第04讲 图形的轴对称、等腰三角形（2大考点5种解题方法）（原卷版）

第04讲图形的轴对称、等腰三角形（2大考点5种解题方法）考点考向考点考向一．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．三．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．四．轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．五．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．考点考点精讲一．轴对称的性质（共4小题）1．（2021秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（）A．9 B．10 C．11 D．122．（2021秋•临海市期末）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B＝度．3．（2021秋•温州校级期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点B关于直线AD的对称点B′落在AC的延长线上，若BC垂直平分AB′，则的值为（）A． B． C． D．24．（2021秋•椒江区校级期中）如图，A，B都在CD的上方，AC＝2，BD＝8，CD＝8，E为CD的中点，若∠AEB＝120°，则AB的最大值为．二．轴对称图形（共2小题）5．（2021秋•开化县期末）如图图案中，成轴对称图形的是（）A． B． C． D．6．（2021秋•湖州期末）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种三．作图-轴对称变换（共6小题）7．（2021秋•衢江区期末）如图，在△ABC中，点A（﹣3，1），B（﹣1，0）．（1）根据上述信息在图中画平面直角坐标系，并求出△ABC的面积；（2）在平面直角坐标系中，作出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1．8．（2021秋•东阳市期末）如图都是3×3的正方形网格，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点．（2）在图②中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，并写出符合条件的三角形共有个．9．（2021秋•开化县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上．（1）写出点A，B的坐标：A，B．．（2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．（3）求△ABC的面积．10．（2021秋•嵊州市期末）已知点A（2，3），点B与点A关于y轴对称，点C与点A关于x轴对称．（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC．（2）求线段BC的长．11．（2021秋•台州期末）如图，△ABC的顶点分别为A（1，3），B（4，5），C（1，5），先将△ABC以第一象限的角平分线所在直线为对称轴通过轴对称得到△A′B′C′，再将△A′B′C′以x轴为对称轴通过轴对称得到△A″B″C″．（1）画出△A″B″C″；（2）写出A″，B″，C″三点的坐标；（3）一般地，某一点P（x，y）经过这样的两次轴对称变换后得到的点P″的坐标为．12．（2021秋•余姚市期末）在平面直角坐标系中，已知△ABC的位置如图所示，（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点，不㝍画法）；（2）写出点A′，B′，C′的坐标．四．轴对称-最短路线问题（共5小题）13．（2021秋•余杭区月考）如图所示，点P为∠O内一定点，点A，B分别在∠O的两边上，若△PAB的周长最小，则∠O与∠APB的关系为（）A．2∠O＝∠APB B．∠O＝2∠APB C．∠O+∠APB＝180° D．2∠O+∠APB＝180°14．（2021春•郯城县期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．1 B．1.5 C． D．15．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，P为线段BC上一点，连结PA，PD．已知AB＝5，DC＝4，BC＝12，则AP+DP的最小值为．16．（2021秋•诸暨市期中）如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°17．（2021秋•义乌市期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）（2）最低费用为多少？五．等腰三角形的性质（共7小题）18．（2021秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF＝，则AB的长为（）A． B．2 C．4 D．619．（2021秋•台州期末）如图，已知AB＝AD，AE＝AC＝BC，∠1＝∠2，∠C＝40°，则∠ADE的度数为（）A．40° B．65° C．70° D．75°20．（2021秋•缙云县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝50°，求∠CDE的度数．21．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝28°，则∠CDE＝（）A．14° B．35° C．20° D．30°22．（2021秋•东阳市期末）若等腰三角形中有两边长分别为4和5，则这个三角形的周长为（）A．13 B．12 C．12或13 D．13或1423．（2021秋•长兴县期中）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2（n为正整数）．若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长．24．（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．巩固巩固提升一、单选题1．（2020·浙江绍兴市·）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2020·台州市书生中学八年级期中）下面选项中的四边形不是轴对称图形的是（）A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形3．（2020·浙江八年级期末）下列图形属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（2019·浙江宁波市·八年级期中）下列图形不是轴对称图形的是（）A．线段 B．等腰三角形 C．角 D．有一个内角为的直角三角形5．（2021·浙江）若等腰三角形的顶角为，则它腰上的高线与底边的夹角等于（）A． B． C． D．6．（2021·浙江八年级期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（）A． B． C． D．7．（2021·浙江八年级期末）在中，，若，则为（）A． B． C．或 D．8．（2021·浙江八年级期末）如图所示，是将长方形纸片沿折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（）对A．2 B．3 C．4 D．59．（2021·临海市外国语学校）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．65° D．70°10．（2021·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）八年级期末）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．11．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）如图，在△ABC纸片中，AB=9cm，BC=5cm，AC=7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为是（）A．9cm B．11cm C．12cm D．14cm二、填空题12．（2021·诸暨市滨江初级中学八年级期中）已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则周长为_____．13．（2021·浙江八年级期末）如图，在中，的中垂线交于点D，交于点E，如果的周长为22，那么的周长为_______．14．（2021·浙江）已知等腰的一个内角为，则的度数为________．15．（2020·浙江绍兴市·）将图1中纸片的A点以为折线往下折，A点恰好落在上，如图2所示，再分别以图2的为折线，将C，D两点往上折，使得A、B、C、D、E五点均在同一平面上，如图3所示，若图1中的，则图3中的度数____度．16．（2020·浙江八年级期末）如图，将正方形沿对折，使得与重合，得到折痕后展开点分别在边上，再沿折叠，使得点落到点．折痕与相交于点．若，则为________度．17．（2021·浙江八年级期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角的大小是_____18．（2021·浙江八年级期末）如图，在中，，点D在边上，关于直线，对称，的角平分线交边于点G、连接，当的值等于_______时，为等腰三角形．19．（2020·浙江杭州市·）给出如下三个图案，它们具有的公共特点是：________．（写出1个即可）20．（2020·浙江绍兴市·八年级月考）如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_____________．21．（2020·浙江金华市·）如图，在中，，，为边上的点，连接．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离