判定两个角相等或互补

四、异面直线

1.异面直线的判定定理

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异

文字语言

面直线

符号语言若lua,A$a,BEa,B$l,则直线AB与1是异面直线

\A

图形语言/

2.异面直线所成的角

如图，a与b是异面直线，经过空间任意一点。作直线3〃a,b'#b,我们把

直线a，和b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a,b所成的角或夹角.

bb'b

匚7V占

(1)(2)(3)

记异面直线a与b所成的角为0,贝IJO°<6W9O°,若。是直角，则称异面直线a,

b互相垂直，记作a，b.

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五、基本事实4与等角定理在空间图形中的运用

1.空间中两直线平行的证明方法

⑴利用定义：证明两条直线共面且无公共点.

⑵利用平面几何知识（三角形、梯形的中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段

成比例定理等）证明.

⑶利用基本事实4,即找到第三条直线C,使2〃（：，b#C,从而得到2〃1

2.空间中角相等的证明方法

⑴利用等角定理证明；

（2）转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.

利用等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两边分别对应平行；②证明对应

边的方向相同.

六、空间中异面直线的判定及所成角的求解

1,判定两条直线是异面直线的方法

⑴证明两条直线既不平行又不相交；

⑵过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线；

⑶反证法.

2.求异面直线所成角的一般步骤

⑴构造：根据异面直线的定义，用平移法（常用三角形的中位线定理、平行四边形的性

质）作出异面直线所成的角或其补角.

⑵证明：证明作出的角或其补角就是要求的角.

⑶计算：求角度，常利用三角形的边角关系，通过解三角形求解.

⑷结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角

是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.

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13.2.3直线与平面的位置关系

一、直线与平面的三种位置关系

直线a在平面a外

位置关系直线a在平面a内

直线a与平面a相交直线a与平面a平行

公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点

符号表示auaaCa二Aalla

a

a

/d.4/

图形表示X/

二、直线与平面平行

文字语言图形语言符号语言

a

如果平面外一条直线与此平面aCa)

判定定理内的一条直线平行，那么该直bua

线与此平面平行/7aIIbj

一条直线与一个平面平行，如aIIa、

性质定理果过该直线的平面与此平面相luB”=1〃m

交，那么该直线与交线平行anB=m.

三、直线与平面垂直

1.如果直线a与平面a内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面a垂直，记

作a，a.直线a叫作平面a的垂线，平面a叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称

为垂足.

2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理

判定定理性质定理

如果一条直线与一个平面内的两

文字语言条相交直线垂直，那么该直线与此垂直于同一个平面的两条直线平行

平面垂直

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a

ab

图形语言

a±m

a_Ln

符号语言=A>:a%

mu。

nua

今a_La

过一点有且只有一条直线与已知平

常用结论——面垂直,过一点有且只有一个平面与

已知直线垂直

四、两种距离

1.点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个

点到这个平面的距离.

2.直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的

距离，叫作这条直线和这个平面的距离.

五、直线与平面所成的角

1.射影

⑴概念：

如图，过平面外一点P向平面«引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足0的直线就是

斜线在平面内的射影，线段0A就是斜线段PA在平面a内的射影.

⑵常用结论：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和

这条斜线在这个平面内的射影垂直.

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2.直线与平面所成的角

(1)概念：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个

平面所成的角.

(2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平

面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角.

(3)取值范围：设直线与平面所成的角为0,则0°^0^90°.

六、如何证明直线与平面平行

1.证明直线与平面平行的步骤

(1)找：在平面内找到(或作出)一条已知直线平行的直线

(2)证：证明已知直线平行于找到(或作出)的直线

(3)结论：由直线与平面平行的判定定理得出结论

2.直线与平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线

面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去.

有如下示意图：

「

线

线

线

线

线

在平面内找面找(或作)平面与

平

平

(或作)一直线差

行

行平面的交线

七、如何判定直线与平面垂直

1,判定直线与平面垂直的常用方法

⑴利用直线与平面垂直的定义，即证明直线a垂直于平面a内的任意一条直线，从而

得到直线a1平面a(一般不易验证任意性).

(2)利用直线与平面垂直的判定定理，即如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂

直，那么该直线与此平面垂直，简记为“线线垂直今线面垂直”(a，b,a，c,bca,

cua,bCc=M=>a_La).

(3)利用平行线垂直平面的传递性质，即如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平

面，那么另一条也垂直于这个平面(a〃b,bla=>ala).

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2.利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤

⑴在这个平面内找两条直线，使已知直线和这两条直线垂直；

（2）确定这个平面内的两条直线是相交直线；

⑶根据判定定理得出结论.

八、如何探究直线与平面所成的角

1.求直线与平面所成角的大小的步骤

（1）作角：

①作垂线：过斜线上一点（不是斜足）作平面的垂线；

②作射影：连接垂足和斜足；

③确定平面角：斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求，即将空间角（斜线与平面

所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的角）.

⑵证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角，关键是证垂直.

⑶计算：通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算.

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13.2.4平面与平面的位置关系

一、两个平面的位置关系

位置关系公共点符号表示图形表示

//

两平面平行没有公共点a//0

%/

两平面相交有一条公共直线aCB二a

/a\/^?Z

二、两个平面平行

1.两个平面平行的判定定理与性质定理

文字语言符号语言图形语言

aucc

如果一个平面内的两条相交直线bua

判定

与另一个平面平行，那么这两个平=A>

定理

面平行a[3

bp=a〃p

两个平面平行，如果另一个平面与aP

性质

这两个平面相交，那么两条交线平ar"V=a>

定理

行0alib

2.相关结论

⑴已知两个平面平行，则一个平面内的任一直线都平行于另一个平面.

⑵夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等.

⑶经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

⑷两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

⑸如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

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三、两个平行平面间的距离

1.公垂线、公垂线段与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，

它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段.

2.两个平行平面间的距离

⑴定义：把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离.

⑵性质:两个平行平面间的距离等于其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离.

四、二面角

1.二面角

半平面平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面

二面角一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面

相关概念角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面

rzi了

画法

平卧式直立式

记法二面角CX-I-P或a-AB-B或P-I-Q或P-AB-Q

2.二面角的平面角

一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的

定义

射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角

图示

1

OAca,OBcp,anp=l,OEI,OA1I,OB_U=NAOB是二面角0(-1邛的

符号

平面角

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说

规定

这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角

范围二面角0的大小范围是0°^6^180°

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五、平面与平面垂直

1,定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互

相垂直.

2.画法：厂「/

3.平面与平面垂直的判定定理和性质定理

文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

/

判定图形语言I

定理7

11a)

符号语言

icpy今a_LB

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的

文字语言

交线，那么这条直线与另一个平面垂直

性质符号语言alP，aCi|3=l,aua,a_LI=a_L0

定理

图形语言

/

六、两个平面平行的判定

1.两个平面平行的判定方法

⑴定义法：两个平面没有公共点.

⑵利用判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平

面平行.

⑶转化为线线平行：若平面a内的两条相交直线与平面B内的两条相交直线分别平

行,则a〃&

⑷利用平行平面的传递性：若a〃&则a〃y.

在立体几何中，线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，解题时由线线平

行可推出线面平行，由线面平行可推出面面平行.

七、如何求二面角的大小

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求二面角的大小的关键是找出（或作出）其平面角，再把平面角放到三角形中求解.

1.作二面角的三种常用方法

⑴定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的

射线.如图①，乙AOB为二面角a-1-B的平面角.

⑵垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，其交

线所成的角即为二面角的平面角.如图②，乙AOB为二面角a-1-B的平面角.

⑶垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为

B,由点B向二面角的棱作垂线，垂足为0,连接A0,则乙A0B为二面角的平面角

（或其补角）.如图③，乙A0B为二面角a-l邛的平面角

八、垂直关系的相互转化

1.空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是独立的,

而是相互关联的.它们之间的关系如下：

线线判定定理线面判定定理面面

垂直线面垂直定义垂直「性质定理垂直

2.平行关系与垂直关系之间的相互转化

一条直线垂直于两平

行平面中的一个平面，

线面垂直则该直线也垂直于另

一个平面

线或平行I-线面平行一面面平行

两平行g线中的一条垂直于同一条直线

垂直于一个平面，另一的两个平面平行

条也垂直于这个平面

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13.3空间图形的表面积和体积

13.3.1空间图形的表面积

一、直棱柱的侧面积

1.侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱.

2.底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高（两底面所

在平面之间的距离）.

3.直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c,宽等于直棱

柱的高h.因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧二ch.

二、正棱锥的侧面积

1.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样

的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形.

2.正棱锥的侧面展开图是若干个全等的等腰三角形，展开图的面积就是棱锥的侧面积.

如果正棱锥的底面周长为c,斜高（即侧面等腰三角形底边上的高）为h1,则它的侧面积

是s正棱锥侧=5ch

三、正棱台的侧面积

1,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台.

2.正棱台的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰梯形.

3.若设正棱台的上、下底面的周长分别为d,c,斜高为

_1

则其侧面积是s正棱台侧=-（c+c'）h".

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四、圆柱、圆锥和圆台的侧面积

旋转体图形面积公式

底面积：S底二TT/，

圆柱1侧面积：S侧=2向,

表面积：S=2nr(r+I)

底面积：S底二谓，

圆锥侧面积：SflFnrl,

表面积:S=nr(r+I)

上底面面积：S上底二TK：

下底面面积:S下底=冗产,

圆台

1侧面积:S侧=Tt(r'+r)l,

表面积：S=n(r,2+r2+r'l+rl)

五、棱柱、棱锥和棱台的侧面积

1.正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的联系如图:

SiF：好侧=^^+力、

正棱柱侧正棱锥侧

其中Clc分别为上、下底面的周长，h为高，H为斜高.

2.在棱锥的侧面积计算中，应先由条件判断该棱锥是不是正棱锥，若是正棱锥，则其

侧面展开图是若干个全等的等腰三角形，求其侧面积的关键是确定底面边长和斜高；

若不是正棱锥，则需分别求出各侧面的面积.

3.正棱台的