第13讲探索三角形相似的条件（2大考点）（原卷版）

第13讲探索三角形相似的条件（2大考点）考点考点考向一．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．二．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。考点考点精讲一．平行线分线段成比例（共11小题）1．（2022秋•天宁区校级月考）如图，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，则DE等于（）A．5 B．6 C．7 D．92．（2022秋•江阴市校级月考）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，BD＝3，则DC＝．3．（2021秋•灌云县期末）如图，，AD＝15，AB＝40，AC＝28，则AE＝．4．（2022秋•惠山区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝3：2，AE＝6cm，则AC的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm5．（2022秋•锡山区校级月考）如图，DE∥BC，且EC：BD＝2：3，AD＝6，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022秋•江阴市校级月考）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．7．（2021秋•仪征市期末）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F．若AB＝6，BC＝3，EF＝4，则DE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．98．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，若Rt△ABC的面积为4，则△ABO面积为．9．（2021秋•常州期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，AD：DB＝2：3，点E是CD的中点，连接AE并延长，交BC于点F，则BF：FC＝．10．（2022秋•靖江市校级月考）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．11．（2022秋•天宁区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动．点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长．（用含t的代数式表示）（2）当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值．二．相似三角形的判定（共14小题）12．（2022秋•锡山区期中）如图，不能说明△ABC∽△ACD的一组条件是（）A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD•AB D．＝13．（2022秋•海陵区校级月考）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④CP•AB＝AP•CB，能满足△APC与△ABC相似的条件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③14．（2022•宿豫区校级开学）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．无数15．（2021秋•沛县校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过秒后，△PBQ与△ABC相似．16．（2022秋•苏州期中）如图，在矩形ABCD中，P是AD上的动点，连接BP，CP，若AD上存在三个不同位置的点P，使△ABP与△CDP相似，设，则d的取值范围是．17．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在第一象限内作与x轴的正半轴成60°的射线OC，在射线OC上截取OA＝2，过点A作AB⊥x轴于点B，在坐标轴上取一点P（不与点B重合），使得以P，O，A为顶点的三角形与△AOB相似，则所有符合条件的点P的坐标为．18．（2022秋•射阳县月考）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，求DP长．19．（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．（1）当PQ∥BC时，求x的值．（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．20．（2022秋•惠山区期中）如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α＝时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．21．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝6，在AC上取一点D，使AD＝2，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，则AE＝．22．（2022秋•邗江区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D为AB上一动点（点D与点A不重合）．若在△ABC的直角边BC上存在一点E，使△ADE与△ABC相似，则AD的值为．23．（2022秋•邗江区月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点E在边BC上，连接DE，过点A作AH⊥DE，垂足为H，AH交CD于F．（1）求证：△CDE∽△DAF；（2）当FC＝2时，求EC的长．（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长．24．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF＝90°，EF交射线BC于点F设BE＝x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．25．（2022秋•江阴市校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，其中点A、C分别在x轴、y轴上，B（4，2）．P是x轴负半轴上一点，OP＝OC，过点P的直线l分别与y轴、边BC交于点D、点E，连接AE．当△POD与△ABE相似时，求CE的长．

巩固巩固提升一、单选题1．（2020·江苏·无锡市钱桥中学九年级月考）下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A． B．C． D．2．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级月考）如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（）A． B．是的平分线C． D．3．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．4．（2021·江苏高邮·九年级期末）已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（）A．顶角为30°的等腰三角形B．顶角为40°的等腰三角形C．等边三角形D．顶角为75°的等腰三角形5．（2021·江苏玄武·一模）如图，在中，是边上一点，在边上求作一点，使得．甲的作法：过点作，交于点，则点即为所求．乙的作法：经过点，，作，交于点，则点即为所求．对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（）A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误 C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确6．（2020·江苏·射阳县第二初级中学九年级月考）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC二、填空题7．（2021·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，则图中相似三角形共有______对．8．（2020·江苏·淮安六中九年级期中）如图，若，需添加的一个条件是______（填写一个条件即可）．9．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：①；②；③；其中能与相似的是_________．（除外）10．（2019·江苏宝应·中考模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是重心，点D在斜边AB上，CD过点E，作EF//AB交CB于点F，若EF=6，则11．（2019·江苏·海庆中学九年级期末）如图，在△ABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：___(写出一个即可)，12．（2020·江苏宝应·九年级）如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．13．（2020·江苏宜兴·九年级月考）如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．三、解答题14．（2019·江苏无锡·九年级期末）如图2，ΔABC与ΔDEA是两个全等的等腰三角形，?BAC=?D=900，BC分别与AD,AE相交于点F,G，（1）图中有哪几对不全等的相似三角形，请把他们表示出来；（2）根据图1两位同学对图形的探索，试探索BF,FG,GC之间的关系，并证明.15．（2018·江苏雨花台·九年级期末）如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．16．（2020·江苏·常州市田家炳初级中学九年级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为边CD延长线上一点，连接BE交边AD于点F．（1）找出图中所有的相似三角形（不再添加辅助线），它们分别是_____．（2）请在你找出的各对相似三角形中，选择一对加以证明．17．（2021·江苏淮安·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：．18．（2021·江苏江都·九年级期末）我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在和中，，且，则与相似吗？并说明理由．19．（2021·江苏镇江·一模）如图1，二次函数的图像记为，与y轴交于点A，其顶点为B，二次函数的图像记为，其顶点为D，图像、相交于点P，设点P的横坐标为m．（1）求证：点D在直线上；（2）求m和h的数量关系；（3）平行于x轴的直线经过点P，与图像交于另一点E，与图像交于另一点F，若，求h的值；（4）如图2，过点P作平行于的直线，与图像交于另一点Q，连接．当时，_________．（直接写出结果）20．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）如图1，抛物线（为常数）与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点．（1）下列说法：①抛物线开口向上，②点在轴正半轴上；③；④抛物线顶点在直线上，其中正确的是_______；（2）如图2，若直线与该抛物线交于两点（点在点下方），试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值；（3）在（2）的条件下，设直线与轴交于点，连接，当时，求此时的值，判断与是否相似，并说明理由．21．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）三角形的布洛卡点（Bro