平面向量一轮复习电子教案

InformationTechnology数学电子教案科目：______授课教师：______《基础模块》下册第7章平面向量【考试内容和要求】1.能判断两向量是否相等，知道零向量、单位向量、负向量的含义以及共线向量的几何意义.2.会从图形和数学表达式两方面进行向量的线性运算.3.能将平面上任何一个向量写成不共线的两个非零向量的线性组合.4.理解平面上向量直角坐标的含义，掌握向量的直角坐标运算.【教学建议】平面向量这一章在高考题中所占比例约5%，所占分值大约在5分左右，分布于选择、填空中，这部分的考查以基础知识为主，题型难度不大，但要求各题型都要讲透、练熟、并能达到灵活运用的程度.教学中注意数学基本思想与方法的渗透：数形结合思想。复习本章内容建议分教师讲授、学生复习、问题反馈、查漏补缺、小测几个环节，大约需10课时.【知识结构】平面向量的概念及线性运算平面向量的坐标表示平面向量的概念及线性运算平面向量的坐标表示平面向量的内积零向量、单位向量、负向量的含义向量相等的含义共线向量的几何意义向量的加法运算向量的减法运算向量的运算律向量的直角坐标表示利用向量的坐标进行向量的线性运算利用坐标来判定两个向量是否共线两个向量的内积及内积的作用利用向量的坐标求出向量的模长利用向量坐标求两个向量的夹角利用向量坐标研究两个向量的垂直问题平面向量【课题】7.1平面向量的概念及线性运算教学目标：（1）知识目标：知道零向量、单位向量、负向量的含义及共线向量的几何意义，理解相等向量的含义及向量的加减法运算.（2）能力目标：通过线性运算的学习，培养学生的计算能力与数学处理能力;会从图形和数学表达式两方面进行向量的线性运算，培养学生的数学思维能力.（3）情感目标：教师营造和谐的学习氛围，及时表扬学生的闪光点，调动学生的学习积极性.教学重点：向量的概念、向量的线性运算及其坐标表示.教学难点：已知两个向量，求这个向量的差向量及非零向量平行的充要条件.教学方法：启发发现法、直观教学法、电化教学法教学用具：PowerPoint课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等.课时安排：2课时教学过程：【知识回顾】一.向量的概念1．向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量.向量可用有向线段表示;有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，如向量也可以表示为.2．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，零向量的长度为0，方向不确定.3．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.4．相反向量：如果两个向量的长度相等且方向相反，那么这两个向量叫相反向量，也叫负向量（等长且反向），向量的相反向量记作，可以看出：＝－.5．共线向量：如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量.零向量与任一向量共线.说明：(1)向量有两个要素：大小和方向.(2)向量a与向量b共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量.二．向量的运算1.向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：(1)三角形法则：设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－1)，依次作=a,=b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b，即a＋b=＋=图图7－1ACBaba+bab特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.图7－2ADCB平行四边形法则：如图7－2所示，ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得＋=＋=这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．图7－2ADCB特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线.（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；②a＋b=b＋a；③（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．2.向量的减法运算求两个向量差的运算叫向量的减法运算.法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a−b=a＋(−b)．设a，b，则．即=aaAa-bBbO图7－3特征；有共同起点的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．（减终指向被减终）3.向量的数乘运算（1）实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的大小为，其方向与的正负有关。若0，当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．当＝0时，a与a平行。对于非零向量a、b，当时，有（2）向量数乘运算的法则①1a＝a；（－1）a＝a②()a＝()a=(a);③(+)a=a+a;④(a+b)=a+b.4.线性组合一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示．【典型例题】例1在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．ADCBADCB图7－4O（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量平行的向量．分析要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解由平行四边形的性质，得（1）=；（2）=,；（3）//,//，//．例2已知如图7－5（1）所示向量a、b，请画出向量a－b．BBbOaAba（1）（2）图7－5解如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作=a，=b，连接BA，则向量为所求的差向量，即=a－b．例3在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－6，＝a，＝b，试用a,b表示向量、．分析因为,，所以需要首先分别求出向量与.图7－6解＝a＋b,＝b−a，图7－6因为O分别为AC，BD的中点，所以（a＋b）＝a＋b，＝＝（b−a）＝−a+b．例4填空（1）++=;（2）+-=;（3）--=.例5已知平行四边形ABCD的对角线交于O点，用向量、表示向量、、.OCBOCBAD解：=-,＝+=+,=-2【巩固练习】选择题（1）力、位移、速度、加速度、质量、面积，下列选项中都是向量的是（）A.力、位移、面积B.速度、质量、加速度C.速度、力、位移D.面积、位移、速度（2）下面说法哪个是错误的（）A．具有方向的线段叫有向线段B．有向线段就是向量C．同向且等长的有向线段表示同一向量D．零向量的方向不确定（3）下列说法错误的是（）A.同向且等长的有向线段表示同一向量B.｜a＋b||a|+|b|C.向量包含三个要素：始点、方向和长度D.已知是线段的中点，则对平面上的任意一点，都有=（4）在平行四边形中，以下向量是的负向量的是（）A.B.C.D.（5）在中，、、分别是、、边上的中点，则与共线的非零向量有（）个A.4B.5C.6D.7（6）在菱形中，下列各对向量是相等向量的是（）A.与B.与C.与D.与（7）若平行四边形中，＝a，＝b，则=（）A.a＋bB.a－bC.－a＋bD.－a－b（8）矩形中，｜｜＝，｜｜＝1，则｜++｜＝（）A.4B.0C.2D.2．填空题(1)=(2)=(3)=(4).化简：3（-+2）-（5-）=。(5).已知D是△ABC的边BC的中点，用向量.表示=。(6).已知四边形ABCD中,则四边形ABCD的形状是OFEDCOFEDCBA3.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，（1）找出与向量相等的向量；（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量共线的向量．【归纳小结】本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？1.零向量、单位向量、负向量的含义及共线向量的几何意义.2.理解相等向量的含义及向量的加减法运算.【课后作业】《强化练习》结合《指要练习》第七章向量一平面向量的概念及线性运算第七章向量一平面向量的概念及线性运算（一）向量的概念（二）向量的线性运算典例讲解巩固练习1.向量的定义1.向量的加法运算例1-----2.零向量2.向量的减法运算例2-----3.单位向量3.向量的数乘运算例3-----4.相反向量例4-----5.共线向量例5------课后记：【课题】7.2平面向量的坐标表示教学目标知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.情感目标：教师营造和谐的学习氛围，及时表扬学生的闪光点，调动学生的学习积极性.教学重点向量线性运算的坐标表示及运算法则.教学难点向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.教学方法：启发发现法、直观教学法、电化教学法教学用具：PowerPoint课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等.课时安排：2课时．教学过程：【知识回顾】1.起点为终点为的向量坐标为2.设平面直角坐标系中，，，则3.对非零向量a、b，设当时，有【典型例题】例1如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示向量a、b,并写出它们的坐标．解因为a＝＋＝5i＋3j，所以．同理可得．图7－19图7－19【想一想】观察图7－19，与的坐标之间存在什么关系？已知点，求的坐标．解例3设a＝(1,−2),b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：(1)a＋b，(2)−3a，(3)3a−2b解(1)a＋b＝(1,−2)＋(−2,3)＝(−1,1)(2)−3a＝−3×(1,−2)＝(−(3)3a−2b＝3×(1,−2)−2×(−2,3)＝(3,−6)−(−4,6)＝(7,−例4设，判断向量a、b是否共线．解由于3×2−1×6＝0，故由公式知，，即向量a、b共线．【巩固练习】一.|选择题1.已知（x,y）.(-y,x).(y,x),则（）A．⊥B．⊥C．⊥且⊥D．∥2.已知，点,点,那么（）A．B．C．D．共线3.已知（10,5），(5,x)，且与共线，则x=（）A．2.5B．2C．5D．0.54.已知），，且，则D的坐标是（）A．（11，9）B．（-9，0）C．（0，9）D．（9，-3）5.在平面直角坐标系中，点,则点D的坐标是（）A．B．（2，3）C．（1，1）D．（2，4）6．已知（2，4），（1，2），则与的关系是A不共线B垂直C共线同向D共线反向二．填空1.已知（2，-3），（-4，1），则-2+3的坐标为。2．已知线段AB的端点B的坐标为（5，1），端点A（3，5），则线段中点的坐标为。3.已知向量与向量平行，则的值为4.已知平行四边形ABCD满足则点D的坐标为5..在平面直角坐标系中，已知，则线段AB的长度为6.已知向量的坐标分别是且，则=【归纳小结】本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？1.向量坐标的概念、向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示.2.两个向量平行的充要条件的坐标形式.【课后作业】《强化练习》结合《指要练习》第七章向量二平面向量的坐标表示第七章向量二平面向量的坐标表示（一）向量的坐标概念及表示（二）典例讲解（三）巩固练习1.向量的坐标概念例1-----2.向量加法的坐标表示例2-----3.向量减法的坐标表示例3-----4.数乘向量的坐标表示例4-----5.平行的充要条件课后记：【课题】7.3平面向量的内积教学目标知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．情感目标：通过课堂引导，及时发现并表扬学生的闪光点，调动学生的学习积极性.教学重点：平面向量数量积的概念及计算公式.教学难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．教学方法：启发发现法、直观教学法、电化教学法教学用具：PowerPoint课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等.课时安排：2课时．教学过程：BABAO图7－23ab设有两个非零向量a,b，作＝a,＝b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>．两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b,即a·b＝｜a||b|cos<a,b>3.由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0．4.由内积的定义可以得到下面几个重要结果：当<a,b>＝0时，a·b＝|a||b|；当<a,b>＝时，a·b＝−|a||b|.cos<a,b>＝.当b＝a时，有<a,a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝.当时，ab，因此，a·b＝因此对非零向量a，b，有a·b＝0ab.5.向量的内积满足下面的运算律：a·b＝b·a．()·b＝(a·b)＝a·(b)．(a＋b)·c＝a·c＋b·c．6.一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)≠（a·b）·c.7.两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y28.设a＝(x,y)，则9.当a、b是非零向量时，cos<a,b>＝＝.10.abx1x2＋y1y2＝0．【典型例题】例1已知|a|＝3,|b|＝2,<a,b>＝,求a·b．解a·b＝|a||b|cos<a,b>＝3×2×cos＝3．例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．解cos<a,b>＝＝＝−.由于0≤<a,b>≤，所以<a,b>＝．例3求下列向量的内积：a＝(2,−3),b＝(1,3)；a＝(2,−1),b＝(1,2)；a＝(4,2),b＝(−2,−3)．解(1)a·b＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2)a·b＝2×1＋(−1)×2＝0；(3)a·b＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4已知a＝(−1,2),b＝(−3,1).求a·b,|a|,|b|,<a,b>．解a·b＝(−1)(−3)＋2×1＝5；|a|＝；|b|＝；cos<a,b>＝＝，所以<a,b>＝．例5判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,3),b＝(6,4)；(2)a＝(0,−1),b＝(1,−2)．解(1)因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以ab．因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．【巩固练习】一.选择题1.．若，则的夹角的取值范围是（

）A

B

C

D2.．若，则向量的夹角为（

）AB

C

D3.在直角坐标系[O；]中，设向量（，），（，）则·=A．+B．+C．+D．-4.已知（-2，-3），（1，2），则cos〈，〉为（）A．负值B．正值C．0D．1二．填空题1.已知||=7，||=12，〈，〉=120，则·=2.已知向量（1，2），（3，4），则（3+2）·=。3.已知三角形ABC的顶点A，B，C的直角坐标分别为（-1，），（-1，0），（-2，），则∠BAC=．4.已知，，，则====【归纳小结】本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？向量的内积、向量的夹角、向量的模、向量垂直。【课后作业】已知a＝(5,−4)，b＝(2,3)，求a·b．已知a＝(1,)，b＝(0,)，求<a,b>．已知a＝(2,−3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．4.判断下列各组向量是否互相垂直：(1)a＝(−2,−3)，b＝(3,−2)；(2)a＝(2,0)，b＝(0,−3)；(3)a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5.求下列向量的模：(1)a＝(2,−3)，(2)b＝(8,6)．6《强化练习》结合《指要练习》【板书设计】第七章向量第七章向量二平面向量的内积（一）向量内积（二）典例讲解（三）巩固练习1.-----6.-----例1-----2.-----7.-----例2-----3.-----8.-----例3-----4.-----9.-----例4-----5.-----10.-----例5-----课后记：【课题】平面向量综合练习教学目标：（1）知识目标：了解本章的题型、难度．（2）能力目标：培养学生的逻辑思维能力及综合解题能力．（3）情感目标：调动学生的学习积极性，增强学生的信心.教学重点：知识点的基础应用．教学难点：知识点的综合运用．教学方法：启发发现法、直观教学法、电化教学法教学用具：PowerPoint课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等.课时安排：2课时．【典型例题】例1.填空.分析本题考查(1)向量的加法、减法运算；（2）零向量的表示。解题思路原式=故填.例2．已知,，那么（）A.B.C.D.共线分析本题考查向量的坐标公式，向量相等，向量垂直和向量共线的条件.解题思路，显然，选项A不正确.，因此，选项C不正确.由，因此，选项B不正确.故选D.显然由，得共线例3.已知并给出证明.分析本题考查（1）点的坐标与向量坐标的关系；（2）向量的直角坐标运算；（3）向量垂直的条件.解题思路如图：在直角坐标系中标出三点，我们发现是直角三角形.下面给出证明.证法一：因为所以即因此是直角三角形.证法二：利用两点间距离公式求出三边长，再由勾股定理得出是直角三角形.显然证法二不够简练。证法三：还可以借助平面解析几何的知识得进而，由直线与直线垂直得出是直角三角形.例4.设是坐标原点，向量,，,求点的坐标.分析本题考查（1）向量共线条件；（2）向量垂直的条件.解题思路由向量,，得设点坐标为，则，，因为所以整理得解得即点的坐标为.例5.已知,（如图），求点的坐标.分析本题考查（1）点的坐标与向量的关系；（2）向量共线条件；（3）向量的直角坐标运算；（4）向量垂直的条件.解题思路方法一设，则的坐标为又则坐标为因为，所以即,解得于是得的坐标为（2，1），即点的坐标为（2，1）方法二若题目没有解题方法的限制，该题还可以用解析几何的方法求解.即先求出直线的方程，通过解方程组得出点的坐标.【巩固练习】1．已知点、的坐标分别为（3，-2），（-1，4）.、为线段上的点，并且线段、、的长度相等，求点、的坐标.2．已知三个点（1）求证：（2）要使四边形ABCD为矩形，求点的坐标.3．设，且，满足（为正实数），（1）求证：（2）若，求.【课后作业】《强化练习》结合《指要练习》【板书设计】第七章向量第七章向量（一）典例讲解（二）巩固练习例1.-----1-----例2.-----2-----例3.-----3-----例4.-----例5.-----课后记：【课题】高考真题练兵教学目标：（1）知识目标：了解本章内容在高考题中的题型、难度及其所占比重．（2）能力目标：培养学生的逻辑思维能力及综合解题能力．（3）情感目标：通过高考真题练兵，调动学生的学习积极性，增强学生的信心.教学重点：知识点的基础应用．教学难点：知识点的综合运用．教学方法：启发发现法、直观教学法、电化教学法教学用具：PowerPoint课件、几何画板、投影设备、黑板、粉笔等.课时安排：2课时．教学过程：【高考真题】（2005）已知＝3,＝4，＝6，则〈，〉＝（）A30B45C60D1