第06章 重点突破训练：实数的性质与计算（解析版）

第06章重点突破训练：实数的性质与计算类型一：实数计算典例：（2019·丹东市第十七中学初二期中）小明和小华做游戏，游戏规则如下：（1）每人每次抽取四张卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数或算式；如果抽到底板带点的卡片，那么减去卡片上的数或算式．（2）比较两人所抽的4张卡片的计算结果，结果大者为胜者．请你通过计算判断谁为胜者？【答案】（1）；；（2）小华获胜．【解析】解：（1）小明抽到卡片的计算结果：﹣﹣+=3﹣﹣2+=；小华抽到卡片的计算结果：﹣3+﹣=2﹣+3﹣=，（2）∵＜，∴小华获胜．方法或规律点拨此类题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．巩固练习1、（2019·富顺第三中学校初一期中）计算：（1）；（2）【答案】（1）原式；（2）原式=【解析】解：（1）原式==；（2）原式===．2、（2018·内蒙古初一期末）计算：【答案】-【解析】解：原式．3、（2019·武汉市第十四中学初一期中）计算：（1）﹣+﹣；（2）|﹣|﹣（﹣）﹣|﹣2|．【答案】（1）1；（2）2﹣2．【解析】解：（1）原式=2﹣﹣+1=1；（2）原式=﹣+﹣2+=2﹣2．4、（2019·营山县化育初级中学校初一期末）计算：.【答案】【解析】解：原式==类型二：以数轴为基础的实数问题典例：（2019·全国初一单元测试）如图所示，数轴上表示1和对应点分别为A、B，点B到点A的距离等于点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x.(1)请你写出数x的值；(2)求(x－)2的立方根．【答案】（1）x＝－1；（2）1【解析】解：(1)因为点A、B分别表示1，，所以AB＝－1，即x＝－1；(2)因为x＝－1，所以(x－)2＝(－1－)2＝(－1)2＝1，故(x－)2的立方根为1.方法或规律点拨考查的是实数与数轴及两点间的距离，熟知实数与数轴上的点是一、一对应关系是解答此题的关键．巩固练习1、（2019·湖南初二月考）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C所表示的数为．(1)请你直接写出的值；(2)求的平方根.【答案】(1)x=-1;(2)1.【解析】（1）∵点A、B分别表示1，，∴AB=-1，即x=-1；（2）∵x=-1，∴原式=(x−)2=(−1−)2＝1，∴1的立方根为1．2、（2019·绍兴市越城区马山中学初一期中）在数轴上表示下列各数，并回答问题：－2，|－2.5|，－，(－2)2.(1)将上面的几个数用“＜”连接起来；(2)求数轴上表示|－2.5|和－的这两点之间的距离．【答案】数轴详见解析；（1）－＜－2＜|－2.5|＜(－2)2；（2）5.5.【解析】解：各点在数轴上的位置如图所示：(1)－＜－2＜|－2.5|＜(－2)2.(2)|－2.5|－(－)＝2.5＋3＝5.5.故数轴上表示|－2.5|和－的这两点之间的距离为5.5.3、如图，数轴上表示1，2的对应点分别是A、B，点A关于B的对称点为C则C点表示的数是多少？【答案】2-2【解析】∵数轴上表示1，2的对应点分别为A、B，∴AB=2设B点关于点A的对称点为点C为x，则有2+x解可得x=2-2故点C所对应的数为2-2类型三：实数的估算典例：（2019·杭锦旗城镇初级中学初一期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．（3）已知x是3+的整数部分，y是其小数部分，直接写出x﹣y的值．【答案】（1）3；﹣3；（2）4；（3）x﹣y=7﹣．【解析】（1）∵3＜＜4，∴的整数部分是3，小数部分是﹣3；故答案为：3；﹣3．（2）∵2＜＜3，∴a=﹣2，∵6＜＜7，∴b=6，∴a+b﹣=﹣2+6﹣=4．（3）∵2＜＜3，∴5＜3+＜6，∴3+的整数部分为x=5，小数部分为y=3+﹣5=﹣2．则x﹣y=5﹣（﹣2）=5﹣+2=7﹣．方法或规律点拨本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的方法．巩固练习1、2019·益阳市第十七中学初一期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．(2)若，写出满足题意的x的整数值______．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．【答案】（1）2；6；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【解析】解：（1）∵22=4，62=36，72=49,∴6＜＜7，∴[]=[2]=2，[]=6，故答案为2，6；（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；（3）第一次：[]=10，第二次：[]=3，第三次：[]=1，故答案为3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．2、（2019·江苏初二期中）阅读理解∵在，即，∴.∴的整数部分为1，小数部分为.解决问题已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根.【答案】平方根为【解析】∵，即4<<5，∴1<-3<2，∴-3的整数部分为1，小数部分为-4，即a=1，b=-4，∴(-a)3+(b+4)2=-1+17=16，16的平方根是±4，即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.3、（2019·温州外国语学校初一期中）已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根．【答案】a+2b－c的平方根为.【解析】解：∵2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的平方根是±4，∴解得∵9<13<16，∴∴的整数部分是3，即c=3，∴原式6的平方根是4、（2019·扬州市梅岭中学初二期中）已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－9的立方根是2，c是的整数部分，求a＋b＋c的平方根．【答案】±3【解析】解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又∵2＜＜3，∴c=2，∴a+b+c=5+2+2=9，∴9的平方根为±3．类型四：与平方根、立方根相关求解问题典例：（2019·成都市新都区东湖初级中学初二期中）已知的平方根是,的平方根是,求的平方根.【答案】±4．【解析】解：∵2m+2的平方根是±4，∴2m+2=16，解得：m=7；∵3m+n+1的平方根是±5，∴3m+n+1=25，即21+n+1=25，解得：n=3，∴m+3n=7+3×3=16，∴m+3n的平方根为：±4．方法或规律点拨此类问题主要考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握其知识点与区别是解此题的关键.巩固练习1、（2019·河南初二期中）已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2，求a+b+c的平方根．【答案】±4．【解析】解：∵a+1的算术平方根是1，∴a+1=1，即a=0；∵﹣27的立方根是b﹣12，∴b﹣12=﹣3，即b=9；∵c﹣3的平方根是±2，∴c﹣3=4，即c=7；∴a+b+c=0+9+7=16，则a+b+c的平方根是±4．2、（2017·山东初一期中）已知2a－1的平方根是±3，3a－b＋2的算术平方根是4，求a＋3b的立方根．【答案】2.【解析】解∵2a-1的平方根是±3∴a=5∵3a-b+2的算术平方根是4，a=5∴b=1∴a＋3b=8∴a＋3b的立方根是2即(-a)3+(b+4)2的平方根是±4.3、（2019·青县第二中学初一期中）已知2a﹣1的平方根是±3，的算术平方根是b，求a+b的平方根．【答案】±3．【解析】∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，∴a＝5，∵的算术平方根是b，即16的算术平方根是b，∴b＝4，∴±±3．4、（2019·黑龙江桦南实验中学初一期末）我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；(2)若与互为相反数，求1－的值．【答案】（1）成立；（2）-1【解析】（1）8和-8的立方根分别为2和-2；2和-2互为相反数，则8和-8也互为相反数（举例符合题意即可），成立.（2）根据（1）的结论，1-2x+3x-5=0,解得：x=4,则=1-2=-1.故答案为-1.类型五：实数的实际应用典例：（2019·安徽初一期中）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)?【答案】（1）0.9h（2）9.7km【解析】解：(1)当d＝9时，则t2＝，因此t＝＝0.9.答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.(2)当t＝1时，则＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.方法或规律点拨此类问题首先要根据题意构造方程或算式，再根据平方根、立方根性质求解．巩固练习1、（2019·全国初一单元测试）一个底面半径为4cm的圆柱形玻璃杯装满水，杯的高度为cm，现将这杯水倒入一个正方体容器中，正好占正方体容器容积的，求这个正方体容器的棱长．(玻璃杯及正方体容器的厚度忽略不计，圆柱体积＝底面积×高)【答案】16cm【解析】设正方体容器的棱长为xcm，根据题意可得：π×42×＝x3，解得：x＝16，答：这个正方体容器的棱长为16cm.2、（2019·全国初一单元测试）解答下列应用题：⑴某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？⑵已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？【答案】（1）每块地砖的边长是0.4m；（2）需要铁皮4.86m2.【解析】（1）每块地砖的面积为17.6÷110＝0.16（㎡）所以正方形地砖的边长为答：每块地砖的边长是0.4m.（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为60³=216000（cm）³，所以第二个正方体水箱的体积为3216000+81000=729000（cm）³，所以第二个正方体水箱的棱长为=90（cm）³，所以需要铁皮.90=4.86m².3、（2019·全国初一单元测试）芳芳同学手中有一块长方形纸板和一块正方形纸板，其中长方形纸板的长为3dm，宽为2dm，且两块纸板的面积相等．(1)求正方形纸板的边长(结果保留根号)．(2)芳芳能否在长方形纸板上截出两个完整的，且面积分别为2dm2和3dm2的正方形纸板？判断并说明理由．(提示：≈1.414，≈1.732)【答案】（1）dm；（2）不能；【解析】解：(1)因为正方形纸板的面积与长方形纸板的面积相等，所以可得：正方形的边长为dm；(2)不能；因为两个正方形的边长的和约为3.1dm，可得：3.1＞3，所以不能在长方形纸板上截出两个完整的