第08讲 不等式的基本性质与解法（7大考点）（解析版）

第08讲不等式的基本性质与解法（7大考点）考点考点考向一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要点：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变三、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．要点：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．四、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.要点：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．五、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．考点考点精讲考点一：不等式的有关定义一、单选题1．（2021·浙江·八年级期末）定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】符号表示不大于的最大整数，即为小于等于a的最大整数.【详解】因为为小于等于a的最大整数，所以，若＝－6，则的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查了对不等关系的理解，解题的关键是理解符号的本质是小于或等于a的最大整数.2．（2021·浙江·八年级期中）老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：>，<，≥，≤，≠，所以属于不等式的是：①②③⑥．故选C．【点睛】本题考查不等式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握不等式的定义进行判定．考点二：不等式的解集一、单选题1．（2020·浙江嘉兴·八年级期中）下列各数中，是不等式x＞1的解的是（

）A．﹣2 B．0 C．1 D．3【答案】D【分析】根据不等式的解，可得答案．【详解】解：∵3>1，

∴3是不等式x>1的解，

故选D．【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集是解题关键．2．（2020·浙江绍兴·模拟预测）关于的不等式的解集如图所示，则a的值为A．1 B． C．-1 D．【答案】D【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．【详解】解：根据图示知，原不等式的解集是：x≤-1；又∵3x-2a≤-2，∴x≤，∴=-1，解得，a=-；故选D．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．考点三：不等式的基本性质一、单选题1．（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学八年级阶段练习）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（

）A．m＋2＞n＋2 B．2m＞2n C．0.5m＞0.5n D．【答案】D【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质3，可判断D．【详解】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故选项A正确，不符合题意；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故选项B正确不符合题意；C、不等式的两条边都乘以0.5，不等号的方向不变，故选项C正确不符合题意；D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故选项D错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2．（2022·浙江丽水·八年级期末）若x＜y，则下列结论成立的是（

）A．x+2＞y+2 B．-2x＜-2y C．3x＞3y D．1-x＞1-y【答案】D【分析】根据不等式的性质求解即可．【详解】解：A、由x＜y，可得x+2＜y+2，原结论不成立，不符合题意；B、由x＜y，可得-2x＞-2y，原结论不成立，不符合题意；C、由x＜y，可得3x＜3y，原结论不成立，不符合题意；D、由x＜y，可得-x＞-y，则1-x＞1-y，原结论成立，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式两边同时加上或减去一个整式，不等式方向不改变，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等式改变方向是解题的关键．3．（2022·浙江丽水·八年级期末）若，两边都除以-2，得（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】当不等式左右两边同时除以或乘以负数时,需改变不等式符号．【详解】∵当不等式左右两边同时除以或乘以负数时,需改变不等式符号∴∴故选：B．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的相关知识．4．（2022·浙江丽水·八年级期中）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．【答案】B【分析】先由数轴观察a、b、c的正负和大小关系，然后根据不等式的基本性质对各项作出正确判断.【详解】由数轴可以看出a＜b＜0＜c，因此，A、∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故选项错误；B、∵a＜b，∴a+c＜b+c，故选项正确；C、∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故选项错误；D、∵a＜c，b＜0，∴，故选项错误.故选B.【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质及实数和数轴的基本知识，比较简单．5．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）设“”、“

”、“”表示三种不同的物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么、、这三种物体质量从大到小的顺序排列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设、、的质量为a、b、c,根据图形，可列出不等式和等式，由此可将质量从大到小排列．【详解】解：设、、的质量为a、b、c,由图形可得：，由①得：c＞a,由②得：a＝2b,故可得c＞a＞b.所以这三种物体按质量从大到小的排列顺序为．故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质及等式的性质，解答本题关键是根据图形列出不等式和等式．6．（2023·浙江·八年级专题练习）小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（

）A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明【答案】C【分析】由题干中前两个条件可得小英的得分大于小华的，小亮的大于小明的，再结合第三个条件，进而可出结论．【详解】解：设小英的得分为a，小亮的得分为b，小明的得分为c，小华的得分为d，∵小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和，∴b＋d＝a＋c，∴b＝a＋c﹣d①∵小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，∴a＋b＞c＋d②，把①代入②，可得：a＋a＋c﹣d＞c＋d，∴a＞d，又∵b＋d＝a＋c，∴b＞c，∵小华的得分超过小明与小亮的得分和，∴d＞b＋c，即d＞b，∴a＞d＞b＞c，即四位同学的得分由大到小的顺序是小英、小华、小亮、小明．故选：C．【点睛】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．二、填空题7．（2022·浙江绍兴·八年级期末）根据不等式的基本性质，由，两边同乘－1，得______【答案】【分析】根据不等式的基本性质求解即可．【详解】解：∵，∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，正确掌握不等式的基本性质是解题的关键．8．（2021·浙江温州·八年级期中）若则2－3x______2－3y（填“>”或“<”或“＝”）．【答案】>【分析】根据不等式的性质，进行计算判断即可．【详解】解：∵x<y,∴两边同乘以-3得：-3x>-3y,∴两边同时加上2得：2-3x>2-3y,故答案为：>．【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．9．（2020·浙江·金华市南苑中学八年级期中）若x＞y，且（a﹣3）x＜（a﹣3）y，请写出一个符合题意的a的值___．【答案】2（a＜3即可）【分析】根据不等式的性质3，不等式两边同乘或除以一个负数，不等号的方向改变，即可作答．【详解】∵x＞y，（a﹣3）x＜（a﹣3）y，∴a-3<0，∴a<3，∴a可以取2，故答案为：2（a＜3即可）．【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．三、解答题10．（2022·浙江杭州·八年级期末）已知．(1)比较与的大小，并说明理由．(2)若，求a的取值范围．【答案】(1)3−x＜3−y(2)a＞0【分析】（1）根据不等式的基本性质解答即可；（2）根据不等式的基本性质解答即可．(1)解：∵x＞y，∴−x＜−y，∴3−x＜3−y；(2)∵x＞y，3＋ax＞3＋ay，∴a＞0．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．考点四：一元一次不等式概念一、单选题1．（2020·浙江·宁波咸祥中学八年级开学考试）下列各式中，是一元一次不等式的是(

)A．5＋4＞8 B．2x－1C．2x≤5 D．－3x≥0【答案】C【详解】A.∵5+4＞8不含未知数,故不是一元一次不等式;

B.∵2x-1不含不等号,故不是一元一次不等式;

C.2x≤5是一元一次不等式;

D.∵-3x≥0的分母中含未知数,,故不是一元一次不等式;

故选C.【点睛】本题考查一元一次不等式的识别,注意理解一元一次不等式的三个特点:①不等式的两边都是整式;②只含1个未知数;③未知数的最高次数为1次.2．（2020·浙江宁波·八年级期中）在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式；根据一元一次不等式的定义，对各个表达式逐一分析，即可得出答案．【详解】-3＜0是不等式，不是一元一次不等式；4x+3y＞0是二元一次不等式，不是一元一次不等式；x=3是方程，不是一元一次不等式；x2+2xy+y2是整式，不是一元一次不等式；x≠5是一元一次不等式；x+2＞y+3是二元一次不等式，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的有1个故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，从而完成求解．二、填空题3．（2021·浙江·杭州春蕾中学八年级期中）若m与3的和是正数，则可列出不等式：___．【答案】【分析】根据题意列出不等式即可【详解】若m与3的和是正数，则可列出不等式故答案为：【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．考点五：列一元一次不等式一、单选题1．（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学八年级阶段练习）某商品每件为a元，买50件这样的商品的总费用不高于342元，则可得关于a的不等式为（

）A．50a≤342 B．50a＜342 C．50a＞342 D．50a≥342【答案】A【分析】设商品的单价为a元，根据买50件这样的商品的总费用不高于342元，可列出不等式．【详解】解：设商品的单价为a元，依题意得，50a≤342．故选A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据不等关系列不等式．2．（2022·浙江金华·八年级期末）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，最低值不低于（220-年龄）×0.6．以30岁为例计算，，，1，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题干中信息可得“不超过”即“≤”，“不低于”即“≥”，于是30岁的年龄最佳燃脂心率范围用不等式表示为114≤p≤152．【详解】最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，，p≤152最佳燃脂心率最低值不低于（220-年龄）×0.6，，114≤p在四个选项中只有A选项正确.故选:A．【点睛】本题主要考查不等式的简单应用，能将体现不等关系的文字语言转化为数学语言是解决题目的关键．体现不等关系的文字语言有“大于”、“小于”、“不高于”、“不低于”等．二、解答题3．（2021·浙江温州·八年级期中）一座小水电站的水库水位在12米到20米（包括12米，不包括20米），发电机能正常工作．设水库水位为x米．(1)用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它表示在数轴上；(2)当水位在下列位置时，发电机能正常工作的有______．①x＝10；②x＝12；③x＝15；④x＝20．【答案】(1)，数轴见解析(2)②③【分析】（1）根据水库水位在12米到20米（包括12米，不包括20米），发电机能正常工作可得，再将它在数轴上表示出来即可；（2）找出满足的即可．（1）解：由题意得：，把它表示在数轴上如下：（2）解：因为当时，发电机能正常工作，所以发电机能正常工作的有②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，正确列出不等式是解题关键．考点六：一元一次不等式的解集一、单选题1．（2020·浙江温州·八年级阶段练习）小马虎同学做一道“解一元一次不等式”的作业，解答过程如下图，在①、②、③、④四个步骤中，小马虎同学一共做错了（

）步．解：，①②③，④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变．具体步骤：（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的不等式．（2）去括号：根据去括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号．（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边；（4）合并同类项；（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向．（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集．【详解】解：小马虎的解答错误在：第①步去分母时不等式右边的1没有乘以分母最小公倍数；第②步去括号时，括号内各项没有没有变号；第③步移项时没有变号；第④步系数化为1时，不等式两边同乘以同一个负数，不等号的方向没有变化．正确过程如下：解：3x+4x>9+2+67x>17x>．故选：D．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，解题的关键是熟悉解不等式的5个步骤和不等式的基本性质．不等式的基本性质1、不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c；不等式的基本性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；不等式的基本性质3、不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．2．（2022·浙江宁波·八年级期末）设a，b是任意两个实数，用max｛a，b｝表示a，b两数中的较大者，例如max｛4，3｝=4，则max｛，，｝的最小值等于（

）A．-2 B．1 C．7 D．3【答案】D【分析】可先假定的值分别为、、三种情况，求出这三种情况下的x的最小值，再进行比较即可．【详解】①设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值3．②设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值7．③设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值3．因为，所以的最小值为3．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意列出一元一次不等式方程是解题关键．二、填空题3．（2022·浙江杭州·八年级期中）已知实数，，满足，且，则的最大值为______．【答案】【分析】根据已知条件中、、的关系式，用含、的代数式把含的式子表示出来，然后利用含、式子的特点得出关于的不等式，解不等式求出即可．【详解】解：，，，，，，，，，，，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，不等式求解，解题的关键是掌握逆用完全平方公式的能力．三、解答题4．（2020·浙江宁波·八年级期中）解不等式，并把它的解集表示在数轴上：(1)5x＋15<－2x-13(2)【答案】(1)x<-4，数轴见解析(2)x，数轴见解析【分析】（1）按移项，合并同类项，系数化为1和步骤求解，再把解集表示在数轴上即可；（2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1和步骤求解，再把解集表示在数轴上即可．（1）解：移项，得5x+2x<-13-15，合并同类项，得7x<-28，系数化为1，得x<-4；解集表示在数轴上为：（2）解：去分母，得2(2x-1)-3(5x+1)≤6，去括号，得4x-2-15x-3≤6，移项、合并同类项，得-11x≤11，系数化为1，得x≥-1．解集表示在数轴上为：【点睛】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解产等式一般步骤是解题的关键．5．（2022·浙江金华·八年级期末）以下是小欣同学解不等式的解答过程：解：去分母，得．

…………①去括号，得．

…………②移项，得．

…………③合并同类项，得．

…………④两边除以－4，得．

…………⑤小欣同学的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【答案】小欣同学的解答过程有错误，解答见解析【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：小欣同学的解答过程第①步和第⑤步都出现了错误，正确的解答过程如下，解：去分母，得．

去括号，得．

移项，得．

合并同类项，得．

两边除以－4，得．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，正确的计算是解题的关键．考点七：一元一次不等式的整数解一、单选题1．（2021·浙江温州·八年级期中）已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（）A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2【答案】B【分析】由2x-m＞4得x＞，根据x=2不是不等式2x-m＞4的整数解且x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解得出≥2、＜3，解之即可得出答案．【详解】解：由2x-m＞4得x＞，∵x=2不是不等式2x-m＞4的整数解，∴≥2，解得m≥0；∵x=3是关于x的不等式2x-m＞4的一个整数解，∴＜3，解得m＜2，∴m的取值范围为0≤m＜2，故选：B．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式整数解的情况得出关于m的不等式．二、填空题2．（2022··八年级期末）不等式的非负整数解为______．【答案】0，1【分析】求出一元一次不等式的解集，根据要求写出符合要求的数即可．【详解】解：，，故小于等于1.5的非负整数为：1，0，故答案为：1，0．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，能够熟练地求出一元一次不等式组的解集，并根据要求写出符合要求的解即可．3．（2021·浙江温州·八年级期中）不等式2x－3≤x的解集是________，最大正整数解是________．【答案】

x≤3

3【分析】根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，进而求得最大正整数解．【详解】解：2x－3≤x，，解得，最大正整数解为3．故答案为：，3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．4．（2022·浙江杭州·八年级期末）不等式的最小负整数解______．【答案】-3【分析】移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可．【详解】解：，移项，得，合并同类项，得3x＞-11，系数化成1，得x＞，所以不等式的最小负整数解是-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．5．（2022·浙江宁波·八年级期末）不等式2x﹣1≤6的非负整数解有_____个．【答案】0，1，2，3．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．【详解】解：2x﹣1≤6，2x≤7，x≤3.5所以不等式的非负整数解是0，1，2，3．故答案为：0，1，2，3．【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集是解题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．三、解答题6．（2020·浙江·八年级期末）（1）解不等式．并写出适合不等式的最大整数解；（2）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出，每份材料收费25元，另收2000元设计费；乙公司提出，每份材料收费35元，不收设计费．请问该单位选择哪家公司制作这批宣传材料更合算？【答案】（1）x＜，-2；（2）当0＜x＜200时，选择乙公司；当x=200时，选择两家一样；当x＜200时，选择甲公司【分析】（1）先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大整数解．（2）根据甲、乙两个公司的收费方法分别列式；求出两个公司收费相同时的材料份数，然后分情况讨论即可．【详解】解：（1）x-8＞3x-5，∴x-3x＞-5+8，∴-2x＞3，∴x＜，则不等式的最大整数解是-2；（2）由题意得，甲公司的收费费用：25x+2000，乙公司的收费费用：35x；令25x+2000＞35x，解得x＜200，则①当0＜x＜200时，选择乙公司；②当x=200时，选择两家一样；③当x＞200时，选择甲公司．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解，注意要分类讨论．7．（2020·浙江绍兴·八年级期中）解不等式，并求出它的非负整数解．【答案】解集为，非负整数解有：0、1、2．【分析】依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可得出不等式的解集，再根据解集确定非负整数解．【详解】解：去分母得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：．非负整数解有：0、1、2．【点睛】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．8．（2019·浙江杭州·八年级期末）解不等式，将解表示在数轴上，并求出不等式的正整数解．【答案】；数轴见详解；不等式的正整数解为1．【分析】先去括号，再移项合并同类项，然后系数化为1得到的取值范围，最后画出数轴标出解并写出范围内的正整数解即可．【详解】解：∴解集在数轴上表示如下：∴的正整数解为：1．【点睛】本题考查解不等式、数轴表示解集和求不等式整数解，正确求解不等式是解题关键．9．（2020·浙江杭州·八年级期末）若不等式的最小整数解为方程的解，求a的值．【答案】3.5【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a的值即可．【详解】解不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）+6，去括号，得：3x﹣6+5＜4x﹣4+6，移项，得3x﹣4x＜﹣4+6+6﹣5，合并同类项，得﹣x＜3，系数化成1得：x＞﹣3．则最小的整数解是﹣2．把x=﹣2代入2x﹣ax=3得：﹣4+2a=3，解得：a=3.5．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定义，正确解不等式求得x的值是关键．10．（2019·浙江·八年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足.（1）求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若不等式的解为.则整数a的值是多少？【答案】（1）a>-；（2）-1【分析】（1）先把①和②相加，整理后根据列出关于a的不等式求解即可；（2）先用含a的代数式表示出不等式的解集，根据列出关于a的不等式求解，结合（1）中求出的取值范围求解即可.【详解】解：（1），①+②得3x+3y=3a+1，∴x+y=a+,∵,∴a+>-1,∴a>-；（2）∵，∴，∵,∴2a+1<0，∴a<-,∵a>-,∴-<a<-,∴整数a的值是-1.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，熟练掌握二元一次不等式组的解法是解（1）的关键，熟练掌握一元一次不等式的解法是解（2）的关键.巩固巩固提升一．选择题（共8小题）1．（2021秋•鹿城区校级期中）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】将已知解集表示在数轴上即可．【解答】解：不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是：故选：B．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．2．（2021春•东城区校级期末）下面给出了6个式子：①3＞0；②4+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】依据不等式的定义来判断即可，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式．【解答】解：由题可得：①3＞0；②4+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0是不等式，故不等式有4个．故选：C．【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”．3．（2009秋•西湖区校级期中）不等式2﹣m＜（x﹣m）的解集为x＞2，则m的值为（）A．4 B．2 C． D．【分析】先根据不等式的基本性质把不等式去分母、去括号、再移项、合并同类项求出x的取值范围，再与已知解集相比较即可求出x的取值范围．【解答】解：去分母得，3（2﹣m）＜x﹣m，去括号得，6﹣3m＜x﹣m，移项，合并同类项得，x＞6﹣2m，∵此不等式的解集为x＞2，∴6﹣2m＝2，解得，m＝2．故选：B．【点评】本题较简单，解答此题的关键是掌握不等式的性质，（1）不等式两边同加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边同乘（或同除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式两边同乘（或同除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．（2021秋•湖州期末）已知﹣2x＞4，则下列不等式一定成立的是（）A．x＜﹣2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＞2【分析】利用“在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向”判断即可．【解答】解：﹣2x＞4，x＜﹣2，故选：A．【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．5．（2017秋•秀洲区期中）已知a、b为常数，若ax+b＞0的解集是，则bx﹣a＜0的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3【分析】根据ax+b＞0的解集是，可以解得ab的值，再代入bx﹣a＜0中求其解集即可．【解答】解：∵ax+b＞0的解集是，由于不等号的方向发生了变化，∴a＜0，又﹣＝，即a＝﹣3b，∴b＞0，不等式bx﹣a＜0即bx+3b＜0，解得x＜﹣3．故选：B．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生在解题时要注意移项要改变符号这一点．此题解不等式主要依据不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确判断出ab的取值范围及关系是解答此题的关键．6．（2021秋•义乌市期末）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】解不等式x﹣b＜0可得x＜b，再根据x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解即可．【解答】解：解不等式x﹣b＜0，得x＜b，因为x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，所以b的值不可能是1．故选：A．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据不等式的解的概念得出关于m的不等式并熟练掌握解一元一次不等式的能力．7．（2021秋•温州期中）已知x＝2不是关于x的不等式2x﹣m＞4的整数解，x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，则m的取值范围为（）A．0＜m＜2 B．0≤m＜2 C．0＜m≤2 D．0≤m≤2【分析】由2x﹣m＞4得x＞，根据x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解且x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解得出≥2、＜3，解之即可得出答案．【解答】解：由2x﹣m＞4得x＞，∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，∴≥2，解得m≥0；∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，∴＜3，解得m＜2，∴m的取值范围为0≤m＜2，故选：B．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式整数解的情况得出关于m的不等式．8．（2020秋•西湖区校级期中）小丽和小华先后进入电梯，当小华进入电梯时，电梯因超重而警示音响起，且这个过程中没有其他人进出，已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小华的体重分别为40公斤，50公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【分析】由题意可得，小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解．【解答】解：由题意可知：当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，由图可知：小丽的重量为40公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，所以此时电梯乘载的重量x+40≤300，解得x≤260，因为小华的重量为50公斤．且进入电梯后，警示音响起，所以此时电梯乘载的重量x+40+50＞300，解得x＞210，因此210＜x≤260．故选：A．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．二．填空题（共9小题）9．（2020秋•衢州期中）“x与y的2倍的和是正数”用不等式可表示为x+2y＞0．【分析】根据“x与y的2倍的和是正数”，即可得出关于x，y的不等式，此题得解．【解答】解：依题意得：x+2y＞0．故答案为：x+2y＞0．【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键．10．（2021秋•江干区校级期中）用不等式表示“5a与6b的差是非正数”5a﹣6b≤0．【分析】由5a与6b的差是非正数，可得出关于a，b的一元一次不等式，此题得解．【解答】解：依题意，得：5a﹣6b≤0．故答案为：5a﹣6b≤0．【点评】本题考查了不等式的定义，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式是解题的关键．11．（2021秋•衢江区期末）写出一个不等式，使它的解为x＞﹣1，则这个不等式可以是3x+3＞0．【分析】根据要求构造不等式即可．【解答】解：∵3x+3＞0的解集为：x＞﹣1，∴符合条件的一个不等式为：3x+3＞0．故答案为：3x+3＞0．（答案不唯一）．【点评】本题考查不等式的解集，理解不等式解集的含义是求解本题的关键．12．（2020秋•婺城区校级期末）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是7.5≤x≤40．【分析】若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间．【解答】解：若每天服用3次，则所需剂量为10﹣40mg之间，若每天服用4次，则所需剂量为7.5﹣30mg之间，所以，一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间，所以7.5≤x≤40．故答案为：7.5≤x≤40．【点评】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量．13．（2021秋•乐清市校级月考）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，两边同除以（m﹣3），得x＞1，则m的取值范围为m＞3．【分析】根据已知得出m﹣3＞0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵（m﹣3）x＞m﹣3的解集为x＞1，∴m﹣3＞0，解得：m＞3，故答案为：m＞3．【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据已知得出关于m的不等式是解此题的关键．14．（2021秋•青田县期末）已知关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为﹣7＜a≤﹣5．【分析】解不等式得出x≤，根据不等式只有3个正整数解得出3≤＜4，解之即可．【解答】解：由2x+a≤1，得：x≤，因为不等式只有3个正整数解，所以不等式的正整数解为1、2、3，∴3≤＜4，解得﹣7＜a≤﹣5，故答案为：﹣7＜a≤﹣5．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式正整数解的情况得出关于a的不等式组．15．（2020秋•东阳市期末）有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为30≤a≤60．【分析】一次服用剂量a＝，故可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可．【解答】解：由题意，当每日用量90mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为＝30mg；当每日用量120mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为＝60mg；故一次服用这种药品的剂量范围是30mg～60mg．故答案为：30≤a≤60．【点评】本题考查了有理数的除法．由实际问题中的不等关系列出不等式，通过解不等式可以得到实际问题的答案．16．（2021春•冠县期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝1．【分析】根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0，|m|＝1，从而可求得m的值．【解答】解：∵（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，∴m+1≠0，|m|＝1．解得：m＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．17．（2021秋•杭州期末）不等式x﹣3＞﹣14﹣x的最小负整数解﹣3．【分析】移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可．【解答】解：x﹣3＞﹣14﹣x，移项，得x+x＞﹣14+3，合并同类项，得3x＞﹣11，系数化成1，得x＞﹣，所以不等式的最小负整数解是﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．三．解答题（共9小题）18．（2016秋•萧山区期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．【解答】解：去分母得，8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），去括号得，8﹣7x+1＞6x﹣4，移项得，﹣7x﹣6x＞﹣4﹣8﹣1，合并同类项得，﹣13x＞﹣13，系数化为1得，x＜1．在数轴上表示如下：【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错，去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数．19．（2021秋•滨江区校级期中）已知：x，y满足3x﹣4y＝5．（1）用含x的代数式表示y，结果为y＝；（2）若y满足y≤x，求x的取值范围；（3）若x，y满足x+2y＝a，且x＞2y，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得y＝；（2）由已知可得≤x，即可求x的取值范围；（3）由已知可得x﹣＝a，再由x＞，可求x＜5，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）3x﹣4y＝5，∴﹣4y＝5﹣3x，∴y＝，故答案为：；（2）∵y＝，y≤x，∴≤x，∴3x﹣5≤4x，∴3x﹣4x≤5，∴﹣x≤5，∴x≥﹣5，即x的取值范围是x≥﹣5；（3）∵3x﹣4y＝5，∴y＝，∵x+2y＝a，∴x+＝a，解得x﹣＝a①，∵x＞2y，∴x＞，解得x＜5②，由①和②可得x﹣＜10，∴a＜10．【点评】本题考查二元一次方程和不等式的性质，熟练掌握二元一次方程的解法和不等式的基本性质是解题的关键．20．（2019秋•黄岩区期末）在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置，代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：x+y，xy，，都是二元对称式，其中x+y，xy叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）下列各代数式中，属于二元对称式的是②④（填序号）；①；②（a﹣b）2；③；④．（2）若x+y＝m，xy＝n2，将用含m，n的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式；（3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2：问题1：已知x+y﹣4＝0，求x2+y2的最小值．分析：因为条件中左边的式子x+y﹣4和求解中的式子x2+y2都可以看成以x，y为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，x2+y2可取得最小值．问题2，①已知x2+y2＝4，则x+y的最大值是2；②已知x+2y﹣2＝0，则2x+4y的最小值是4．【分析】（1）由定义进行判断即可；（2）化简为，再将已知代入即可求解；（3）①x＝y＝时，x+y最大值为2；②x＝2y＝1时，2x+22y的最小值4．【解答】解：（1）①≠，故不是二元对称式；②（a﹣b）2＝（b﹣a）2，故是二元对称式；③+≠+，故不是二元对称式；④＝，故是二元对称式；故答案为：②④；（2）＝+2＝+2＝，∵x+y＝m，xy＝n2，∴＝，∵≠，∴不是二元对称式；（3）①x2+y2可以看成以x，y为元的对称式，x+y可以看成以x，y为元的对称式，∴当这两个元相等时，x+y可取得最大值，∵x2+y2＝4，∴x＝y＝，∴x+y最大值为2，故答案为：2；②x+2y可以看成以x，2y为元的对称式，∵2x+4y＝2x+22y可以看成以x，2y为元的对称式，∴当这两个元相等时，2x+22y可取得最小值，∵x+2y﹣2＝0，∴x＝2y＝1，∴2x+22y的最小值4，故答案为：4．【点评】本题考查新定义，理解定义，根据题意会用二元对称式求代数式的最值是解题的关键．21．（2020秋•拱墅区期中）设a和b是两个非负实数，已知a+2b＝3．（1）求a的取值范围；（2）设c＝3a+2b，请用含a的代数式表示c，并求出c的取值范围．【分析】（1）根据a+2b＝3，可得2b＝3﹣a，再根据2b≥0，求出a的取值范围即可．（2）根据a+2b＝3，c＝3a+2b，用含a的代数式表示c