2021年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷(二模)-(解析版)

2021年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷（二模）一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}2．在复平面内，复数z＝i（i+2）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在的展开式中，x3的系数为（）A． B． C．﹣40 D．404．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．2a＜2b B． C．a3＞b3 D．lg（a2+1）＞lg（b2+1）5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）A． B．1 C． D．26．已知函数f（x）＝|x|﹣1﹣log2|x|，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）A．0.25 B．﹣0.25 C．0.89 D．﹣0.898．已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为（）A． B． C． D．9．已知函数f（x）＝sinx，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2”是“b﹣a≥π”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件10．设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝．12．若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为．13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则公差d＝，Sn的最大值为．14．已知α是任意角，且满足，则常数k的一个取值为．15．曲线C是平面内与两个定点F1（0，1），F2（0，﹣1）的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②△F1PF2周长的最小值为；③点P到y轴距离的最大值为；④点P到原点距离的最小值为．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．17．在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：ab＝2；条件②：asinB＝6．18．某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：6063656775777779798283868789929396969696学生：4749525455576365666674747577808283849596根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为μ1和μ2，方差分别为η1和η2，试比较μ1和μ2，η1和η2的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．19．已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）过点M（0，1）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得∠ANM＝∠BNM（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）＝ex﹣mx2（m∈R）．（Ⅰ）已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ex+e，求m的值；（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使得f（x0）≥2，求m的取值范围．21．已知数列{an}（an∈N），记Sn＝a1+a2+⋯+an，首项a1＝n0＞0，若对任意整数k≥2，有0≤ak≤k﹣1，且Sk是k的正整数倍．（Ⅰ）若a1＝21，写出数列{an}的前10项；（Ⅱ）证明：对任意n≥2，数列{an}的第n项an由a1唯一确定；（Ⅲ）证明：对任意正整数n0，数列{Sn}从某一项起为等差数列．

参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}解：由|x|≤1，得﹣1≤x≤1，∴A＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，又B＝{x|0≤x＜2}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x≤1}∪{x|0≤x＜2}＝{x|﹣1≤x＜2}．故选：D．2．在复平面内，复数z＝i（i+2）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：由z＝i（i+2）＝﹣i2+2i＝﹣1+2i，可得复数z＝i（i+2）对应的点的坐标为（﹣1，2），位于第二象限．故选：B．3．在的展开式中，x3的系数为（）A． B． C．﹣40 D．40解：的展开式中，x3的系数为＝﹣40．故选：A．4．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．2a＜2b B． C．a3＞b3 D．lg（a2+1）＞lg（b2+1）解：对于A，函数y＝2x为增函数，因为a＞b，所以2a＞2b，故A错误；对于B，取a＝1，b＝﹣1，可得，故B错误；对于C，幂函数y＝x3为增函数，由a＞b，可得a3＞b3，故C正确；对于D，取a＝1，b＝﹣1，则a2+1＝b2+1，所以lg（a2+1）＝lg（b2+1），故D错误．故选：C．5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）A． B．1 C． D．2解：由三视图还原原几何体如图，底面三角形BCD为直角三角形，BC⊥CD，BC＝1，CD＝2，侧面ABC⊥底面BCD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，，，，，∴该四面体四个面的面积中最大的是．故选：C．6．已知函数f（x）＝|x|﹣1﹣log2|x|，则不等式f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）解：令g（t）＝t﹣1﹣log2t，t∈（0，+∞），g′（t）＝1﹣＝，t∈（0，）时，g′（t）＜0，此时函数g（t）单调递减；t∈（，+∞）时，g′（t）＞0，此时函数g（t）单调递增．又g（1）＝g（2）＝0，∈（1，2）．∴1＜t＜2时，g（t）＜0，则1＜|x|＜2时，f（x）＜0，解得﹣2＜x＜﹣1，或1＜x＜2．∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故选：D．7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃．那么tmin后物体的温度θ（单位：℃）可由公式θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是38℃，则k的值约为（）（ln3≈1.10，ln7≈1.95）A．0.25 B．﹣0.25 C．0.89 D．﹣0.89解：∵θ＝θ0+（θ1﹣θ0）e﹣kt，且当θ1＝46℃，θ0＝10℃，t＝1min时，θ＝38℃，∴38＝10+（46﹣10）e﹣k，∴e﹣k＝，∴﹣k＝＝ln7﹣ln9，∴k＝ln9﹣ln7＝2ln3﹣ln7≈0.25，故选：A．8．已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为（）A． B． C． D．解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1经过原点，∴a2+b2＝1，则动圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1的圆心在以原点为圆心，以1为半径的圆上，如图：原点O到直线y＝x+2的距离d＝，则圆上的点到直线y＝x+2距离的最大值为．故选：B．9．已知函数f（x）＝sinx，x∈[a，b]，则“存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2”是“b﹣a≥π”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解：无妨设x1＜x2，①若存在x1，x2∈[a，b]，使得f（x1）﹣f（x2）＝2，又∵sinx∈[﹣1，1]，∴f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，∴x1＝+2kπ，x2＝+2mπ，k，m∈Z，则x2﹣x1＝π+2kπ，k∈Z，又∵x1＜x2，∴x2﹣x1≥π，∵x1，x2∈[a，b]，∴b﹣a≥π，②若b﹣a≥π，比如b＝，a＝，b﹣a＝π，但f（x1）﹣f（x2）＝2不成立，∴存在x1，x2∈[a，b]使得f（x1）﹣f（x2）＝2是b﹣a≥π的充分不必要条件．故选：B．10．设函数f（x）＝，若f（x）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．解：函数y＝﹣x3+3x，x∈R，则y'＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），所以当﹣1＜x＜1时，y'＞0，故函数单调递增，当x＜﹣1或x＞1时，y'＜0，故函数单调递减，当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，作出函数y＝﹣x3+3x，x∈R的图象与y＝2x，x∈R的图象，如图所示，在图象中作直线x＝a，通过x＝a左右平移，得到函数f（x）＝的图象，因为f（x）恰有两个零点，则f（x）的图象与x轴恰有两个交点，所以实数a的取值范围是．故选：C．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．设向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），若（﹣）⊥，则实数m＝2．解：根据题意，向量＝（m，3），＝（1，2），＝（1，﹣1），则﹣＝（m﹣1，1），若（﹣）⊥，则（﹣）•＝m﹣1﹣1＝0，解可得m＝2，故答案为：212．若双曲线的焦距等于实轴长的倍，则C的渐近线方程为y＝±x．解：由题意知，2c＝•2a，∴c＝a，∴b＝＝＝a，∴C的渐近线方程为y＝±x＝±x．故答案为：y＝±x．13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则公差d＝﹣2，Sn的最大值为12．解：因为{an}为等差数列，a1＝6，S3＝2a1，所以3×6+3d＝12，则d＝﹣2，Sn＝6n+＝7n﹣n2，结合二次函数的性质可知，当n＝3或n＝4时，Sn取最大值12．故答案为：﹣2，12．14．已知α是任意角，且满足，则常数k的一个取值为﹣3（答案不唯一）．解：因为，令k＝﹣，则k＝﹣3．故答案为：﹣3（答案不唯一）．15．曲线C是平面内与两个定点F1（0，1），F2（0，﹣1）的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②△F1PF2周长的最小值为；③点P到y轴距离的最大值为；④点P到原点距离的最小值为．其中所有正确结论的序号是①②④．解：由题意，曲线C是平面内与两个定点F1（0，1），F2（0，﹣1）的距离的积等于的点P的轨迹，设P（x，y），可得，即，以﹣x替换x，﹣y替换y方程不变，∴曲线C关于坐标轴对称，故①正确；设a＝，b＝，得到ab＝，则a+b，当且仅当a＝b时等号成立，∴△F1PF2周长的最小值为，故②正确；过点P作PE⊥F1F2，则cos∠F1PF2＝，当且仅当a＝b时等号成立，当时，sin∠F1PF2取得最大值，∴△F1PF2的最大面积为S＝，又由，解得|PE|＝，即点P到y轴的距离为，故③不正确；由（a+b）2＝a2+b2+2ab＝[x2+（y+1）2]+[x2+（y﹣1）2]+2ab＝+2+2ab＝，又由a+b＝2•＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴2，可得，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形．且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）若PA＝AB＝2，求CN与平面PBD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为PB，PD的中点．取PC中点P，连结PM，PN，则PM∥BC，PN∥CD，∵PM∩PN＝P，BC∩CD＝C，∴平面ABCD∥平面PMN，∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面ABCD．（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形．PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（2，2，0），N（0，1，1），P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），＝（﹣2，﹣1，1），＝（2，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设平面PBD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），设CN与平面PBD所成角为θ，则CN与平面PBD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在△ABC中，已知sinB＝sinC，A＝30°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：ab＝2；条件②：asinB＝6．解：由正弦定理知，＝，∵sinB＝sinC，∴b＝c，选择条件①：（Ⅰ）∵ab＝2，∴a＝＝＝，由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cosA，∴（）2＝（c）2+c2﹣2•c•c•cos30°，化简得，c4＝4，∵c＞0，∴c＝．（Ⅱ）b＝c＝，∴△ABC的面积S＝bc•sinA＝××sin30°＝．选择条件②：（Ⅰ）由正弦定理知，＝＝，∴bsinA＝asinB＝6，∴b＝＝12，∵b＝c，∴c＝＝4．（Ⅱ）△ABC的面积S＝bc•sinA＝×12×4sin30°＝12．18．某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：教师：6063656775777779798283868789929396969696学生：4749525455576365666674747577808283849596根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．（Ⅰ）设数据中教师和学生评分的平均值分别为μ1和μ2，方差分别为η1和η2，试比较μ1和μ2，η1和η2的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．解：（Ⅰ）μ1＞μ2，η1＜η2．（Ⅱ）教师对菜品满意的概率P＝＝，则随机变量X服从二项分布，即X～B（3，），X的所有可能取值为0，1，2，3，且P（X＝k）＝pk（1﹣p）3﹣k，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以X的分布列为：X0123P所以数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅲ）记事件C：教师的满意度等级高于学生的满意度等级，用A1，A2，A3分别表示教师对该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，用B1，B2，B3分别表示学生该菜品“不满意”、“满意”、“非常满意”，且A1，A2，A3，B1，B2，B3相互独立，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（B1）＝，P（B2）＝，P（B3）＝，所以P（C）＝P（A2B1）+P（A3B1）P（A3B2）＝×+×+×＝，即教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为．19．已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）过点M（0，1）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A，B两点，在y轴上是否存在点N使得∠ANM＝∠BNM（点N与点M不重合），若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可得，解得a＝2，b＝2，所以椭圆G的方程为+＝1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（0，t）（t≠1），所以直线AN的斜率为k1＝，直线BN的斜率为k2＝，所以∠ANM＝∠BNM，当且仅当k1+k2＝0，所以+＝＝＝＝0，即2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）＝0，根据题意，直线l的方程为y＝kx+1，联立，得（1+2k2）x2+4kx﹣6＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，所以2k•﹣+（1﹣t）＝＝0，由因为k≠0，所以t＝4，所以+＝1．所以在y轴上存在点N使得∠ANM＝∠BNM，点N的坐标为（0，4）．20．已知函数f（x）＝ex﹣mx2（m∈R）．（Ⅰ）已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣ex+e，求m的值；（Ⅱ）若存在x0∈[0，1]，使得f（x0）≥2，求m的取值范围．解：（Ⅰ）由切线方程为y＝﹣ex+e＝﹣e（x﹣1），可得斜率k＝﹣e，因为f（x）＝ex﹣mx2，f′（x）＝ex﹣2mx，所以k＝f′（1）＝e﹣2m＝﹣e，解得m＝e．（Ⅱ）存在x0∈[0，1]，使得f（x0）＝﹣mx02≥2，当x0＝0时，1≥2成立，m∈R，当x0∈（0，1]时，即≥m有解，令g（x）＝，则g′（x）＝＝，设h（x）＝xex﹣2ex+4，h′（x）＝ex+xe