2019-2020学年河北省廊坊市高三(上)联考数学试卷(文科)(解析版)

2019-2020学年河北省廊坊市高三（上）联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|x+1＜2}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．（1，3） B．（﹣∞，1） C．（﹣3，3） D．（﹣3，1）2．已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（2+）∥（﹣2），则λ＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．在公比为2的等比数列{an}中，前n项和为Sn，且S7﹣2S6＝1，则a1+a5＝（）A．5 B．9 C．17 D．334．已知两个单位向量，满足|+|＝||，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．5．函数f（x）＝ln（3x﹣4x）的定义域为（）A．（0，log43） B．（0，log34） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）6．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．函数f（x）＝x3+lgx﹣18的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）8．已知函数f（x）＝cos（﹣x）cos（+x）﹣cos2x+，则f（x）的最小正周期和最大值分别为（）A．π， B．π， C．2π， D．2π，9．若4m＝3n＝k，且2m+n＝mn≠0，则k＝（）A．18 B．26 C．36 D．4210．已知1＜a＜2，实数x，y满足，且z＝+的最大值为，则a＝（）A． B． C． D．11．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝2，且（﹣1）n（an﹣an+2）＝2﹣2•（﹣1）n，则S2019的值为（）A．2018×1011﹣1 B．2019×1010 C．2019×1011﹣1 D．2018×101012．已知函数f（x）＝（x2﹣a）lnx，曲线y＝f（x）上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣1，0） C． D．（﹣1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13．函数f（x）＝x+sinx（1﹣cosx）的图象在点（π，π）处的切线方程是．14．已知α是第二象限角，则＝15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且b＝acosC+csinA，则＝．16．正数a，b满足a＞b，ab＝1，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+S2＝﹣5，S5＝﹣15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求．18．已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）在[﹣，]上的最大值和最小值；（3）不画图，说明函数y＝f（x）的图象可由y＝sinx的图象经过怎样变化得到．19．已知函数．（1）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的奇偶性，并证明；（2）求不等式﹣1＜f（log4x）≤3的解集．20．如图，在平面四边形ABCD中，，，CA＝3，且角D与角B互补，．（1）求△ACD的面积；（2）求△ACD的周长．21．设a∈R，命题p：函数y＝loga（x3﹣ax）（a＞0，a≠1）在（﹣，0）内单调递增；q：函数f（x）＝x4+x3+x2+1仅在x＝0处有极值．（1）若命题q是真命题，求a的取值范围；（2）若命题p∨（￢q）是真命题，求a的取值范围．22．已知函数f（x）＝ex﹣ax（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）＜0在区间[﹣1，+∞）上有解，求a的取值范围．

2019-2020学年河北省廊坊市高三（上）9月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|x+1＜2}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．（1，3） B．（﹣∞，1） C．（﹣3，3） D．（﹣3，1）【解答】解：∵A＝{x|x＜1}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝（﹣3，1）．故选：D．2．已知向量＝（λ+1，1），＝（λ+2，2），若（2+）∥（﹣2），则λ＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：，∵，∴﹣3（3λ+4）+4（λ+3）＝0，解得λ＝0．故选：B．3．在公比为2的等比数列{an}中，前n项和为Sn，且S7﹣2S6＝1，则a1+a5＝（）A．5 B．9 C．17 D．33【解答】解：由Sn+1＝a1+qSn，S7﹣2S6＝1，q＝2，∴a1＝1．∴a1+a5＝1+24＝17．故选：C．4．已知两个单位向量，满足|+|＝||，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【解答】解：∵已知两个单位向量，满足|+|＝||，设向量与的夹角为θ，则+2+＝，∴2•+＝0，即2•1•1•cosθ+1＝0，∴cosθ＝﹣，∴θ＝，故选：C．5．函数f（x）＝ln（3x﹣4x）的定义域为（）A．（0，log43） B．（0，log34） C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）＝ln（3x﹣4x），所以3x﹣4x＞0，即3x＞4x，解得x＜0，所以f（x）的定义域为（﹣∞，0）．故选：C．6．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：必要性：设f（x）＝asinx+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a＞1；当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．故a＞1或a＜﹣1；充分性：取，当a＜﹣1时，asinx0+1＜0成立．∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的充分不必要条件．故选：A．7．函数f（x）＝x3+lgx﹣18的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵函数f（x）＝x3+lgx﹣18在定义域内是连续增函数；f（2）＝8﹣18+lg2＜0，f（3）＝27﹣18+lg3＝9+lg3＞0；∴f（2）f（3）＜0，根据零点存在性定理，f（x）的零点在区间（2，3）上，故选：C．8．已知函数f（x）＝cos（﹣x）cos（+x）﹣cos2x+，则f（x）的最小正周期和最大值分别为（）A．π， B．π， C．2π， D．2π，【解答】解：∵函数f（x）＝cos（﹣x）cos（+x）﹣cos2x+＝cos（﹣x）sin（﹣x）﹣•+＝sin（﹣2x）﹣cos2x＝•cos2x﹣•（﹣）sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），则f（x）的最小正周期为＝π，最大值为，故选：B．9．若4m＝3n＝k，且2m+n＝mn≠0，则k＝（）A．18 B．26 C．36 D．42【解答】解：由题意得，m＝log4k，n＝log3k，又由2m+n＝mn得，∴logk4+2logk3＝1，即logk36＝1，解得k＝36；故选：C．10．已知1＜a＜2，实数x，y满足，且z＝+的最大值为，则a＝（）A． B． C． D．【解答】解：由z＝+得y＝﹣2x+4z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝﹣2x+4z，由图象可知当直线y＝﹣2x+4z，过点A（1，a﹣1）时，直线y＝﹣2x+4z的截距最大，此时z＝+的最大值为，＝，∴a＝，故选：D．11．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2＝2，且（﹣1）n（an﹣an+2）＝2﹣2•（﹣1）n，则S2019的值为（）A．2018×1011﹣1 B．2019×1010 C．2019×1011﹣1 D．2018×1010【解答】解：a1＝1，a2＝2，且（﹣1）n（an﹣an+2）＝2﹣2•（﹣1）n，当n为奇数时，an+2﹣an＝4，可得数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，当n为偶数时，an+2﹣an＝0，可得数列{a2n}是首项为2，公差为0的等差数列．S2019＝（a1+a3+…+a2019）+（a2+a4+…+a2018）＝1010×1+×1010×1009×4+2×1009＝2019×1011﹣1，故选：C．12．已知函数f（x）＝（x2﹣a）lnx，曲线y＝f（x）上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）A． B．（﹣1，0） C． D．（﹣1，+∞）【解答】解：∵曲线y＝f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′（x）＝2xlnx+x﹣＝0有两个不同的解，即得a＝2x2lnx+x2有两个不同的解，设y＝2x2lnx+x2，则y′＝4xlnx+4x，∴0＜x＜，y′＜0，函数递减，x＞，y′＞0，函数递增，∴x＝时，函数取得极小值﹣e﹣2，x→+∞，y→+∞，当x→0+时，y→0，∴﹣e﹣2＜a＜0，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13．函数f（x）＝x+sinx（1﹣cosx）的图象在点（π，π）处的切线方程是x+y﹣2π＝0．【解答】解：∵f（x）＝x+sinx（1﹣cosx），∴f′（x）＝1+cosx（1﹣cosx）+sinx•sinx＝1﹣cos2x+cosx，∴f′（π）＝1﹣cos2π+cosπ＝﹣1，∴函数f（x）＝x+sinx（1﹣cosx）的图象在点（π，π）处的切线方程是y﹣π＝﹣1×（x﹣π），即x+y﹣2π＝0．故答案为：x+y﹣2π＝0．14．已知α是第二象限角，则＝﹣1【解答】解：∵α是第二象限角，∴＝＝＝﹣1﹣sinα+sinα＝﹣1．故答案为：﹣1．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且b＝acosC+csinA，则＝．【解答】解：∵b＝acosC+csinA，∴由正弦定理可得sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝sinAcosC+sinCsinA，∴cosAsinC＝sinCsinA，∵sinC≠0，∴tanA＝1，∵A∈（0，π），∴A＝，又∵a，b，c成等比数列，∴＝，∵由正弦定理，可得sinA＝，∴＝＝sinA＝．故答案为：．16．正数a，b满足a＞b，ab＝1，则的最小值为2．【解答】解：＝，令t＝a﹣b＞0，则＝，当且仅当t＝1时取等号．故填：2．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+S2＝﹣5，S5＝﹣15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求．【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，a2+S2＝﹣5，S5＝﹣15，可得a1+d+a1+a1+d＝3a1+2d＝﹣5，5a1+10d＝﹣15，解得a1＝d＝﹣1，可得an＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n，n∈N*；（2）＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）在[﹣，]上的最大值和最小值；（3）不画图，说明函数y＝f（x）的图象可由y＝sinx的图象经过怎样变化得到．【解答】解：（1）根据图象可以得到A＝2，，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）．又，所sin（+φ）＝1，所以，即．因，所以．所以，．（2）由，得，所以，所以﹣2≤f（x）≤1，故当时，f（x）取得最小值﹣2；当时，f（x）取得最大值1．（3）先将y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y＝2sinx的图象；再将y＝2sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象；最后将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象．注：其他解法相应给分．19．已知函数．（1）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的奇偶性，并证明；（2）求不等式﹣1＜f（log4x）≤3的解集．【解答】解：（1）函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为奇函数．证明如下：任取x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）＝1﹣4x＝﹣（4x﹣1）＝﹣f（x）；再任取x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝4﹣x﹣1＝﹣（1﹣4﹣x）＝﹣f（x）；又当x＝0时，﹣x＝0，∴f（﹣x）＝0＝﹣0＝﹣f（x）．故f（x）在（﹣∞，+∞）上为奇函数．（2）当x＞0时，f（x）＝4x﹣1是增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，又f（）＝﹣1，f（1）＝3，∴由﹣1＜f（log4x）≤3，得＜log4x≤1，∴＜x≤4．故不等式﹣1＜f（log4x）≤3的解集为（，4]．20．如图，在平面四边形ABCD中，，，CA＝3，且角D与角B互补，．（1）求△ACD的面积；（2）求△ACD的周长．【解答】解：（1）平面四边形ABCD中，，，CA＝3，在△ABC中，由余弦定理得，所以．因为∠D与∠B互补，所以，．又，所以，即，所以＝．（2）在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2•AD•CDcos∠ADC，所以AD2+CD2＝AC2+2AD•CDcos∠ADC＝12，所以AD+CD＝2，所以△ACD的周长为AD+CD+AC＝2．21．设a∈R，命题p：函数y＝loga（x3﹣ax）（a＞0，a≠1）在（﹣，0）内单调递增；q：函数f（x）＝x4+x3+x2+1仅在x＝0处有极值．（1）若命题q是真命题，求a的取值范围；（2）若命题p∨（￢q）是真命题，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为f′（x）＝x3+4ax2+x＝x（x2+4ax+1），显然x＝0不是方程x2+4ax+1＝0的根，为使f（x）仅在x＝0处有极值，必须x2+4ax+1≥0恒成立，即△＝4（4a2﹣1）≤0，解得，此时f（0）＝1时唯一极值，所以a∈[]．（2）当p是真命题时，记g（x）＝x3﹣ax，则g′（x）＝3x2﹣a，当a＞1时，要使得y＝是增函数，则需g′（x）≥