《线性代数》(第二版)智能教学系统-习题解答-第一章A组题

第1章矩阵1、设，求解：；；。2、设矩阵满足，其中，，求解：设，那么，。利用矩阵相等的定义可得：。3、某石油公司所属的三个炼油厂在1997年和1998年生产的4种油品的产量如下表〔单位：万吨〕产油量品炼油厂1997年1998年582715472301856525143632513590302078028185〔1〕作矩阵和分别表示三个炼油厂1997年和1998年各种油品的产量；〔2〕计算与，并说明其经济意义；〔3〕计算，并说明其经济意义。解：〔1〕，；〔2〕，其经济意义表示三个炼油厂1997年和1998年两年各种油品产量的和。，其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年之间各种油品产量的变化量。〔3〕，其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年各种油品的平均产量。4、计算以下矩阵的乘积〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕。解：〔1〕。〔2〕。〔3〕。〔4〕。〔5〕。〔6〕。〔7〕。V41V71yV315、如图，考虑边长为2的正方形：设其顶点和各边中点的坐标分别为V41V71yV31V61V81用矩阵分别左乘给定的V61V81V51xV21V1V51xV21V11O试作出由这些点构成的平面图形；〔2〕考虑矩阵分别在当和时，用左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，假设设所得到的点的坐标和分别作出由这两组点构成的平面图形。解：(1)以的坐标为列构造28矩阵V，令那么矩阵W的每一列依次为的坐标。如下图。yW2OyW2OW5W5W6WW3WW1OxOxW8W8W7WW4(2)令那么矩阵U的每一列依次为的坐标，如以下图所示。U3yU3yUU6U7U7U2U4U4U5UU8U1xU1xO令y那么矩阵的每一列依次为点的坐标。如下图。yU4U4U8U1xOxOU7UU7U5U6U3U6U3U26、设某港口在某月份出口到3个地区的两种货物的数量以及它们一单位的价格、重量和体积如下表：出地口区量货物北美欧洲非洲单位价格〔万元〕单位重量单位体积2000100080012001300500试利用矩阵乘法计算：经该港口出口到3个地区的货物价值、重量、体积分别各为多少？经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？解：〔1〕=其中第一、二、三列分别表示北美、欧洲、非洲；第一、二、三行分别表示价值、重量、体积。〔2〕=其中第一、二、三行分别表示总价值、总重量、总体积。7、设A,B均为阶对称矩阵，试判定以下结论是否正确，并说明理由。〔1〕为对称矩阵；〔2〕为对称矩阵〔为任意常数〕；〔3〕为对称矩阵。证明：令n阶对称矩阵A=，其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;n阶对称矩阵A=，其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;正确。显然A+B=，又，，其中i=1,2,…,n，j=1,2,…,n;所以=，即A+B为对称矩阵。〔2〕正确。显然kA=，又，其中i=1,2,…,n,j=1,2,…,n;所以=，即kA为对称矩阵。〔3〕错误。设对称矩阵A和B分别为：，； 所以，显然AB不为对称矩阵。8、求所有与可交换的矩阵〔1〕；(2)。解：〔1〕显然与A可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X，并令，又，，由可交换条件AX=XA，可得b=0,〔其中为任意常数〕，即。〔2〕显然与A可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X，并令，又，，由可交换条件XA=AX，可得d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,〔其中a,e,i,b,f均为任意常数〕，即。9、设矩阵与矩阵均可交换，求证：与也可交换，且。证明：因为矩阵A与矩阵可交换，即，，所以=+=+=，即矩阵与可交换。又，即矩阵与也可交换。所以由有：=－=。10、计算〔其中n为正整数〕〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；解：〔1〕=。〔2〕=。下面用数学归纳法证明。当n=1时，当然成立。假定n=k时成立，即。再证n=k+1时也成立。。〔3〕=，可用数学归纳法证明之。〔4〕当n=1时，值为原矩阵；当n=2时，；当n=3时，；当时，。〔5〕=；〔6〕，由直接计算可知A2=4E。由此进一步得知：11、设为阶矩阵。试分别求,与的第行第列。解：的第行第列为，的第行第列为，的第行第列为。12、设，对于阶矩阵，定义其中为阶单位矩阵。〔1〕如果，，求；解：依定义得：。〔2〕如果，，求.解：依定义得：=－+=。13、写出以下图的邻接矩阵，并分别计算各邻接矩阵的平方。解：〔1〕设邻接矩阵为A，那么A=，A2=。〔2〕设邻接矩阵为A，那么A=，A2=。14、设为同阶矩阵，且满足。求证：的充分必要条件是.证明：先证明必要性：由于，故…………〔1〕如果A2=A，即由此得B2=E再证充分性：假设B2=E，那么由〔1〕式可知，。所以，的充分必要条件是。15、设为阶矩阵，称的主对角线上所有元的和为的迹，记作，即。求证：当均为阶矩阵时，有〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕。证明：〔1〕因为A，B为阶矩阵，所以A+B也为n阶矩阵，并设A+B=根据矩阵加法的定义，可知：,所以因此，=+，即。〔2〕因为A为阶矩阵，所以kA也为n阶矩阵，并设kA=。根据矩阵加法的定义，可知：,所以。因此，==，即。〔3〕令AT=根据矩阵转置的定义可知，，又，所以=，即：。〔4〕令AB=C=，AB=D=，其中，。显然，当时，，于是，即。16、计算以下行列式〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕。解：〔1〕==1。〔2〕===12。〔3〕第一列乘-1加到第二列，并从第二列提取1000，得===6123000。〔4〕从第二行提取2之后，跟第一行互换，得===8。〔5〕把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取8，得====512。〔6〕把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，得====160。〔7〕这是一个第二行元素为1、2、3、4的范得蒙行列式，因此==12。〔8〕最后一列乘以-1后，加到第一列，并按最后一行展开，得====－192。17、解方程〔1〕；〔2〕。解：〔1〕===1。即解方程，因此x=3或-1。〔2〕=〔x+2〕〔x-1〕=0。所以方程的解为：x=1或－2。18、设3阶行列式，计算以下行列式：〔1〕；〔2〕。解：〔1〕=+=+=－8+0=－8。〔2〕=+==－0==8。19、计算以下行列式〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。解：〔1〕====。〔2〕将第二、三、四列展开得：原式===+=0。〔3〕=+=。〔4〕按第一列展开=+=。〔5〕按最后一列展开=+=。20、证明：〔1〕；〔2〕。证明：〔1〕=+=-=+=2。〔2〕=+=－=。21、计算以下n阶行列式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。解：〔1〕各列都加到第一列后，再从第一列中提取；然后，第一行乘以-1后加到其余各行，得=〔〕=〔〕=。〔2〕=·，显然，当n=1时，原行列式的值为。当n=2时，==。当时，将第2行到第n行的元素减去第一行相应的元素，得到=。然后，将各行的公因子提出得==0〔因为有两行的元素是相等的〕。所以，综合有：当n=1时，原式=，当n=2时，原式=，当n3时，原式=0。〔3〕设所给的行列式为D，从最后一列依次往前一列加，得D==。〔4〕设所给的行列式为D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n－1，得D===。〔5〕设所给的行列式为D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列〔j=1,2，…，n〕，得D==。22、解方程〔1〕；〔2〕。解：〔1〕将所给的行列式的第一行乘以－1，加到其他行，得===0。所以x=1，2，…，n-1。〔2〕将所给的行列式的最后一列分别乘以加到第n，n-1，…，1列，得===0。所以。23、证明〔1〕〔其中〕；〔2〕〔其中〕；〔3〕〔〕。证明：〔1〕将行列式的第一行的-1倍分别加到其余各行，然后提出各列的公因子，再把各列加到第一列，得原式==，再将第2列到第n列的各元素依次加到第1列上去即得原式=。〔2〕用乘第i列〔〕分别加到第一列，得原式＝=。〔3〕从第n行起，各行的x倍依次加到上面一行，所得到的行列式再按第一行展开得D===。24、利用分块矩阵的乘法，计算AB〔1〕，其中；〔2〕，其中，。解：〔1〕AB==其中E2B11=B11，E2B12=B12，A22E2=A22，A21B11==，A21B12==，A22B22==，所以AB=。〔2〕AB==，其中A1B1==9，A2B2==9，A3B3==9。所以AB=。25、设A是3阶矩阵，且detA=-2，假设将A按列分块，其中为A的第j列，〔j=1，2，3〕，求以下行列式：〔1〕；〔2〕。解：〔1〕因为==。所以==4。〔2〕因为=－=。所以==6。26、设A是矩阵，将其按行分为m块，其中为A的第i行〔〕，对于m阶单位矩阵E，也将其按行分为m块，其中为E的第i行〔〕，试由EA=A证明：〔〕。证明：EA===A=所以=，即〔〕。27、判断以下矩阵是否可逆，假设可逆，利用伴随矩阵求其逆矩阵.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。解：〔1〕令所给的矩阵为A，因为detA=-2,不为零，所以此矩阵可逆。其伴随矩阵为A*=，所以其逆矩阵为=。〔2〕令所给的矩阵为A，因为detA=0,所以此矩阵不可逆。〔3〕令所给的矩阵为A，因为detA=0,所以此矩阵不可逆。〔4〕令所给的矩阵为A，因为detA=6,不为零，所以此矩阵可逆。其伴随矩阵为A*=，所以其逆矩阵为=。28、利用行初等变换法求以下矩阵的逆矩阵.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。解：〔1〕。所以，此矩阵的逆矩阵为。〔2〕，所以，其逆矩阵为。〔3〕，所以，其逆矩阵为。〔4〕，所以，其逆矩阵为。〔5〕所以，其逆矩阵为。29、求解以下矩阵方程〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕AX+B=X，其中。解：〔1〕因为，所以，X===。〔2〕因为，所以X===。〔3〕因为，所以X==。〔4〕因为AX+B=X，所以X=(E-A)-1B，又E－A=，因此，X==。30、设A为n阶矩阵，且存在正整数，使。求证：E-A可逆，且.证明：作以下乘法===从而E－A为可逆矩阵，而且。31、n阶矩阵A，满足，求证：A可逆，并求.证明：因为，即，所以，，从而，A为可逆矩阵，而且。32、如果矩阵A可逆。〔1〕求证：也可逆，并求。〔2〕设，求.〔1〕证明：因为矩阵A可逆，所以，即从