高三数学高考数学复习提升之数学考点讲解与真题分析（等比数列概念及其求和公式的应用）

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

01数列的概念与简单表示法

【目标要求】

学习目标目标解读

1①了解数列的概念和几种简单的数列的概念与简单表示法是数列的基础

表示方法(列表、图像、通项公式)知识，是研究等差、等比数列的前提，更

是函数知识的感性升华，理解数列的概

念，了解数列通项公式的意义，了解递推

公式是给出数列的一种方法，并且能够根

据递推公式写出数列的前n项，

2②了解数列是自变量为正整数用函数的观点来分析、解决有关数列的问

的一类函数..

题；注意提高由特殊到一般的化归能力，

归纳、猜测的创新能力，推理与论证的逻

辑思维能力。

【核心知识点】

1、按照一定顺序排列着的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。

注意.：(1)数列中的数是按一定顺序排列的，在这个定义中，只强调有11质序，而不强

调有规律。

(2)数列｛a,,｝与a“是不同的，｛aa｝表示数列q，生,勺…，而仅表示数列｛a“｝的

第n项是an<,

(3)、数列中的项和它的项数是不同的，数列中的项是指这个数列中的某一个确定的

数，是一个函数值.,也就是相当于而项数是指这个数在数列中的位置记号，它

是自变量的值，相当于/(〃)中的n0

2、如果数列｛a,,｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式

就叫做这个数列的通项公式。

注意：(1)并不是所有的数列都有通项公式；，如果一个数列仅.仅给出前面有限的几

项，那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的，只要符合这几项的公式都可。(2)

有的数列的通项公式在形式上并丕唯二。(3)当不易直.接发现规律时，可以拆成若干

部分的和差积商或充分挖掘题目条件求解。

3.如果已知数列的第一项(或前n项),且任一项与它的前一项(或前n项)间的关系

可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式。

说明：1、递推公式与通项公式都可以揭示数列的构成规律，因此递推公式在以后学习

中以及高考中有着及其重要的地位。2、并不是所有数列都可以写出递推式，正如有的

函数并不一定有解析式一样。如乃的近似值，它是没有递推式的。

4.求通项公式的方法归纳

(1)、根据初始值以及递推公式写出数列的通项公式：

在给出初始值与递推公式的情况下，求数列的通项公式，常用的方法有：一是根据避

值归纳猜测出其通项公式；二是从一般入手，利用递推法；

(2)、根据前n项和5„求递推式或数列s“与«„关系求通项公式常用两种思路：一是先

求出，再利用公式4=s“—s,i(〃22)求;二是利用递推法,由公式

a,=sn-s„_t(n>2)将它转化为an的递推式,再求an…

【重难点突破】

考点一考查见与s“的关系

s(n-n

数列通项公式，公式4=1适合任何数列，这个关系是考查

1s,-5,1(H>2)

数列常见知识点，引起大家对公式的关注，提高应用意识。

例1设数列｛。“｝的前n项和=rr,则4的值为

(A)15(B)16(C)49(D)64

变式训练题：若数列｛4｝的前〃项和S“=1—1O〃(〃=1,2,3,)，则此数列的通项公式

为；数列｛次/“｝中数值最小的项是第_________________项.

考点二考查数列的通项公式

求数列的通项公式就是寻找一列数的排列规则，也就是找每一个数与它的序号间的对应

关系.如：归纳猜想法(通过写出数列前几项，观察、猜测通项公式)、分离法(将与

自然数有关的两式相减，从中提取通项)、累积(加)法(它适用于2=/5)的递推

式求通项)等。…

例2已知数列,｛%｝满足4=33,a,.-%=2〃,贝！!?的最小值为.

变式训练题：古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

e

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角

形数；类似的，称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角

形数又是正方形数的是

A.289B.1024C.1225D,1378

考点三考查数列的周期性

在数列中，,若存在正整数k,都有4+*=4，则数列｛4｝是周期函数，其周期为

k»

例3、五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学

所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总

次

数为.

【课堂巩固，夯实基础】

一.选择题

L,已知数列｛q｝对任意的p,^GN满足ap+q=ap+aq，且%=-6，那么为）等于

（）

A.-165B.-33C.-30D.-21

2.数列｛4｝的前〃项和为，若。”=一^，则Ss等于（）

A.1B.一C.-D.—

6r630

3设数列百，石，疗，…，则后是这个数列的（）

A、第6项B、第7项C、第8项D、第9项

4.数列｛《,｝中，4=—2/+29〃+3,则此数列最大项的值是（）

A、107B、108C、108-D、109

8

5.已知数列｛%｝,满足=0,。向=%（〃”）,则以=（）

+1

A、0B、-百C、百D、一

6.在数列｛q｝中，q=2,4+I=%+ln（l+,），贝Ua.=（）

n

A.2+InnB.2+(〃-l)ln〃C.24-nInHD.l+〃+ln〃

7.已知数列｛6｝的通项为=〃芸(neN*)，则在数列｛%｝的前30项中最大项和最

n-V98

小项分别为()

A、加.B、.C、a1。,。9■D、4]0,。30.

8.已知数列&｝的前n项和Sn=3n(A-n)-6,若数列｛aj单调递减，则人的

取值范围是()

A.(-oo,2)B.(-oo,3)C.(-oo,4)D.(-oo,5)

二.填空题

9.设数列｛。“｝中，4=2,a“+|=an+n+l,则通项q,=。

11.已知数列｛%｝的前n项和为S“，S,="C；T)(对于所有〃21)，且4=54,

则

q的数值是_________.

[2a0-<T6

12、数列｛4｝满足*M=\",2若4=-,则%=________

2a„-11/°/7

6^24~~■!MMUUVMMI

三.解答题

〃2

13.已知数列｛%｝的通项公式为％,求

n+1

(1)0.98是不是该数列中的项？

(2)判断该数列的增减性。

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

01数列的概念与简单表示法

【目标要求】

学习目标目标解读

1①了解数列的概念和几种简单的数列的概念与简单表示法是数列的基础

表示方法（列表、图像、通项公式）知识，是研究等差、等比数列的前提，更

是函数知识的感性升华，理解数列的概

念，了解数列通项公式的意义，了解递推

公式是给出数列的一种方法，并且能够根

据递推公式写出数列的前n项，

2②了解数列是自变量为正整数用函数的观点来分析、解决有关数列的问

的一类函数.题；注意提高由特殊到一般的化归能力，

归纳、猜测的创新能力，推理与论证的逻

辑思维能力。

【核心知识点】

1、按照一定顺序排列着的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。

注意：（1）数列中的数是按一定顺序排列的，在这个定义中，只强调有顺序，而不强

调有规律。

（2）数列他“｝与a”是不同的,｛4｝表示数列a”外，……，而％仅表示数列｛4｝的

第n项是an0

(3)、数列中的项和它的项数是不同的，数列中的项是指这.个数列中的某一个确定的

数，是一个函数值，也就是相当于而项数是指这个数在数列中的位置记号，它

是自变量的值，相当于/(〃)中的no

2、如果数列｛4｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式

就叫做这个数列的通项公式。

注意：(1)并不是所有的数列都有通项公式；，如果一个数列仅仅给出前面有限的几

项，那么得到的通项公式或递推公式并不是唯一的，只要符合这几项的公式都可。(2)

有的数列的通项公式在形式上并丕唯二。(3)当不易直接发现规律时，可以拆成若干

部分的和差积商或充分挖掘题目条件求解.

3.如果已知数列的第一项(或前n项)，且任一项与它的前一项(或前n项)间的关系

可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式。

说明：L递推公式与通项公式都可以揭示数列的构成规律，因此递推公式在以后学习

中以及高考中有着及其重要的地位。2、并不是所有数列都可以写出递推式，正如有的

函数并不一定有解析式一样。如万的近似值，它是没有递推式的。

4.求通项公式的方法归纳…

(1)、根据初始值以及递推公式写出数列的通项公式：

在给出初始值与递推公式的情况下，求数列的通项公式-常用的方法有：一是根据初始

值归纳猜测出其通项公式；二是从一般入手，利用递推法；

(2)、根据前n项和s,,求递推式或数列.y„与an关系求通项公式常用两种思路：一是先

求出s…再利用公式4=s“-”(〃22)求；二是利用递推法,由公式

an=5„-s„_,(n>2)将它转化为an的递推式，再求an。

【重难点突破】

考点一考查％与S”的关系

S(n—1)

数列通项公式，公式%=［。W*聆适合任何数列，这介关系是考查

ls“-S“T(n>2)

数列常见知识点，引起大家对公式的关注，提高应用意识。

例1设数列｛风｝的前n项和S,,=",则小的值为

(A)15(B)16(C)49(D)64

5.A

【答案】A-

【解析】直接根据4=5“一51(〃之2)即可得出结论.q=58-57=64—49=15.@#

网

变式训练题：若数列&｝的前〃项和5,,=〃2—10〃(〃=1,2,3,)，则此数列的通项公式

为；数列｛叫)中数值最小的项是第______________项.

【答案】an=2/1-11.；3

22

【解析】当〃22时，an=Sn-SnA=n-10n-(«-l)+10(n-l)=2«-ll

当n=l时，凡=勺，所以q=2〃-11.

2

nan=(2〃—11)〃=2n—lb?,所以〃=?=2.75,nan最小，由于〃eZ，且n=3

距离对称轴〃=日较近，所以n=3时，使得最小。

故通项公式为%=2“-11.数列｛nan｝中数值最小的项是第3项。

考点二考查数列的通项公式

求数列的通项公式就是寻找一列数的排列规则，也就是找每一个数与它的序号间的对应

关系.如：归纳猜想法（通过写出数列前几项，观察、猜测通项公式）、分离法（将与

自然数有关的两式相减，从中提取通项）、累积（加）法（它适用于2=/（〃）的递推

式求通项）等。

例2已知数列｛4｝满足%=33,4用-a.=2〃,则组的最小值为.

【答案』f

变式训练题：古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角

形数；类似的，称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角

形数又是正方形数的是

A.289B.1024C.1225D.1378

【答案】C

知际】而薪而不两编蔻3而标三二誓「，商同靛薇薄嬴i标1

jox

蜥求即是三角形数又是止方形数，邸新给的选项中只有122s满足外,=上产=原=35?=1225,■

故选C._.

考点三考查数列的周期性

在数列｛q｝中，若存在正整数k,都有%+«=”“，则数列｛4｝是周期函数，其周期为

k。

例3、五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第T立同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学

所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总

次

数为.

【答案】5

【解析】方法一：（猜想法）由题意可知其构成如下数列：1,1,2,3,5,8,13,

21,34,55,89,144，…，通过观察可知其每隔4个数必有一个数能被3整除，因为

100-4=25故拍手总数为25次，又据题意五个同学排成一圈，故应该为25+5=5；

方法二：（直接法）用a„表示第n个人报的数字，依题意有：…“._

a

4+2=n+4+1=an+an+an_｝=2an+（an-an_2）=3an—a,.，则可得《心是否为3

的倍数由a,-所决定的，且a,,+2与4-2刚好间隔周期为4,依题意得：甲同学报的数为

3的倍数时，当且仅当凡一2为3的倍数时，为_2最小为3,而且甲同学报的数的下标的

周期是5,则甲同学报的数的下标既要满足周期为5,又是4的倍数,则甲同学报的数

的下标符合条件的只有：“6，46M56，%6M96，共5个，答案为5.

【课堂巩固，夯实基础】

一.选择题

1.已知数列｛4,｝对任意的p,qeN满足4*=4，+%,且电=《,那么《0等于

)

A.-165B.-33C.-30D.-21

【答案】C

【解析】：由已知4=4+%=T2,=4+4=-24,《0=%+。2=-30

2.数列｛a,J的前〃项和为S“，若=丁二，则S5等于（）

B-ic-lDM

A.1

【答案】B

1金11

【解析】由4=—-----,何a——―-------,

w(w+l)“nn+1

°八1、A1、,11、A1、

S=a+a+a+o+a=(1+(---)+(---)

sx2345工/DJ•■J

1115

+0_》=1'=$所以选怪B。

3设数列瓜亚行，…网后是这个数.列的（）

A、第6项B、第7项C、第8项D、第9项

【答案】C

【解析】数列的通项公式为4=心工,令j2〃+l=g,解得n=8.

4.数列｛4｝中，a„=-21+29/1+3,则此数列最大项的值是()

A、107B、108C、108-D、109

8

【答案】B

【解析】氏=-2(〃-?2+竽，所以当门=7时，%有最大值108,故选B.

4o

5.已知数列｛凡｝,满足％=0,。向=乍士(〃€乂)，则心=()

+1

ZT

A、0Bs-V3C、6Ds—

2

【答案】B

【解析】由q==~r=-----(〃CN+)得%=-&A==o,。5=、行，

yj3an+1

……，由此可知数列｛4｝呈周期变化，目三个一循环，所以44=%=-0.

6.在数列｛4｝中，4=2,a,M=a“+ln(l+L),则4=()

n

A.2+InnB.2+(n-l)lnnC.2+/?InnD.l+〃+ln〃

【答案】A

【解析】%=q+ln(l+!),%=w+ln(l+!)，…，%=G〃T+10(1+-^)

12n-\

234n

=4=4+ln(；)J)(卓(—；)=2+ln〃,学@#

123n-\

7,已知数列｛an｝的通项册=几:5£N*），则在数列｛%｝的前30项中最大项和最

n-V98

小项分别为（）

【答案】D

r曲+匚、+〃—J97-\/98—V97,\-t--rmh

【解析】由an=----7==1+--------7=—,故点(n,a“)(〃GN)在函数y=

H-V98n-V98

1+叵二普的图象上，因（〃GN*）,如图，由函数的单调性知/，。9•分别为数列

X-V98

｛%｝的最大项和最小项。

n

8.已知数列｛叫的前n项和sn=3（A-n）-6,若数列单调递减,则A的取值范

围是（）

A.(-oo,2)B.(-co,3)C.(-oo,4)D.(-oo,5)

【答案】A

二.填空题

9.设数列｛〃“｝中，4=2,4用=a“+〃+1,则通项a”=,

【答案】-7+1

2

[解析]:4=2,a,用=%+〃+1...4=4"+(〃-1)+1,=4_2+(〃-2)+1,

=约-3+(〃—3)+11I%=劣+2+1,出=4+1+1,a]=2=1+1

将以上各式相加得：。“=[(〃-1)+(〃-2)+(〃-3)++2+1]+〃+1

(H-l)r(n-l)+ll(n-l)n〃("+1)

=-————--=U〃+i=^^——2_+〃+i=_\——i+i。

222

11.已知数列仅“｝的前n项和为S“，1=弋-1)(对于所有〃N1)，且%=54,

则

%的数值是_________.

【答案】2

r旃柘】甲1<6.i、j《©,—I)_q(33—1)%(34-33)

【解析】因为-S3+%•所以-—-F54]即—-54,

解得二2.

八1

[laQ^an<-6

12、数列｛4｝满足%M,2若%=-,则%=________

7

124T-<an<\

2n

a24=-----------

【答案】|5;A3学@#

77

0<t7.<—

"261

【解析】因为。圻1,]=—>一,

—<a<172

2"

1

a32a,-l=2x--i=2<—

72772

3

a=2a-=y.所以数列的周期T=3.所以％4=2。3=

47'

三.解答题

-n2

13.已知数列｛七｝的通项公式为%=多一，求

n+1

(1)0.98是不是该数列中的项？

(2)判断该数列的增减性。

【解析】(1)由*=g-=0.98得〃2一0.9加2=0.98,即小

=49,所以n=7,

+1

即0.98是该数列中的第7项。

(n+1)2n22%+1

(2)因为。用一a“=0.

(n+l)2+l~n2+\-[(H+1)2+1](H2+1)

所以％M>«„.故此函数是单调递增数列。

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

02等差数列以及等差数列求和

【目标要求】

学习目标目标解读

1①理解等差数列的概念.

深刻理解等差数列的定义，紧扣从"第二项

②掌握等差数列的通项公式与前

起"和"差是同一常数"这两点.

n项和公式.

等差数列中,已知五个元素aXlanin.d.

S,中的任意三个，便可求出其余两个.

证明数列｛%｝是等差数列的两种基本方法

是：(1)利用定义，证明an-an-x(n>2)

为常数；(2)利用等差中项，即证明2an=an

-i+%+i(n>2).

等差数列⑥中，当a<0,d>0时，数列

｛&｝为递增数列,5有最小值；当白>0,d

<0时，数列｛&J为递减数列，S,有最大值；

当庐0时，｛aj为常数列.

2③能在具体的问题情境中，识别数列.是特殊的函数，可以看成是一个

数列的等差关系，并能用有关知识在正整数集(或其子集)上的函数，等差

解决相应的问题.数列的通项公式的变形有：

1

④了解等差数列与一次函数的关a,=an(〃1)J；d="(n>2);

n-l

系.a-a

d=%这些变形有着广泛应用，且

n-m

有明显的几何意义，如氏=dn+(a1-d)

表示斜率为d的直线上的点;故等差数列

的图象上的点是直线y=dx+(a1-d)上

均匀排开的一群孤立的点。利用函数思想

结合图象解决数列是重要的解题技巧。

【核心知识点】

一、考点透视

对等差数列性质的考查的题型即有客观题，也有解答题，难度为容易题、中等题，

客观题突出"小而巧"，主要考查数列的性质的灵活应用，解答题都为：大而全。在考

查等差数列性质中考查与其它知识的交汇，考查等价转化、分类讨论思想。利用好性质

可以起到快速准确解决问题的目的。

几个常见性质：1、数列｛4+灯，｛cflJ(c^O),｛《“,｝(meN*)等，也为等差数

列，公差分别为列cd,md,若数列｛"｝为等差数列，则｛4+2｝,｛凡-2｝也是等

差数列。

2、若加+〃=k+l(m,n,k,leN')，则am+an=ak+a,……

3、若根wN*,则S,“,邑,“一5m，邑,邑,“…构成新的等差数列，公差为md.

4、若项数为偶数2n,则S偶一5奇=〃&?=&(〃22);

S偶an+\

5、若项数为奇数2n+l,则

S奇一S偶=为十],5偶=〃。“+],S奇=(力4-=——•

3奇几+1

注：在等差数列中，经常遇到求有关的奇数项和(偶数项和)及其与项数n有关的

问题。我们可以选用以上的公式来解决，但是我们往往记不住这些公式，这时就需要结

合等差数列的性质及前n项和公式来进行突破。

【真题印证】

(2018全国1,4)

(2018•新课标I)记Sn为等差数列｛aj的前n项和.若3s3=Sz+S4,a,=2,则a5=()

A.-12B.-10C.10

考法2等差数列数列的性质

【真题印证】

“078•庚西一椁J等差数列｛aj的前n项和为Sn,若2a8=6+a”,则Sg=()

OA.27.B.36OC.45

考法3.等差数列的判断和证明

【真题印证】黑龙江哈尔滨高三模拟)数列满足

(2018•｛aMan=6--J-(neN\n

an-l

22).

(1)求证：数列｛-、｝是等差数列；

an-3

若求数歹的前项的和.

(2)ai=6,U｛lgan｝999

训练题3

（2。18•贵州凯里市高三三模）已知数列⑸｝满足am=2an+2m，且时2.

（I）证明：数列｛&｝是等差数列；

2n

（n）设数列c=M_]og言•,求数列｛Cn｝的前n项和Sn.

nri2n

【典例剖析】一…

1、利用性质求解通项问题：

例1、设数列｛an｝和电｝都是等差数列，公差分别为1和3,如果j=an+bJnwN"）

且q=4,求数列｛%｝的通项公式。

2、求某些项的值（或项和的值）

例2、设等差数列｛4｝的前〃项和为5,,若S3=9,S<,=36，则%+4+为=（）

A.63B.45C.36D.27

2

例3、已知数列｛a“｝的前n项和Sn=n+n，则q+牝+为+…+/2

3、求对应项的比

例4、已知等差数列｛4｝、也』的前n项和分别为S“，Tn,若工=办¥,求答

Tn〃+4b5

例5、已知两个等差数列｛qj和他』的前〃项和分别为和纥，且,=△一，则

n+3

使得》*为整数的正整数〃的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

4、判断项数情况

例6、若他“｝是等差数列，首项4>0,a2Go3+。20M>。，巴财，a20M<。，则使前n项

和5“>0成立的最大自然数n是（）

A、4005B、4006C、4007D、4008

例7、在等差数列｛q｝中，若4尸0,n>l,且a“i-a/+a,㈤=o,=38,

则整数m的值等于（）

A、38B、20C、19D、10

5、求公差

例8、已知｛叫是等差数列，q°=10,其前10项和%=70,则其公差d=（）

“2c1「1、2

A.—B.—C.—D.一

3333

6、判断项的情况等

例9、已知等差数列伍“｝的前n项和为377,项数为n为奇数，且前n项和中奇数项和

与偶数项和之比为7:6,求中间项。

专题专项训练题

一.选择题

1.若等比数列｛。“｝满足an>0（〃eN+）,公比q=3,且qa2a3…%）=3"，”

则qa4a7…“28的值为（）

A、1B、35C、310D、3'5

2.设口｝是等差数列，若4=3,%=13,则数列｛q｝前8项和为（）

A、128，B、80C、64D、56

3.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若$3=9,鼠=36,贝!l/+4+/=（）

A.63B.45C.36D.27

4.设S“是等差数列｛为｝的前八项和，若”=1，则?等于（）

a

39S5

A、1B、-1C、2D.-

2

A7_1_1

n

5.设数列｛a“｝和｛2｝都是等差数列，其前n项和分别为A“，纥，且才=诉h,

则叫1的值为（）一

Ki

7,3,4、78

A—R—C-D—

'4'2'3'11

6.在等差数列｛%｝中，若#0,n>l,且a,,-+区,用=0,S2m_,-38,

则整数m的值等于（）

A、38B、20C、19D、10

二.填空题

7.已知｛an｝为等差数列，生+/=22,4=7，则％=.

2

8.已知数列｛a“｝的前n项和Sn=n+n，则q+4+%+…+%=.

9.已知等差数列｛%｝的前n项和为，若2=2,则专1的值是________.

10.设等差数列｛4｝的前n项和为S“，若$4210,S5W15则4的最大值为.

三.解答题

11.等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27,求

公差d。

12.已知等差数列｛4｝满足4+%,-=2〃€N*),设S,,是数列■?,的前〃项和，

记/(〃)=邑"-5”(”V);

(1)求4；

(2)比较/(〃+1)与/(〃)(其中neN*)的大小；

(3)如果函数8(力=唾2》-12/(冷卜6［。,可)对一切大于1的正整数〃其函数值都

小于零，那么应满足什么条件。一，

13.设等差数列｛q｝的前n项和为S„,已知兀=84,S20=460,求先

2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析

02等差数列以及等差数列求和

【目标要求】

学习目标目标解读

1①理解等差数列的概念.

深刻理解等差数列的定义，紧扣从"第二项

②掌握等差数列的通项公式与前

起"和"差是同一常数"这两点.

n项和公式.

等差数列中，已知五个元素cm,d,

S”中的任意三个，便可求出其余两个.

证明数列｛”“｝是等差数列的两种基本方法

是：(1)利用定义,证明an-a„-i(n>2)

为常数；(2)利用等差中项，即证明2a„=an

-i+4”+i(n>2)__

等差数列｛&｝中，当&<0,d>0时，数列

｛4｝为递增数列，S,有最小值；当句>0,d

<0时，数列｛4｝为递减数列，S,有最大值；

当庐0时,｛4｝为常数列.

2③能在具体的问题情境中，识别数列是特殊的函数，可以看成是一个

数列的等差关系，并能用有关知识在正整数集(或其子集)上的函数，等差

解决相应的问题.数列的通项公式的变形有：

@了解等差数列与一次函数的关4=an—(n-V)d;d=———(n>2);

n-1

系.

d=上&•这些变形有着广泛应用，且

n-m

有明显的几何意义，如=d〃+(cii—d)

表示斜率为d的直线上的点；故等差数列

的图象上的点是直线y=dx+（勾-d）上

均匀排开的,一群孤立的点。利用函数思想

结合图象解决数列是重要的解题技巧。

【核心知识点】

一、考点透视

对等差数列性质的考查的题型即有客观题，也有解答题，难度为容易题、中等题，

客观题突出"小而巧"，主要考查数列的性质的灵活应用，解答题都为：大而全。在考

查等差数列性质中考查与其它知识的交汇，考查等价转化、分类讨论思想。利用好性质

可以起到快速准确解决问题的目的。

几个常见性质：1、数列｛%+身，｛-0）,｛。““｝（加€"*）等，也为等差数

列,公差分别为d,cd,md,若数列｛4｝为等差数列，则｛4+2｝,｛巴-2｝也是等

差数列.

2、若加+〃=左+/(m,n,k,lGN")，则am4-an=ak+ar

3、若mwN*,则2m…构成新的等裁列,公差为md.

4、若项数为偶数2n,则S偶一5奇=〃&m=&（〃22）；

s偶凡+i

5、若项数为奇数2n+1则S奇一S偶=%”S偶=〃♦,S奇=（鹿+1）«„+1^=-^-

3卷n+1

注：在等差数列中，经常遇到求有关的奇数项和（偶数项和）及其与项数n有关的

问题。我们可以选用以上的公式来解决，但是我们往往记不住这些公式，这时就需要结

合等差数列的性质及前n项和公式来进行突破。

【真题印证】

(2018全国1,4)

（2018•新课标I）记Sn为等差数列｛aj的前n项和.若3s3=Sz+S4,ai=2,则a5=（）

A.-12B.-10C.10

【答案】B

解：；Sn为等差数列｛aj的前n项和，3S3=S2+S4,a1=2,

.'.3x(3a1一^—=ai+a[+d+4ai+—■—d,

22

把3尸2,代入得d=・3

.as=2+4x(-3)=-10.

故选：B.

【归纳点拨】

等差数列的通项公式及其前八项和公式，共含有五个

量“，知其中三个量就能通过列方程（组）