第05讲 等腰三角形的性质与判定(2大考点14种解题方法)(原卷版)_第1页
第05讲 等腰三角形的性质与判定(2大考点14种解题方法)(原卷版)_第2页
第05讲 等腰三角形的性质与判定(2大考点14种解题方法)(原卷版)_第3页
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第05讲等腰三角形的性质与判定(2大考点14种解题方法)考点考点考向一.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论.二.尺规作图:已知底边和底边上的高已知线段a,h(如图)用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h.作法:1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三.等腰三角形的判定:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.【简称:等角对等边】说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.四.等边三角形的性质:(1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形.①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法;②可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中,腰和底、顶角和底角是相对而言的.(2)等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.五.等边三角形的判定:(1)由定义判定:三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.说明:在证明一个三角形是等边三角形时,若已知或能求得三边相等则用定义来判定;若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明;若已知等腰三角形且有一个角为60°,则用判定定理2来证明.考点考点精讲考点一:等腰三角形的性质定理题型一:等腰三角形的性质的判定一、单选题1.(2022·重庆忠县·八年级期末)如图,已知,,点为的中点,于点,于点,连接、.张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论:①;②;③平分;④平分.其中正确的个数有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题2.(2022·广东东莞·八年级期末)在等腰三角形ABC中,∠A=3∠B,则∠C的度数为___________.3.(2022·重庆忠县·八年级期末)如图,在中,,,平分,交的延长线于点,若,则________.三、解答题4.(2022·北京海淀·八年级期末)如图,△ABC中,∠B=∠C,点D、E在边BC上,且AD=AE,求证:BE=CD.5.(2021·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中)已知在直角三角形ABC中,,AD平分.(1)如图1,若,求的度数;(2)如图2,点E在AB上,连接CE交AD于F,若,求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,点M在AB上,连接CM交AD于G,过点G作于N,交CF于H,,,,求的面积.6.(2021·广东东莞·八年级阶段练习)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB上的高,AF为∠BAC的角平分线,AF交CD于点E,交BC于点F.(1)如图1,①∠ACD∠B(选填“<,=,>”中的一个)②如图1,求证:CE=CF;(2)如图1,作EG∥AB交BC于点G,若AD=a,△EFG为等腰三角形,求AC(含a的代数式表示);(3)如图2,过BC上一点M,作MN⊥AB于点N,使得MN=ED,探索BM与CF的数量关系.7.(2022·陕西安康·八年级期末)(1)如图1,与均是顶角为的等腰三角形,,,则与的数量关系为____________.(2)如图2,和均为等腰直角三角形,,点A,D,E在同一直线上,为中边上的高,连接.①求的度数;②证明:8.(2022·陕西咸阳·八年级期中)如图,在中,,是边上的中线,的垂直平分线分别交、于点、,连接,.(1)求证:点在的垂直平分线上;(2)若,求的度数.题型二:等边三角形的性质一、单选题1.(2022·河南洛阳·八年级期末)所谓全等图形是能够完全重合的图形.下列哪些不是全等图形()A.两条射线 B.两条直线C.两个等边三角形 D.两条长度相等的线段2.(2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习)如图所示,△ABC为等边三角形,AD⊥BC,AE=AD,则∠ADE=(

)A. B. C. D.二、填空题3.(2022·全国·八年级课时练习)如图,直线两两相交于点A,B,C,是等边三角形,点D是直线上一动点,连接,过点D作//交直线于点E,当时,则___________.三、解答题4.(2022·河南省实验中学八年级开学考试)如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE.(1)求证:AEBC;(2)点D在AB的延长线上,仍以CD为边作等边三角形CDE,使得E、A在直线DC的两侧,那么AE和BC还平行吗?画图证明你的判断.5.(2021·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习)已知△ABC为等边三角形,D为AB边所在的直线上的动点,连接DC,以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF(点E在DC的右侧或上侧,点F在DC左侧或下侧),连接AE、BF(1)如图1,若点D在AB边上,请你通过观察,测量,猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?并证明你的结论;(2)如图2,若点D在AB的延长线上,其他条件不变,线段AE、BF和AB有怎样的数量关系?请直接写出结论(不需要证明);(3)若点D在AB的反向延长线上,其他条件不变,请在图3中画出图形,探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系,并直接写出结论(不需要证明)6.(2021·福建·莆田第七中学八年级期中)(1)〖问题背景〗如图1,B、E、M三点共线,∠DEF=∠B=∠M,DE=EF,求证:△DBE≌△EMF;(2)〖变式运用〗如图2,B、E、C三点共线,△DEF为等边三角形,∠B=60°,∠C=30°,求证:EC=BD+BE.

7.(2022·山东·北辛中学八年级阶段练习)如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.(1)求证:AE=BD;(2)求证:MNAB.(3)设AE和DB的交点为F,连FC,求证:FC平分∠AFB.考点二:等腰三角形的判定定理题型三:格点图中的等腰三角形一、单选题1.(2022·山东菏泽·八年级期末)在正方形网格中,网格线的交点称为格点.如图,已知,是两格点,如果点也是格点,且使得是以为腰的等腰三角形,那么点的个数有(

)A.个 B.个 C.个 D.个二、解答题2.(2021·浙江温州·八年级期中)如图,在所给的6×6方格中,点A,B,P都在小方格的格点上,按下列要求画图,所画的点都必须落在方格纸的格点上.(1)请画出两个等腰直角三角形ABC,使点P在△ABC内部(分别在图1、2中画出示意图,不能重复).(2)请画一个等腰三角形ABC,使点P落在△ABC的对称轴上(在图3中画出示意图).3.(2021·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级期中)如图,是由边长为1的小正方形拼成的3×3网格.(1)在图1中,找格点C、D,使得CD⊥AB(找出一条即可);(2)在图2中,找格点P使得△PAB为等腰三角形(标记出所有符合条件的P点)4.(2021·浙江·杭州市十三中教育集团(总校)八年级期中)如图,在下列网格中,每个小正方形的边长均为一个单位,小正方形的顶点称为网格的格点.(1)图1为8×6网格,点A,点B在格点上,在网格中画出以一个以AB为一边,点C在格点上,面积为9的等腰ACB,此时∠ABC=.(2)图2为5×3网格,点A,点B在格点上,在网格中找出所有的点C,使得ABC为等腰三角形,点C在格点上.(在找到的点上标上点C1,C2,C3…)5.(2022·江苏盐城·八年级期中)勤于思考的小明同学提出如下问题:如图,不用尺规作图,利用正方形网格线画出∠ABC的角平分线(点A、B、C都在格点上).请你帮助小明画出角平分线并说明理由.题型四:找出图中的等腰三角形一、单选题1.(2021·湖北·荆州市荆南中学八年级期中)如图,AD=BC,AB=AC=BD,∠C=72°,则图中一共有()个等腰三角形.A.3 B.4 C.5 D.62.(2021·广东惠州·八年级期末)如图,中,,,动点P在斜边AB所在的直线m上运动,连结PC,那点P在直线m上运动时,能使图中出现等腰三角形的点P的位置有(

)A.6个 B.5个 C.4个 D.3个二、填空题3.(2022·宁夏·吴忠市第二中学八年级期末)如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,请写出图中有哪些等腰三角形__.4.(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,2),在y轴确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P有____个.三、解答题5.(2021·全国·八年级专题练习)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠1=∠2,DB=DC.(1)求证:AB+BE=CD.(2)若AD=BC,在不添加任何补助线的条件下,直接写出图中所有的等腰三角形.6.(2021·全国·八年级课时练习)如图,.分别计算的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.7.(2021·湖北武汉·八年级期末)已知,如图,在ABC中,AB=AC,D,E分别在CA,BA的延长线上,且BE=CD,连BD,CE.(1)求证:∠D=∠E;(2)若∠BAC=108°,∠D=36o,则图中共有个等腰三角形.题型五:根据等角对等边证明等腰三角形一、单选题1.(2022·陕西渭南·八年级期中)下列条件能判定为等腰三角形的是(

)A., B.,,C., D.2.(2022·四川广元·八年级期末)如图,在△ABC中,,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,且.下列四个结论:①;②;③;④△AEC是等腰直角三角形.你认为正确的序号是(

)A.②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④二、解答题3.(2022·江苏无锡·八年级期末)如图,在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD(1)求证:△ABD≌△ACD;(2)过点D作DE∥AC交AB于点E,求证:AE=DE.4.(2022·河南南阳·八年级期末)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD是∠ABC的平分线,BD=BE.求证:(1)△CED是等腰三角形;(2)BD+AD=BC.5.(2022·湖南永州·八年级期末)如图,已知,(1)求证:;(2)若平分,求证:是等腰三角形.6.(2022·江苏·八年级课时练习)如图,E为的外角平分线上的一点,AE//BC,.(1)求证:是等腰三角形;(2)若,求CE的长.题型六:根据等角对等边证明边相等一、单选题1.(2022·广西贵港·八年级期末)如图,是的角平分线,交BC于点E,垂足为F,连接DE.若,,则的度数为()A.75° B.80° C.85° D.90°2.(2021·湖北咸宁·八年级期中)如图,在等边三角形ABC中,D,E分别为AC,BC边上的点,AD=CE,连接AE,BD交于点F,∠CBD,∠AEC的平分线交于AC边上的点G,BG与AE交于点H,连接FG.有下列结论:①△ABD≌△CBG;②∠BGE=30°;③∠ABG=∠BGF;④AB=AH+FG.其中,正确的结论个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题3.(2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级阶段练习)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在边AC、BC上,且∠CDE=∠B,将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的F点,若CD=4,CE=3,DE=5,则AB的长为_____________.4.(2022·湖南·华容县教育科学研究室八年级期末)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,以下五个结论:①AD=BE;②PQ//AE;③连接CO,则OC平分∠AOE;④DE=DP;⑤△CPQ为等边三角形.恒成立的结论有___________________(把你认为正确的序号都填上).三、解答题5.(2022·江西鹰潭·八年级期中)如图,将直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2个单位得到直角梯形EFGH,已知BC=6,∠A=90°,∠C=45°,求阴影部分的面积.6.(2022·山东菏泽·八年级期末)已知:如图,在中,,点D、E分别在边AC、AB上,且,BD与CE相交于点O.求证:.7.(2022·全国·八年级专题练习)如图,AD,BC相交于点O,∠OAB=∠OBA,∠C=∠D=90°.求证:△AOC≌△BOD.8.(2022·江苏·八年级课时练习)如图,在中,,于点D,于点E.AD交B于点F,点G为BC边的中点,作交直线FG于点H.(1)如图1,当,时,______,______.(2)如图2,当时,试探索AF与BH的数量关系,并证明.(3)如图3,当时,(2)中AF与BH的数量关系______成立(填“仍然”或“不再”).请说明理由.9.(2022·贵州铜仁·八年级期末)如图,在等边中,点E在上,点D在的延长线上.(1)如图1,,求证:;(2)如图2,若E为上异于A、C的任一点,,(1)中结论是否仍然成立?为什么?题型七:根据等角对等边求边长一、单选题1.(2022·湖南衡阳·八年级期末)如图,在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC点E,若AB=9,AC=7,则△ADE的周长为(

)A.13 B.14 C.15 D.16二、填空题2.(2022·吉林长春·八年级期末)如图,在△ABC中,∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D,过点D作DE∥BC交AB于E,交AC于G,若EG=2,且GC=6,则BE长为_________.3.(2022·辽宁本溪·八年级期末)如图,一艘船从处出发向正北航行50海里到达处,分别从,望灯塔,测得,,则处到灯塔的距离是__________海里.4.(2022·全国·八年级)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DEAB,交BC于点E,BE=2,则DE的长是___.三、解答题5.(2022·福建·厦门双十中学八年级期末)如图,为的角平分线.(1)如图1,若于点,交于点,,.则_______;(2)如图2,于点,连接,若的面积是6,求的面积;(3)如图3,若,,,则的长为_______.(用含的式子表示)6.(2022·吉林延边·八年级期末)如图,灯塔B在灯塔A的正东方向,且.灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向,灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向.(1)求的度数;(2)一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶,5h后到达C地,求轮船的速度.题型八:直线上与已知两点组成等腰三角形的点一、单选题1.(2021·全国·八年级专题练习)如图,有一种电子游戏,其规则为:电子屏幕上有一正方形,点P沿直线从右往左移动,当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时,就会发出警报,则直线上会发出警报的点P有(

)A.7个 B.8个 C.9个 D.10个2.(2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末)如图,点A、B在直线l的同侧,点C在直线l上,且是等腰三角形.符合条件的点C有(

)A.5 B.4 C.3 D.23.(2021·全国·八年级专题练习)如图,是某生产线的横截面示意图,MN表示长度为20米的笔直传送带,在MN的中点正上方3米处,有一个专用消毒喷头,(喷头大小、长度均忽略不计),喷头位置用点p表示,此时MN上有一个边长为2米的正方形盒子ABCD,则在盒子随传送带从点M移动到点N的过程中,以C、D、P三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有(

)A.5个 B.4个 C.3个 D.2个4.(2022·江苏·八年级课时练习)如图,四边形ABCD是正方形,M、N分别为边AB、AD的中点,点P在正方形的边上(包括顶点),且△MNP是等腰三角形,则符合条件的点P的个数有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.(2022·福建三明·八年级期中)如图,已知点A,B的坐标分别为和,在坐标轴上确定一点C,使是等腰三角形,则符合条件的C点共有(

)个A.4 B.6 C.8 D.10二、解答题6.(2021·辽宁大连·八年级期末)图,在平面直角坐标系中,点A(4,4),点B(0,2),连接AB,AO.(1)坐标系中有点C,使得△COB≌△AOB;①在坐标系中画出△BOC;②点C坐标为;(2)若x轴上有点D,使得△ABD是以AB为腰的等腰三角形,则点D的坐标为(写出一个结果即可).7.(2020·山东临沂·八年级期中)如图,点是等边内一点,,.以为一边作等边三角形,连接、.(1)求证:;(2)求的度数;(3)当为多少度时,是等腰三角形?8.(2020·浙江·杭州采荷实验学校八年级期中)如图,在中,,,动点P从C出发,按照的路径运动,且速度为4cm/s,设出发时间为.(1)BC边上的高为________;AB边上的高为________.(2)当时,求t的值;(3)若是等腰三角形,求出满足条件t的值.题型九:求与图形中任意两点构成等腰三角形的点一、单选题1.(2022·全国·八年级)如图,在平面直角坐标系中,点,分别在轴和轴上,,在坐标轴上找一点,使得是等腰三角形,则符合条件的点的个数是(

)A. B. C. D.二、填空题2.(2022·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末)已知:如图中,,,在射线上找一点,使为等腰三角形,则的度数为__________.3.(2022·山东聊城·八年级期中)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.4.(2022·宁夏·银川市第三中学八年级期末)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格格点上.(1)作出△ABC关于y轴对称的△A’B’C’;(2)若点D在图中所给的网格中的格点上,且以A、B、D为顶点的三角形为等腰直角三角形,请直接写出点D的坐标.5.(2022·全国·八年级专题练习)已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,用两种不同的分割方法画出来.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)题型十:作等腰三角形一、解答题1.(2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中)已知,线段,求作:等腰,使得顶角,上的高为.2.(2022·陕西西安·八年级期末)如图,M为△ABC的边AC上一点,请用尺规作图,在边BC上找到一点N,使得△MNB是以BM为底边的等腰三角形(保留作图痕迹,不写作法),3.(2022·福建龙岩·八年级期末)如图,在中,,射线.(1)在线段上取一点,使得,在射线上确定一点,使是以为底边的等腰三角形(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,连接,求证:.4.(2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中)已知:线段a.请利用尺规作图求作:等腰△ABC,使AB=AC,BC=a,BC边上的高为2a.(不写作法,保留作图痕迹)5.(2022·山东菏泽·八年级期中)已知:中,边上一点D.求作:等腰,使为等腰的底边,且点P到、两边的距离相等.(保留作图痕迹,不必写作法)6.(2022·山西晋中·八年级期中)图,在△ABC中,.(1)尺规作图:过点A作,点D为垂足,在线段CD上取一点E,使得,连接AE;(不写作法,保留作图痕迹)(2)若在(1)中恰好.求证:点E在线段AC的垂直平分线上.7.(2022·陕西·无八年级期末)如图,在中,,,请用尺规作图法在AC边上确定一点P,连接BP,使BP将分割成两个等腰三角形.(不写作法,保留作图痕迹)题型十一:等腰三角形的性质和判定一、填空题1.(2022·全国·八年级专题练习)如图,△ABC中,∠ABC=2∠C,AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线,若△ABQ的周长为20,BP=4,则AB的长为__________.二、解答题2.(2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,EP是AB边的垂直平分线,FQ是AC边的垂直平分线,连接AE,AF,若AB=12,求EF的长.3.(2022·辽宁大连·八年级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E在BC上,BD⊥AE于点D,F为BC中点.(1)在图中找出与∠ABD相等的角,并证明;(2)求证:DF平分∠BDE.4.(2022·湖南·常德市第二中学八年级期中)如图,在中,,,为延长线上一点,点在上,且.(1)求证:≌;(2)若,求的度数.5.(2022·广西·兴安县第三中学八年级期中)如图,在中,的平分线交于点,.求证:是等腰三角形.6.(2022·福建·莆田哲理中学八年级期末)如图1,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E分别是AC和BC上的动点,BD⊥AE,垂足为F.(1)求证∠CAE=∠ABD;(2)连接DE,满足∠AEB=∠DEC,求证:BD=DE+AE;(3)点G在BD的延长线上,连接EG,满足∠AEB=∠GEC,试写出AE,EG,BG之间的数量关系,并证明.题型十二:三角形边角的不等关系一、单选题1.(2022·贵州遵义·八年级期末)已知锐角,如图.(1)在射线OM上取一点A,以点O为圆心,OA长为半径作弧DE,交射线ON于点B,连接AB;(2)以点B为圆心,AB长为半径作弧,交弧DE于点C;(3)连接BC,AC.作射线OC.根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是(

)A. B.若,则C.OB垂直平分AC D.2.(2022·福建·厦门一中八年级期中)如图,点A的坐标是(1,1),若点B在x轴上,且△ABO是等腰三角形,则点B的坐标不可能是()A.(2,0) B.(,0) C.(-,0) D.(1,0)3.(2021·山东·潍坊市潍城区乐埠山生态经济发展区中学八年级阶段练习)如图,在ABC中,∠C=90°,点D为BC上一点,DE⊥AB于E,并且DE=DC,F为AC上一点,则下列结论中正确的是()A.DE=DF B.BD=FD C.∠1=∠2 D.AB=AC4.(2021·河北沧州·八年级期末)如图,中,垂直平分,点P为直线上的任一点,则周长的最小值是(

)A.10 B.14 C.15 D.19题型十三:等边三角形的判定一、单选题1.(2022·陕西宝鸡·八年级期末)下列命题是假命题的是(

)A.到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上B.两边分别相等的两个直角三角形全等C.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形D.三角形三条角平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等2.(2022·山东枣庄·八年级期中)下列说法错误的是(

)A.有两个角为60°的三角形是等边三角形 B.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合二、解答题3.(2022·江西景德镇·八年级期中)如图,已知线段AB、DE相交于点O,,DE经过适当平移至AC的位置.连接CE、BC.(1)由“DE平移至AC”:①根据平移距离相等可得______(填相等的线

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