第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷（全解全析）

第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷全解全析1．C【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．【详解】A.y＝＋x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；

B.y＝x2－(x＋1)2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；

C.y＝－x2＋3x＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D.y＝3x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．2．B【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可．【详解】二次函数，∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，∵点A（1，），B（2，），C（−3，）都在二次函数的图象上，∴点C（−3，）关于对称轴的对称点是C（3，），∵1＜2＜3，∴，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．3．D【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可．【详解】A．抛物线的开口向下，故选项正确，不符合题意；B．抛物线的顶点坐标是（−1，−1），故选项正确，不符合题意；C．抛物线的对称轴是直线x＝−1，故选项正确，不符合题意；D．当x≤﹣1时，y的值随x的增大而增大，故选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．4．B【分析】根据所给函数解析式，得到一个新的二次函数，若即>0，则新的二次函数二次项系数要大于0，并且Δ<0，据此求解即可．【详解】解：，选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；选项B：若，则，，则，故此选项符合题意；选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有，故此选项不符合题意；同理选项D也不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．5．B【分析】观察表格可得-0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由的对称轴为x=得到方程的另一个近似根（精确到0.1）是3.5【详解】解：∵二次函数，∴对称轴为直线x＝，观察表格得：方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，∴另一个近似根m满足＝，∴m＝3.5，故选：B.【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．6．D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，不正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，故不正确，不符合题意；C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，∴（m为任意实数），∴，∵a＜0，∴（m为任意实数）故不正确，不符合题意；D．∵-=1，故b=-2a，∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，∴c=-3a，∵2＜c＜3，∴2＜-3a＜3，∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．7．C【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，∴点C的横坐标为-5，当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，∴C（-5，-2.25），∴桥面离水面的高度AC为2.25米．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．8．C【分析】联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x,4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，求得AB=4x-x2-=-x2-x=-(x-)2+，根据二次函数的性质可判断D．【详解】解：联立两函数解析式，得，解得：或，则小球落地点距O点水平距离为7米，故A选项不符合题意；∵，则抛物线的对称轴为x=4，∵<0，∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，故B选项不符合题意；当y=7.5时，7.5=4x-x2，整理得x2-8x+15=0，解得，x1=3，x2=5，∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意；如图，设抛物线上一点A(x,4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，∴B(x,)，∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+，∵<0，∴当x=时，AB有最大值，最大值=，即小球距斜坡的最大铅直高度为，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．9．B【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的．【详解】解：A．一次函数y=ax+c中a＞0，c＞0，二次函数中a＜0，c＞0，故选项A不符合题意；B．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数中a＜0，c＞0，故选项B符合题意；C．一次函数y=ax+c中a＜0，c＜0，二次函数中a＞0，c＜0，故选项C不符合题意；D．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数中a＞0，c＜0，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．10．D【分析】①根据图象与x轴有两个交点，Δ＞0即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），再根据抛物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与x轴的一个交点为（3，0），可得9a+3b+c=0，对称轴为x=1，可得b=-2a,将2b=-4a代入9a+3b+c=0，即可判断；⑤根据图象可得a＞0，即可得出1＜a+1＜a+2，再结合对称轴为直线x=1，运用二次函数增减性即可判断．【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴①正确；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴b与a异号，即b＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，∴当x＝﹣3时，y＞0，∴9a﹣3b+c＞0，∴③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），∴9a+3b+c＝0，∵抛物线对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴9a＋3b＋c=9a＋2b＋b＋c=9a－4a＋b＋c=5a+b+c＝0，∴④正确；⑤∵a＞0，∴1＜a+1＜a+2，∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，∴，∴，∴⑤正确；综上所述，①②④⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．11．D【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，∴对称轴为，即，∴整理得：，故①正确；∵与y轴的交点坐标为（0，3），可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，∴c＝-3，故②错误；∵中a＞0，，∴b＜0，又∵c＝-3＜0，∴，故③正确；设抛物线的解析式为，代入（0，3）得：，解得：a＝－1，∴，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．12．B【分析】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠B＝60°，，，∵CD⊥AB，∴，，，∴当M在AD上时，0≤t≤3，，，∴，当M在BD上时，3＜t≤4，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．13．（答不唯一）【分析】对称轴为y轴，则一次项系数为0，经过点（0，-2）即常项数为-2，据此求解即可．【详解】解：由题意得，满足题意的二次函数解析式可以为，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解对称轴为y轴，则一次项系数为0，经过点（0，-2）即常项数为-2是解题的关键．14．，【分析】二次函数图象与一次函数图象交点的横坐标即为的解：，.【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，方程组的解为，，即关于的方程的解为，，所以方程的解是，，故答案为：，．【点睛】本题考查了函数图象与方程的解的关系，函数与方程是密不可分的，方程的根的个数问题，往往可以转化为两个函数图象的交点问题．15．【分析】根据二次函数增减性的判定：①开口方向；②对称轴，结合题中当时，y的值随x值的增大而增大，即可得到关于的不等式，求解即可得到结论．【详解】解：，抛物线的对称轴为直线，∵当x＞3时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤3，解得，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数增减性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．16．

（-1，0）

2【分析】（1）将抛物线解析式变形为，当x+1=0时，无论a为何值，抛物线恒过某一定点；（2）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．【详解】解：（1）将抛物线解析式变形为，当x+1=0即x=-1时，抛物线恒过定点（-1，0）．故答案是：（-1，0）；（2）向上平移2个单位可得，，∴，∴抛物线顶点的纵坐标，∵-＜0，∴m的最大值为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单．17．或【分析】根据点A、B的坐标，再找出抛物线图象在直线上方的部分的x的取值范围即可得解．【详解】解：∵点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线上的两点，∴当x＜﹣1或x＞2时，抛物线图象在直线上方，故不等式＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2．故答案为：x＜﹣1或x＞2．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据图象的上下方关系确定不等式的解集与x的取值范围是解题的关键，数形结合是数学中的重要思想之一．18．①②④【分析】由题意易得，，抛物线与x轴的一个交点坐标为，进而可得抛物线的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为，然后问题可进行求解．【详解】解：由抛物线经过点（－2，0），且对称轴为直线，可得：，，∴，故①错误；∴根据抛物线的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为，∴当x=2时，则有，∵当x≥1时，y随x的增大而减小，∴，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n，若n＞m＞0，∴1+n＞1+m＞1，∴x=1+m时的函数值大于x=1-n时的函数值，故③错误；∵b=-2a，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－2，0），∴，即，∴，∴点一定在此抛物线上，故④正确；故答案为：①②④【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．19．(1)(2)平移所得抛物线是，交点坐标为【分析】（1）根据抛物线过点，代入即可求出答案；（2）抛物线向右平移个单位，根据抛物线水平方向移动规律“左加右减，上加下减”即可求出平移所得抛物线，两条抛物线联立方程即可求出交点坐标．（1）解：根据题意得，，故．（2）解：抛物线解析式是，将该抛物线向右平移个单位，∴平移后抛物线解析式是，故平移后抛物线解析式是，两条抛物线的交点得，∴，解方程组得，，故交点坐标是．【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，理解和掌握函数待定系数法求解析式，函数平移规律是解题的关键．20．(1)(2)1200平方米【分析】（1）由矩形的面积公式写出函数解析式即可；（2）利用第（1）问的函数解析式，由二次函数的性质即可解决问题．（1）解：∵BC长为x米，∴AB=CD=，∴由矩形的面积公式得：，∴y与x的函数关系式为；（2）解：由（1）得；，∵﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=50，∴当x＜50时，y随x的增大而增大，∵AD≤MN，∴x≤a=40，∴当x=40时，y有最大值，最大值为1200，∴若a=40矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据数量关系写出函数解析式．21．(1)；(2)；(3)当时，PM取最大值，最大值为．【分析】（1）根据分别交轴于，得点的坐标，把点、点的坐标代入，即可；（2）分别交轴于，得点，把点的坐标代入，解出，即可；（3）设点的坐标为，得点的坐标为，得的代数式；根据二次函数的性质，得的最大值，即可．（1）∵分别交轴于∴∴∴把、代入得解得∴抛物线的解析式为：．（2）分别交轴于∴解得，∴把代入∴∴∴∴直线AB的方程为：．（3）∵点点在上，点在上∴设点的坐标为，点的坐标为∴∴∴∵∴当时，有最大值∴最大值为：．【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，函数的最值．22．(1)-1<x<3(2)，当-1<x<3时，；当或时，【分析】（1）由图一直接观察图象在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可；（2）先由沿x轴翻折求出新抛物线的解析式为及与x轴的两个交点，，再结合图象观察可得和的解集．（1）解：由图一可知，当-1<x<3时，．故答案为：-1<x<3．（2）∵把的图象沿x轴翻折而形成的图象，∴a=-1，b=2，c=3∴图二抛物线的解析式为，与x轴的两个交点仍为，由图象可知当-1<x<3时，；当或时，．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．23．(1)24(2)当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元(3)当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是1800元【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+降低的价格×2，即可求出每件商品降价2元时平均每天的销售量；（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用该商品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值；（3）设商店每天的销售利润为y元，利用该商品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值．（1）解：20+2×2＝24（件），故答案为：24；（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，整理得：，解得：x1＝10，x2＝30，当x＝10时，50﹣x＝50﹣10＝40＞25，符合题意；当x＝30时，50﹣x＝50﹣30＝20＜25，不符合题意，舍去．答：当每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为1600元；（3）设商店每天的销售利润为y元，由（2）得：y＝（50﹣x）（20+2x）＝，∵﹣2＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为1800，∴当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润最大，最大值是1800元．【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式和一元二次方程是解题的关键．24．(1)点A的坐标为(-1,0)，B点坐标为(4,0)，C点坐标为：(0,2)(2)(3)m值2、或者【分析】（1）令y=0，解关于x的一元二次方程，即可求出点A、B的坐标，令x=0，求出y，即可求出C点坐标；（2）根据点C与点D关于x轴对称即可得D点坐标，设直线BD的解析式为，将点B、点D的坐标代入，即可求解；（3）根据点C与点D的坐标即可求出CD，根据MQ⊥x轴，CD⊥x轴，可知，当CD=QM时，即可得以点C、D、M、Q四点围成的四边形是平行四边形，根据点Q、点P、点M三点的横坐标均为m，即可用m表示出点Q、点M的坐标，即可用m表示出QM，利用CD=QM构建关于m的方程，即可求解．（1）令y=0，则有：，解方程得：，，根据图形可知：点A的坐标为(-1,0)，B点坐标为(4,0)，令x=0，则有，则C点坐标为：(0,2)，即点A的坐标为(-1,0)，B点坐标为(4,0)，C点坐标为：(0,2)；（2）∵C点坐标为：(0,2)，点C与点D关于x轴对称，∴D点坐标为：(0,-2)，设直线BD的解析式为，∵B点坐标为(4,0)，D点坐标为：(0,-2)，∴，解得，∴直线BD的解析式为，即直线BD的解析式为；（3）∵C点坐标为：(0,2)，D点坐标为：(0,-2)，∴CD=2-(-2)=4，∵根据题意有：MQ⊥x轴，CD⊥x轴，∴，即当CD=QM时，即可得以点C、D、M、Q四点围成的四边形是平行四边形，∵P点坐标为：(m,0)，则根据题意可知，点Q、点P、点M三点的横坐标均为m，又∵点M在直线上，点Q在抛物线上，∴设M点坐标为：，Q点坐标为：，∴，当CD=QM时，即=4时，以点C、D、M、Q四点围成的四边形是平行四边形，分情况讨论：当时，即有，解得：m=2或者m=0，当m=0时，CD与QM重合不符合题意，舍去，即此时m=2，满足要求；当时，即有，解得：或者，综上所述：满足条件的m值为：2，，．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质、二次函数与一元二次方程的关系、待定系数法求解直线解析式等知识，属于中考压轴题，难点在第三问，利用平行四边形的判定条件得到是解答本题的关键．25．(1)B（2，0），a＝；(2)E（，0）；