山东省枣庄市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

2022～2023学年高中教学质量检测高一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为向量，，，所以，即.故选：C.2.已知复数满足，，则（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设复数，根据已知等式结合复数的运算即可得的值，从而求得复数.【详解】设复数因为，所以，则，又，所以，即故.故选：B.3.一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圆台的侧面积公式求解即可【详解】设圆台的上、下底面的半径为，母线长为，所以，.故选：B．4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，至少出现一次6点的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次6点的情况，再由古典概率求解即可.【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：，，，共种，其中至少出现一次6点的情况有：，共种，故至少出现一次6点的概率为：.故选：C.5.一组数据，记其均值为，第25百分位数为，方差为，则（）A.B.C.数据的均值为D.数据的方差为【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的定义，均值和方差的计算公式判断各选项即可；【详解】选项A：，所以，选项错误；选项B：，并不能准确判定均值的位置，例如：1,2,3,11,13,14,18,200,平均数更靠近后项，选项错误；选项C:根据定义，数据的均值为：选项错误；选项D:数据的方差为：，选项正确；故选：D.6.已知为虚数单位，若实数使得为纯虚数，则（）A.1 B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据纯虚数的概念列式计算.【详解】因为，所以原式为为纯虚数，所以，解得.故选：A.7.某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如下：到校方式人数平均用时（分钟）方差骑自行车203036骑电动车302016则这50名学生到校时间的方差为（）A.48 B.46 C.28 D.24【答案】A【解析】【分析】根据分层随机抽样的总样本的平均数和方差公式进行求解.【详解】由已知可得，骑自行车平均用时（分钟）：，方差；骑电动车平均用时（分钟）：，方差；骑自行车人数占总数的，骑电动车人数占总数的.这50名学生到校时间的平均数为，方差为.故选：A.8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶（视为质点）的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出初始位置时对应的角，然后根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系，将代入求解即可．【详解】设初始位置对应的角为，则，则，因为筒车转动的角速度为，所以水桶到水面的距离，当时，则有，故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于复数的四个命题，真命题的为（）A.若，则 B.若，则C.若，则的最大值为 D.若，则【答案】AC【解析】【分析】利用复数的运算可判断AB选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C选项的正误，解方程，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，设，则，，，则，从而，A选项正确；对于B选项，取，则，但，B选项错误；对于C选项，由复数模的三角不等式可得，C选项正确；对于D选项，由，可得或，由，则，解得或，D选项错误.故选：AC.10.已知点是的重心，点，，，点是上靠近点的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】先根据重心坐标公式求出重心坐标判断A选项，再根据三等分点求出点D判断B选项，再根据夹角公式计算判断C选项，最后根据模长公式求解判断D选项.【详解】点是的重心，点，，，设点，，A选项正确；点是上靠近点的三等分点，则设则即,解得，B选项正确;因,则，即，C选项错误;,D选项错误;故选:AB.11.已知为两个事件，，，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据事件概率的相关公式进行转化求解不等式即可.【详解】因为，，所以所以,即，解得.故选：BC12.如图，正方体中，是线段上的动点（不含两端点），则（）A.直线与平面相交B.三棱锥的体积不变C.平面平面D.设直线与平面所成的角为，则取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据面面平行的性质即可判断A；根据三棱锥体积转化思想分析三棱锥的体积即可判断B；由面面垂直的判断定理证明平面平面即可判断C；利用线面夹角的定义确定的关系式，结合函数确定其取值范围.【详解】对于A，如图连接在正方体中，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A不正确；对于B，由A可知平面，又，所以点到平面的距离为定值，在正方体中，可得为等边三角形，其面积为定值，故三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积也为定值，故B正确；对于C，如图，连接在正方体中，四边形为正方形，所以又平面，平面，所以因为平面，所以平面因为平面，所以，同理可得又平面，所以平面因为平面，所以平面平面，故C正确；对于D，如图过作交于，连接因为平面，，所以平面，则为直线与平面所成的角为，则不妨设正方体棱长为，设，则所以，则，所以因为，所以，则，故取值范围为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用按比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取50名学生，已知该校初中部和高中部分别有200名和800名学生，则从初中部应抽取的学生人数为______.【答案】10【解析】【分析】根据题意利用分层抽样的定义直接求解即可.【详解】由题意得从初中部应抽取的学生人数为人，故答案为：1014.正边长为2，点满足，则______.【答案】2【解析】【分析】根据基底法进行转化，代入求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：215.设事件相互独立，且，，则_______.【答案】##【解析】【分析】根据独立事件结合概率运算的性质，直接计算即可.【详解】由题知，因为，，所以，由，可得，即，故.故答案为：16.，分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为________.【答案】【解析】【分析】根据图形关系找出一个面垂直于，从而得到点的轨迹，进而得到点的轨迹所围成图形的面积.【详解】取中点，连接，设，则，，，所以，所以，因为，所以，所以，即，因为正方体中面，面，所以，因为面，，所以面，因为正方体中面，面，所以，所以点的轨迹为矩形，在直角中，所以矩形面积为.即点的轨迹所围成图形的面积为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.（1）求频率分布直方图中，的值；（2）估计该班学生数学成绩的平均分和中位数.【答案】（1）（2）平均分、中位数分别为，【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可.（2）利用平均数和中位数的定义和公式求解即可.【小问1详解】由已知得，则，所以【小问2详解】该班学生数学成绩的平均分的估计值为：，因为，，所以中位数在内.故中位数为.18.如图，在三棱锥中，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明，，然后结合位置关系即可证明平面；（2）将异面直线与平移到一个平面上，转化为面内角求解.【小问1详解】证明：连接.在中，因为，是的中点，所以，.在等边中，.在中，，，，所以，所以，即.又，平面，平面，所以平面.【小问2详解】分别取，的中点，，连接、、.因为，，分别是，，的中点，所以，分别是，的中位线，所以，，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角在中，，.因为是斜边上的中线，所以.在等腰中，.所以异面直线与所成角的余弦值为.19.数学期末考试中有8道单项选择题，满分40分，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，评分标准规定：答对得5分，不答或者答错得0分.考生甲每道单项选择题都选出了一个答案，能确定其中有5道题的答案是正确的，而其余3题中，有一道题可以排除两个错误选项，另外两个选项选择的可能性都相等；剩余两道题都能排除一个错误选项，另外三个选项选择的可能性都相等.各道单项选择题答对答错彼此互不影响.（1）求甲得满分40分的概率；（2）判断甲单项选择题得多少分的可能性最大，并说明理由.【答案】（1）（2）甲得30分的概率最大，理由见解析【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求甲得满分40分的概率，即可得结果．（2）由甲总得分的取值有25、30、35、40，再应用独立事件乘法公式及互厷事件加法公式求各对应得分的概率并比较大小，即可得答案．【小问1详解】由题意可知，在其余3道题中，三道题答对的概率分别为，，，设表示甲考试总得分，所以甲得40分的概率为.【小问2详解】甲得25分的概率；甲得30分的概率；甲得35分的概率.而甲得40分的概率为，故甲得30分的概率最大.20.已知，是不共线的单位向量，，，.（1）若与共线，求的取值范围；（2）若，是向量在向量上的投影向量，满足，求实数的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由与共线，结合共线定理求出值，则，再结合可求出的取值范围；（2）由是在上的投影向量，表示出，再结合可列方程求出实数的值.【小问1详解】因为与共线，所以存在实数，使得，即，即.由平面向量基本定理，得，.所以..所以.因为，所以，所以.【小问2详解】因为，所以，.由是在上的投影向量，得.由题意，所以.整理得，解得或.21.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，设.（1）试建立矩形的面积关于的函数关系式；（2）在（1）的条件下，当为何值时，取最大值，并求出最大值.【答案】（1）（2）当时，取最大值，且【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数定义，结合矩形面积公式进行求解即可；（2）根据正弦二倍角公式、辅助角公式、降幂公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可.【小问1详解】在中，，.在中，，故.矩形的面积小问2详解】由.由，得，当，即时，.因此，当时，取最大值，且.22.的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）已知，的平分线