第16讲 锐角三角函数及相关概念（6大考点）（解析版）

第16讲锐角三角函数及相关概念（6大考点）考点考点考向一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.考点考点精讲一．锐角三角函数的定义（共6小题）1．（2022•常州一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是（）A． B． C． D．2【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得AB＝＝．由锐角的余弦，得cosB＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边．2．（2022•广陵区二模）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（）A． B． C． D．1【分析】连接AB，BC，即可证明△ABC是等腰直角三角形，根基同弧所对的圆周角相等即可求解．【解答】解：连接AB，BC．∵AC是直径．∴∠ABC＝90°，则△ABC是等腰直角三角形．∴∠C＝45°∴sin∠APB＝sinC＝sin45°＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦函数的定义，正确作出辅助线，把所求的角进行转化是解题的关键．3．（2022•天宁区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义得出cosB＝，再代入求出答案即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，所以cosB＝＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．4．（2021秋•海门市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sinA的值为（）A． B． C． D．【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴sinA＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．5．（2022•淮安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．【分析】利用锐角三角函数的定义可得＝，再代入AB的值可得BC的值；再利用勾股定理计算出AC的长，然后再利用正切定义计算即可．【解答】解：∵sin∠A＝，∴＝，∵AB＝15，∴BC＝9；∴AC＝＝12，∴tan∠B＝＝＝．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．6．（2022•广陵区一模）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°的值为BA．B．1C．D．2（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2．（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．【解答】解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故选B．（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为0＜sadA＜2．（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．在AB上取点D，使AD＝AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，则AD＝AC＝＝4k，又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．由正对的定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．二．锐角三角函数的增减性（共1小题）7．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A． B． C． D．1【分析】当PA⊥OA时，∠OPA取得最大值，在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，OP＝3，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，∠OPA最大”这一隐含条件．三．同角三角函数的关系（共3小题）8．（2022春•泰兴市校级月考）已知∠A是锐角，且cosA＝，则tanA＝．【分析】根据题意构造出直角三角形，根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵∠A为锐角，且cosA＝，以∠A为锐角作直角三角形△ABC，∠C＝90°．∴cosA＝＝．设AC＝5k，则AB＝13k．根据勾股定理可得：BC＝12k．∴tanA＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正切函数的定义，解答此题的关键是构造出直角三角形．9．（2022•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（）A． B． C． D．【分析】根据tanA＝求出第三边长的表达式，求出cosA即可．【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tanA＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cosA＝＝＝．故选：D．【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握勾股定理和锐角三角函数的定义．10．（2022•东海县一模）已知，则tanα＝．【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．【解答】解：如图，由于，可设BC＝5k，则AB＝13k，由勾股定理得，AC＝＝12k，∴tanα＝＝，故答案为：．【点评】本题考查同角三角函数的关系以及勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．四．互余两角三角函数的关系（共3小题）11．（2022•淮安区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据题意设AC＝5k，AB＝13k，然后利用勾股定理求出BC，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴＝，设AC＝5k，AB＝13k，∴BC＝＝＝12k，∴tanB＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．12．（2022•鼓楼区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，得∠B+∠A＝90°．cosB＝sinA＝，故选：B．【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．13．（2022•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为（）A． B． C． D．【分析】根据题意设BC＝4a，AC＝3a，然后利用勾股定理求出AB，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴tanA＝＝，设BC＝4a，AC＝3a，∴AB＝＝＝5a，∴sinB＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．五．特殊角的三角函数值（共7小题）14．（2022•常州二模）60°角的正切值为（）A． B． C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案．【解答】解：tan60°＝，故选：D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．15．（2022•亭湖区校级开学）已知sinα＝，那么锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】根据sin60°＝解答．【解答】解：∵sin60°＝，∴∠A＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．16．（2022•常州模拟）若cosθ＝，则锐角θ的度数是60°．【分析】直接根据特殊三角函数值即可得到答案．【解答】解：∵cosθ＝，∴θ＝60°．故答案为：60°．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．17．（2021秋•姜堰区期末）若2cos（α﹣15）°＝，则α＝45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵2cos（α﹣15）°＝，∴cos（α﹣15）°＝，∴α﹣15＝30，解得：α＝45．故答案为：45．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（2022•宜兴市校级二模）计算：（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；【解答】解：（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0＝2+﹣1＝；【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值。19．（2022•锡山区校级二模）（1）计算：+（﹣2022）0﹣4sin60°；【分析】（1）根据二次根式的化简，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可得出答案；【解答】解：（1）原式＝2+1﹣4×＝2+1﹣2＝1；【点评】本题考查了二次根式的化简与性质，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值。20．（2022•淮安区模拟）（1）已知2sin（A+13°）＝1．求锐角A的度数．（2）已知3tanα﹣＝0．求锐角α的度数．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答；（2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵2sin（A+13°）＝1，∴sin（A+13°）＝，∴A+13°＝30°，∴A＝17°，∴锐角A的度数为17°；（2）∵3tanα﹣＝0，∴tanα＝，∴α＝30°，∴锐角α的度数为30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．六．解直角三角形（共8小题）21．（2022•高新区校级三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（）A．5 B． C．3 D．【分析】延长BD交AC于点E，先证明△DCE≌△DCB，从而求出BE的长，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用线段的和差关系求出CE，利用勾股定理求出CD，最后求出∠CBD的正切．【解答】解：如图，延长BD交AC于点E．∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，∠DCE＝∠DCB．在△DCE和△DCB中，，∴△DCE≌△DCB（SAS）．∴BD＝ED＝1．∵∠ABD＝∠A，∴AE＝BE＝2．∵AC＝7，∴CE＝AC﹣AE＝5．∴CD＝＝＝2．∴tan∠CBD＝＝＝2．故选：B．【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．22．（2022•淮阴区模拟）如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．【分析】过点B作BC⊥AO于点C，根据勾股定理可求出AO＝2，BO＝2，设CO＝x，再由勾股定理可求出x的值，从而可∠AOB的正弦值．【解答】解：过点B作BC⊥AO于点C，∵AB＝2，∴由勾股定理可知：AO＝2，BO＝2，设CO＝x，∴（2）2﹣x2＝22﹣（2﹣x）2，∴8﹣x2＝4﹣（20﹣4x+x2），解得：x＝，∴cos∠AOB＝＝，∴sin∠AOB＝，故选：D．【点评】本题考查解三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．23．（2022•海陵区二模）已知△ABC为钝角三角形，其中∠A＞90°，有下列条件：①AB＝10；②AC＝；③tan∠B＝；④tan∠C＝；（1）你认为从中至少选择3个条件，可以求出BC边的长；（2）你选择的条件是①②④（直接填写序号），并写出求BC的解答过程．【分析】（1）根据解直角三角形的条件即可确定；（2）选择①②④，过点A作AD⊥BC于点D，根据tan∠C的值以及勾股定理可得AD和CD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进一步即可求出BC的长．【解答】解：（1）根据解直角三角形的条件可知，至少选择3个条件，可以求出BC边的长，故答案为：3；（2）选择①②④，BC＝20，理由如下：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：设AD＝x，∵tan∠C＝，∴CD＝2x，∵AC＝，根据勾股定理，得，解得x＝6或x＝﹣6（不合题意，舍去），∴AD＝6，CD＝2x＝12，∵AB＝10，根据勾股定理，得BD＝＝8，∴BC＝CD+BD＝12+8＝20．故答案为：①②④．【点评】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．24．（2022•泗洪县二模）（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．【分析】（1）过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，在Rt△BCD中，根据等腰直角三角形的性质得BD＝CD＝2，于是得到AB＝AD+BD＝2+2；（2）过C点作CD⊥AB于点D，在BD上取点E，使CE＝BE．解Rt△ACD，根据等腰直角三角形的性质得AD＝CD＝AC＝，解Rt△CDE，根据含30度的直角三角形三边的关系得DE＝CD＝，CE＝2CD＝，那么BE＝，于是得到AB的长．【解答】解：（1）如图甲，过C点作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，AC＝4，∠A＝30°，∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，在Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝2，∴AB＝AD+BD＝2+2；（2）如图乙，过C点作CD⊥AB于点D，在BD上取点E，使CE＝BE，∴∠BCE＝∠B＝15°，∴∠CED＝∠BCE+∠B＝30°．在Rt△ACD中，∠A＝45°，AC＝1，∴AD＝CD＝AC＝，在Rt△CDE中，∠CED＝30°，∴DE＝CD＝，CE＝2CD＝，∴BE＝CE＝，∴．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．25．（2022•扬州模拟）在△ABC中，∠C＝90°．（1）已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c．【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝30°，再利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答；（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝45°，再利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝×8＝4，a＝c•sin60＝8×＝12，∴∠B＝30°，a＝12，b＝4；（2）∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝90°﹣∠A＝45°，∴a＝b＝3，c＝＝＝a＝×3＝6，∴∠B＝45°，b＝3，c＝6．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根据圆周角定理可得，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根据三角形内角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代换可得∠CAO+∠CAD＝90°，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根据垂径定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根据正弦定理可得sinB＝＝＝，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE＝的长度，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，代入计算即可得出答案．【解答】证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵，∴，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sinB＝＝＝，∴CE＝，∴BE＝＝＝，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r﹣）2+，解得：r＝．【点评】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．27．（2022•锡山区校级二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，tan∠ABC＝，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（）A． B． C． D．【分析】由翻折可知：NC＝NE，所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点B，N，E共线时，如图所示：此时BE最大，由翻折可知：MN是CE的垂直平分线，延长GN交AB于点D，可得DN平分∠ANB，过点D作DH⊥BN，然后证明Rt△AND≌Rt△HND（HL），可得AN＝HN＝6，根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，由翻折可知：NC＝NE，所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点B，N，E共线时，如图所示：此时BE最大，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∵AB＝8，tan∠ABC＝＝，∴AC＝12，∵点N是边AC的中点，∴AN＝CN＝6，∴NE＝6，由翻折可知：MN是CE的垂直平分线，∴∠ENG＝∠CNG，延长GN交AB于点D，∴∠BND＝∠AND，∴DN平分∠ANB，∵DA⊥AN，过点D作DH⊥BN，∴DA＝DH，∴DB＝AB﹣AD＝8﹣DH，在Rt△AND和Rt△HND中，，∴Rt△AND≌Rt△HND（HL），∴AN＝HN＝6，在Rt△ABN中，AB＝8，AN＝6，∴BN＝10，∴BH＝BN﹣HN＝10﹣6＝4，在Rt△DBH中，DB＝8﹣DH，根据勾股定理得：DB2＝DH2+BH2，∴（8﹣DH）2＝DH2+42，解得DH＝3，在Rt△ADN中，DH＝DA＝3，AN＝6，根据勾股定理得：DN2＝AD2+AN2，∴DN2＝32+62＝45，∴DN＝3，∵∠A＝∠NGC＝90°，∠AND＝∠GNC，∴∠ADN＝∠NCG，∵sin∠ADN＝＝＝，∴sin∠NCG＝sin∠NCE＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．28．（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝60°．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．【分析】（1）根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答，根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠B＝60°；（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出关于x的方程即可解答．【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝ABcos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，故答案为：，60；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴＝，∴设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36，答：△ABC的周长为36．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·江苏泰兴·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理求出BC，再利用锐角三角函数求出结果即可．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，由勾股定理得，BC＝，所以sinA＝，故选C．【点睛】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．2．（2021·江苏溧阳·一模）如图，，点是边上一动点．连接，以为斜边，在的右上方作直角三角形，其中，，当点在的三边上运动一周时，点运动的路径长为（）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】如图，由题意，点在的三条边上运动一周时，点运动的轨迹是．利用相似三角形的性质求出，，即可解决问题．【详解】解：如图，由题意，点在的三条边上运动一周时，点运动的轨迹是．，，，，，，，，，，，同法可得，，，点运动的路径长，故选：．【点睛】本题考查轨迹，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹．3．（2021·江苏工业园区·二模）如图是墙壁上在l1，l2两条平行线间边长为a的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为a，则两条平行线间的距离为（）A．asinα B．asinα+acosαC．2acosα D．asinα﹣acosα【答案】B【分析】如图，过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，再证明△ABE≌△BCF，可得BE＝CF，再利用三角函数求解即可得到答案．【详解】解：如图，过B作EF⊥l1于点E，EF与l2交于点F，则EF⊥l2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，在Rt△BCF中，BF＝a•sinα，CF＝a•cosα，∴BE＝a•cosα，∴EF＝BE+BF＝asinα+acosα，即两条平行线间的距离为asinα+acosα，故选：B．【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握利用锐角三角函数求解三角形的边长是解题的关键．4．（2021·江苏·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=26，tanA＝，则AC的长为（）A．25 B．13 C．24 D．12【答案】C【分析】如图，由题意易得，然后根据三角函数可求解．【详解】解：如图，∵∠C=90°，tanA＝，∴，∵AB=26，∴；故选C．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．二、填空题5．（2019·江苏东台·九年级月考）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上则tanA的值为______．【答案】【分析】连接BD，找到∠BAC所在的直角三角形，利用勾股定理求出BD及AB的长，求得∠BAC的对比与邻边之比即可．【详解】解：连接BD，则△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，∵BD=，AB=，∴tan∠BAD=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是找到直角三角形ABD．6．（2021·江苏姑苏·一模）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为___．【答案】2．【分析】利用勾股定理根据格点先计算AB、AC，利用三角形的面积计算CD的值，最后计算∠A的正切值．【详解】解：如图，由格点知：AB＝＝3，AC＝＝．∵S△ABC＝•BC•AE＝×4×3＝6，S△ABC＝•AB•CD＝×3CD＝，∴＝6，∴CD＝2．∴AD＝．∴tanA＝＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积和直角三角形的边角间关系，掌握勾股定理和直角三角形的面积是解决本题的关键．7．（2021·江苏滨湖·一模）在△ABC中，，，，则△ABC的面积是____．【答案】．【分析】过作于，根据中，，，，可求得，再根据，可求得答案．【详解】解：过作于，如图所示：在中，，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正切值，三角形的面积计算等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．8．（2021·江苏金坛·一模）如图，在中，为边的中点，连接．若，则_______．【答案】【分析】由题意可知CD为直角三角形ABC斜边AB上的中线即可求出AB，再利用锐角三角函数即可求出cosB的值．【详解】解：由题易知：△ABC为直角三角形，且CD为斜边上的中线，CD=3∴AB=2CD=2×3=6，在Rt△ABC中，，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握直线三角形斜边上中线的特点以及锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．9．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为___．【答案】2【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示AC、BC即可求出答案．【详解】解：过点D作，交CB的延长线于点M，∵，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴，∵AB＝2BD，∴，在中，由于，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵，∴BC＝2k，AC＝4k，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．10．（2021·江苏阜宁·九年级期末）中，，，则__．【答案】【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出的值．【详解】解：如图，等腰中，，，过作于，则，在中，，，则，，故．故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．11．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图，中，的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，那么______．【答案】【分析】先证明△BCD为直角三角形，再运用三角函数定义求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC=2，∠AED=90°，∵∠A=45°,∴∠ACD=45°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴，∴AB=，∴tan∠BCD=，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质、三角形的外角性质和正切函数的定义是解题关键．12．（2021·江苏泰兴·九年级期末）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为________．【答案】3或【分析】过A作AD⊥BC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案．【详解】解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝．在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝，∴∴BC＝BD+DC＝；如图2，同理可得，AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝，，∴BC＝BD﹣DC＝．综上所述，BC的长为或；故答案为：3或．【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.13．（2021·江苏·镇江市外国语学校九年级月考）已知，且，则的值为___．【答案】【分析】首先证明，把已知条件两边都乘以2，然后再根据，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出与的取值范围，从而得到，然后开方即可得解．【详解】解：如图，△ABC中，∠C=90°，，，而，，即，，，，即，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好，并求出是解题的关键．三、解答题14．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入化简即可；（2）分别计算，再依次相加减即可．【详解】解：（1）原式==；（2）原式===．【点睛本题考查特殊角三角函数的混合运算，实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．注意化简绝对值时先将绝对值化为普通括号后再去括号不易出错．15．（2021·江苏姑苏·九年级期中）计算：|﹣1|+sin45°﹣+tan260°．【答案】【分析】本题涉及绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：|﹣1|+sin45°﹣+tan260°．【点睛】本题考查了实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、乘方、二次根式化简等考点的运算．16．（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）计算：3sin30°•cos60°﹣tan230°．【答案】【分析把特殊角的三角函数值代入计算可得答案．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题关键．17．（2021·江苏惠山·九年级期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【答案】（1）20m；（2）21.6m【分析】（1）由AB⊥BC，AC的坡度i，由BC长度求AB长度即可；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则EF＝EN+MN+MF=EN+CD+BC，【详解】（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，CB=10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）如图，作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC、MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，在Rt△END中，tan∠EDN＝，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，弄清坡度的概念，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形是解决本题的关键．18．（2021·江苏·常州外国语学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，请在图中y轴右侧画出△A1B1C1；（2）点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出点P位似变换后的对应点P'的坐标为；（3）△ABC的外接圆圆心坐标为，△ABC的外接圆半径为；（4）请直接写出∠C1A1B1的正切值为．【答案】（1）见解析；（2）（a，b）；（3）（0，-2），；（4）．【分析】（1）根据题意，以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，在图中y轴右侧画出△A1B1C1即可；（2）由△ABC与△A1B1C1的位似比为可知，点P（a，b）的对应点P'的坐标为P'（a，b）；（3）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，画线段AB、BC的中垂线，交点即是外接圆圆心D（0，-2），线段DB的长即是外接圆的半径，利用勾股定理即可求解；（4）连接DC，根据相似三角形对应角相等得到∠C1A1B1=∠CAB，再由圆周角定理可解得tan∠CAB=tan∠EDB，据此解题．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；（2）由△ABC与△A1B1C1的位似比为可知，点P（a，b）的对应点P'的坐标为P'（a，b）；故答案为：（a，b）；（3）如图，作线段AB与BC的中垂线相交于点D，交于点D（0，-2），连接DB，由勾股定理得，故答案为：（0，-2），；（4）连接DC，△ABC与△A1B1C1是位似图形，，故答案为：．【点睛】本题考查作图—作位似图、位似三角形的性质、正切、勾股定理、外接圆等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．19．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层．某数学小组欲测此上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案．具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角，光路长，光路被写字楼楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路恰好可以到达上海中心大厦楼顶（视为点C）．已知写字楼与上海中心大厦的直线距离为（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线．（所有结果保留整数，参考数据：，，）．（1）求写字楼的高度．（2）求上海中心大厦的楼高．【答案】（1）200m；（2）632m．【分析】（1）过点B作BD⊥CM于点D，根据题意判断四边形BDMN是矩形，得到∠ABD＝α＝37°，结合反射角=入射角得到∠CBD＝∠ABD＝37°，最后在Rt△ANB中利用正弦定义可得BN的长；（2）在Rt△BDC中，由正切的定义解得CD的长，进而可得上海中心大厦的高度CM．【详解】解：（1）如图所示，过点B作BD⊥CM于点D，∵BD⊥CM，CM⊥MN，BN⊥MN，∴∠BDM＝∠CMN＝∠BNM＝90°，∴四边形BDMN是矩形，∴BN＝DM，BD＝MN＝576m，BD//MN，∴∠ABD＝α＝37°，由物理知识，反射角=入射角得：∠CBD＝∠ABD＝37°，在Rt△ANB中，，m，答：写字楼的高度约200m．（2）由（1）得m，在Rt△BDC中，，m，∴CM＝DM＋CD＝432＋200＝632m，答：上海中心大厦的楼高CM是632m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，涉及正切、正弦等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．20．（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学九年级月考）如图将绕斜边中点O旋转一定的角度得到，已知，则______．【答案】【分析】连接OC、CE，作CH⊥AB于H，OM⊥CE于M，证明A、E、C、B、F共圆，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一性质证得∠CAE=∠COM，利用勾股定理和等面积法求得AB、CH，证明AB∥CE得到OM=CH，解直角三角形即可求解．【详解】解：如图，连接OC、CE，作CH⊥AB于H，OM⊥CE于M，∵绕斜边中点O旋转一定的角度得到，∴OA=OB=OC=OE=OF，BC=AE，∴A、E、C、B、F共圆，∴∠CAE=∠COE，∵OE=OC，OM⊥CE，∴∠COM=∠COE，∴∠CAE=∠COM，∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°，∴，即OC=5，∵CH⊥AB，∴，∵BC=AE，∴∠BAC=∠ECA，∴AB∥CE，∴OM=CH=，在Rt△COM中，cos∠COM==，∴cos∠CAE=cos∠COM=，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质、圆的有关定义、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定、平行线间的距离相等、余弦等知识，解答的关键是证明共圆解决问题．21．（2021·江苏兴化·二模）如图，一次函数的图像与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴相交于点，的外接圆的圆心为点．（1）求点的坐标，并求的大小；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）先将点代入一次函数的解析式可求出的值，再求出时，的值，由此即可得出点的坐标，然后根据勾股定理求出的长，最后根据特殊角的正切值即可得的大小；（2）如图（见解析），先根据直角三角形外接圆的性质可得圆心点的位置，从而可得的半径的长，再根据圆周角定理可得的度数，然后根据扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，解得，则一次函数的解析式为，当时，，即点的坐标为；，，在中，，；（2）点为的外接圆的圆心，点为斜边的中点，如图，连接，则，又点为斜边的中点，，，，由圆周角定理得：，，则图中阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、正切、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），正确确定圆心的位置，从而得出的半径长是解题关键．22．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了t秒．（1）当t＝2秒时，则点N的坐标；（直接写出答案）（2）当△APM的面积为时，求t的值；（3）是否存在t的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（4，8）；（2）1秒或5秒；（3）存在，t＝3秒或t＝【分析】（1）由A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）可以求出OA＝6，AB＝8，BC＝6，由矩形的性质来求点N的坐标；（2）根据三角形的面积公式可以得出S△MPA＝AM•EP建立方程求出其解即可；（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出t，则存在；否则不存在．【详解】解：（1）如图，∵平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8），∴OC＝AB＝8，OA＝BC＝6，BC∥AO．又点N的运动速度是每秒1个单位，∴当t＝2时，CN＝6﹣2＝4，则N（4，8）．故答案是：（4，8）．（2）如图，延长NP交OA于点E，∵NP⊥BC，∴NP⊥OA．∵tan∠OAC＝tan∠EAP，∴＝，即＝，∴PE＝AE．∵AM＝6﹣t，PE＝AE＝BN＝t，∴，∴t1＝1；t2＝5，综上所述，当△APM的面积为时，t的值是1秒或5秒；（3）存在．理由如下：在△ACB中，PN∥AB，则＝，即，解得AP＝t，又∵AM＝6﹣t，则有：①△AMP∽△AOC时，＝，即＝，解得t＝3秒；②△APM∽△AOC时，＝，即＝，解得t＝秒，综上所述，当t＝3秒或t＝秒时，以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似．【点睛】本题考查了动点问题与相似三角形的性质，根据题意，逐步解答，充分利用前一问题的结论是解题的关键，同时要注意分类讨论．23