第05讲 等腰三角形的性质与判定（2大考点14种解题方法）（原卷版）VIP

第05讲等腰三角形的性质与判定（2大考点14种解题方法）考点考点考向一.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.三.等腰三角形的判定：判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．四.等边三角形的性质：（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．五.等边三角形的判定：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．考点考点精讲考点一：等腰三角形的性质定理题型一：等腰三角形的性质的判定一、单选题1．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、．张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题2．（2022·广东东莞·八年级期末）在等腰三角形ABC中，∠A＝3∠B，则∠C的度数为___________.3．（2022·重庆忠县·八年级期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则________．三、解答题4．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在边BC上，且AD＝AE，求证：BE＝CD．5．（2021·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）已知在直角三角形ABC中，，AD平分．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，点E在AB上，连接CE交AD于F，若，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点M在AB上，连接CM交AD于G，过点G作于N，交CF于H，，，，求的面积．6．（2021·广东东莞·八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，AF为∠BAC的角平分线，AF交CD于点E,交BC于点F.(1)如图1，①∠ACD∠B（选填“<，=，>”中的一个）②如图1，求证：CE=CF；(2)如图1，作EG∥AB交BC于点G,若AD=a,△EFG为等腰三角形，求AC（含a的代数式表示）；(3)如图2，过BC上一点M，作MN⊥AB于点N，使得MN=ED，探索BM与CF的数量关系．7．（2022·陕西安康·八年级期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，，，则与的数量关系为____________．（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接．①求的度数；②证明：8．（2022·陕西咸阳·八年级期中）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、于点、，连接，．(1)求证：点在的垂直平分线上；(2)若，求的度数．题型二：等边三角形的性质一、单选题1．（2022·河南洛阳·八年级期末）所谓全等图形是能够完全重合的图形．下列哪些不是全等图形（）A．两条射线 B．两条直线C．两个等边三角形 D．两条长度相等的线段2．（2022·云南省楚雄天人中学八年级阶段练习）如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE=（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线两两相交于点A，B，C，是等边三角形，点D是直线上一动点，连接，过点D作//交直线于点E，当时，则___________．三、解答题4．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．(1)求证：AEBC；(2)点D在AB的延长线上，仍以CD为边作等边三角形CDE，使得E、A在直线DC的两侧，那么AE和BC还平行吗？画图证明你的判断．5．（2021·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF(1)如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；(3)若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）6．（2021·福建·莆田第七中学八年级期中）（1）〖问题背景〗如图1，B、E、M三点共线，∠DEF＝∠B＝∠M，DE＝EF，求证：△DBE≌△EMF；（2）〖变式运用〗如图2，B、E、C三点共线，△DEF为等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°，求证：EC＝BD＋BE.

7．（2022·山东·北辛中学八年级阶段练习）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．(1)求证：AE＝BD；(2)求证：MNAB．(3)设AE和DB的交点为F，连FC，求证：FC平分∠AFB．考点二：等腰三角形的判定定理题型三：格点图中的等腰三角形一、单选题1．（2022·山东菏泽·八年级期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、解答题2．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，在所给的6×6方格中，点A，B，P都在小方格的格点上，按下列要求画图，所画的点都必须落在方格纸的格点上．（1）请画出两个等腰直角三角形ABC，使点P在△ABC内部（分别在图1、2中画出示意图，不能重复）．（2）请画一个等腰三角形ABC，使点P落在△ABC的对称轴上（在图3中画出示意图）．3．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校八年级期中）如图，是由边长为1的小正方形拼成的3×3网格．（1）在图1中，找格点C、D，使得CD⊥AB（找出一条即可）；（2）在图2中，找格点P使得△PAB为等腰三角形（标记出所有符合条件的P点）4．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图，在下列网格中，每个小正方形的边长均为一个单位，小正方形的顶点称为网格的格点．（1）图1为8×6网格，点A，点B在格点上，在网格中画出以一个以AB为一边，点C在格点上，面积为9的等腰ACB，此时∠ABC=．（2）图2为5×3网格，点A，点B在格点上，在网格中找出所有的点C，使得ABC为等腰三角形，点C在格点上．(在找到的点上标上点C1，C2，C3…)5．（2022·江苏盐城·八年级期中）勤于思考的小明同学提出如下问题：如图，不用尺规作图，利用正方形网格线画出∠ABC的角平分线（点A、B、C都在格点上）．请你帮助小明画出角平分线并说明理由．题型四：找出图中的等腰三角形一、单选题1．（2021·湖北·荆州市荆南中学八年级期中）如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（）个等腰三角形．A．3 B．4 C．5 D．62．（2021·广东惠州·八年级期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个二、填空题3．（2022·宁夏·吴忠市第二中学八年级期末）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，请写出图中有哪些等腰三角形__．4．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，2），在y轴确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有____个．三、解答题5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．（1）求证：AB+BE=CD．（2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．6．（2021·全国·八年级课时练习）如图，．分别计算的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．7．（2021·湖北武汉·八年级期末）已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有个等腰三角形．题型五：根据等角对等边证明等腰三角形一、单选题1．（2022·陕西渭南·八年级期中）下列条件能判定为等腰三角形的是（

）A．， B．，，C．， D．2．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在△ABC中，，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，且．下列四个结论：①；②；③；④△AEC是等腰直角三角形．你认为正确的序号是（

）A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④二、解答题3．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．4．（2022·河南南阳·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证：(1)△CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC．5．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，已知，(1)求证：；(2)若平分，求证：是等腰三角形．6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，E为的外角平分线上的一点，AE//BC，．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求CE的长．题型六：根据等角对等边证明边相等一、单选题1．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，是的角平分线，交BC于点E，垂足为F，连接DE．若，，则的度数为（）A．75° B．80° C．85° D．90°2．（2021·湖北咸宁·八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F，∠CBD，∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．有下列结论：①△ABD≌△CBG；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG．其中，正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边AC、BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的F点，若CD=4，CE=3，DE=5，则AB的长为_____________．4．（2022·湖南·华容县教育科学研究室八年级期末）如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③连接CO，则OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ为等边三角形．恒成立的结论有___________________(把你认为正确的序号都填上)．三、解答题5．（2022·江西鹰潭·八年级期中）如图，将直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2个单位得到直角梯形EFGH，已知BC=6，∠A=90°，∠C=45°，求阴影部分的面积．6．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知：如图，在中，，点D、E分别在边AC、AB上，且，BD与CE相交于点O．求证：．7．（2022·全国·八年级专题练习）如图，AD，BC相交于点O，∠OAB＝∠OBA，∠C＝∠D＝90°．求证：△AOC≌△BOD．8．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．9．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，在等边中，点E在上，点D在的延长线上．(1)如图1，，求证：；(2)如图2，若E为上异于A、C的任一点，，（1）中结论是否仍然成立？为什么？题型七：根据等角对等边求边长一、单选题1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（

）A．13 B．14 C．15 D．16二、填空题2．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，则BE长为_________．3．（2022·辽宁本溪·八年级期末）如图，一艘船从处出发向正北航行50海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是__________海里．4．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是___．三、解答题5．（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图，为的角平分线．(1)如图1，若于点，交于点，，．则_______；(2)如图2，于点，连接，若的面积是6，求的面积；(3)如图3，若，，，则的长为_______．（用含的式子表示）6．（2022·吉林延边·八年级期末）如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．题型八：直线上与已知两点组成等腰三角形的点一、单选题1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个2．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，点A、B在直线l的同侧，点C在直线l上，且是等腰三角形．符合条件的点C有（

）A．5 B．4 C．3 D．23．（2021·全国·八年级专题练习）如图，是某生产线的横截面示意图，MN表示长度为20米的笔直传送带，在MN的中点正上方3米处，有一个专用消毒喷头，（喷头大小、长度均忽略不计），喷头位置用点p表示，此时MN上有一个边长为2米的正方形盒子ABCD，则在盒子随传送带从点M移动到点N的过程中，以C、D、P三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上（包括顶点），且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·福建三明·八年级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为和，在坐标轴上确定一点C，使是等腰三角形，则符合条件的C点共有（

）个A．4 B．6 C．8 D．10二、解答题6．（2021·辽宁大连·八年级期末）图，在平面直角坐标系中，点A（4，4），点B（0，2），连接AB，AO．（1）坐标系中有点C，使得△COB≌△AOB；①在坐标系中画出△BOC；②点C坐标为；（2）若x轴上有点D，使得△ABD是以AB为腰的等腰三角形，则点D的坐标为（写出一个结果即可）．7．（2020·山东临沂·八年级期中）如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．（1）求证：；（2）求的度数；（3）当为多少度时，是等腰三角形？8．（2020·浙江·杭州采荷实验学校八年级期中）如图，在中，，，动点P从C出发，按照的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为．（1）BC边上的高为________；AB边上的高为________．（2）当时，求t的值；（3）若是等腰三角形，求出满足条件t的值．题型九：求与图形中任意两点构成等腰三角形的点一、单选题1．（2022·全国·八年级）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2022·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末）已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为__________．3．（2022·山东聊城·八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.4．（2022·宁夏·银川市第三中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格格点上．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A’B’C’；（2）若点D在图中所给的网格中的格点上，且以A、B、D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．5．（2022·全国·八年级专题练习）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，用两种不同的分割方法画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）题型十：作等腰三角形一、解答题1．（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）已知，线段，求作：等腰，使得顶角，上的高为．2．（2022·陕西西安·八年级期末）如图，M为△ABC的边AC上一点，请用尺规作图，在边BC上找到一点N，使得△MNB是以BM为底边的等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法），3．（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，在中，，射线．(1)在线段上取一点，使得，在射线上确定一点，使是以为底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接，求证：．4．（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中）已知：线段a．请利用尺规作图求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．（不写作法，保留作图痕迹）5．（2022·山东菏泽·八年级期中）已知：中，边上一点D．求作：等腰，使为等腰的底边，且点P到、两边的距离相等．（保留作图痕迹，不必写作法）6．（2022·山西晋中·八年级期中）图，在△ABC中，．(1)尺规作图：过点A作，点D为垂足，在线段CD上取一点E，使得，连接AE；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若在（1）中恰好．求证：点E在线段AC的垂直平分线上．7．（2022·陕西·无八年级期末）如图，在中，，，请用尺规作图法在AC边上确定一点P，连接BP，使BP将分割成两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）题型十一：等腰三角形的性质和判定一、填空题1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为20，BP＝4，则AB的长为__________．二、解答题2．（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，EP是AB边的垂直平分线，FQ是AC边的垂直平分线，连接AE，AF，若AB=12，求EF的长．3．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在BC上，BD⊥AE于点D，F为BC中点．(1)在图中找出与∠ABD相等的角，并证明；(2)求证：DF平分∠BDE．4．（2022·湖南·常德市第二中学八年级期中）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．(1)求证：≌；(2)若，求的度数．5．（2022·广西·兴安县第三中学八年级期中）如图，在中，的平分线交于点，．求证：是等腰三角形．6．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足为F．(1)求证∠CAE=∠ABD；(2)连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE；(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．题型十二：三角形边角的不等关系一、单选题1．（2022·贵州遵义·八年级期末）已知锐角，如图．（1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB；（2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C；（3）连接BC，AC．作射线OC．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（

）A． B．若，则C．OB垂直平分AC D．2．（2022·福建·厦门一中八年级期中）如图，点A的坐标是（1，1），若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（2，0） B．（，0） C．（-，0） D．（1，0）3．（2021·山东·潍坊市潍城区乐埠山生态经济发展区中学八年级阶段练习）如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC4．（2021·河北沧州·八年级期末）如图，中，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是（

）A．10 B．14 C．15 D．19题型十三：等边三角形的判定一、单选题1．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）下列命题是假命题的是（

）A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上B．两边分别相等的两个直角三角形全等C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等2．（2022·山东枣庄·八年级期中）下列说法错误的是（

）A．有两个角为60°的三角形是等边三角形 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合二、解答题3．（2022·江西景德镇·八年级期中）如图，已知线段AB、DE相交于点O，，DE经过适当平移至AC的位置．连接CE、BC．(1)由“DE平移至AC”：①根据平移距离相等可得______（填相等的线