高考数学一轮复习第5章平面向量的概念及线性运算配套文档理苏教版

第五章平面向量⑤

第1讲平面向量的概念及线性运算

。1»抓住4个考点必考必记夯基固本

对应学生

用书P73

考点梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量宓的大小叫做向量的区度(或模)，记作

\7B\.

(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的.

⑶单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量,任

一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

(6)相反向量：与向量&长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量.规定零向量的相

反向量仍是零向量.

2.向量加法与减法运算

(1)向量的加法：

①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

②法则：三角形法则；平行四边形法则.

③运算律：a+6=6+a；(a+Z>)+c=a+(8+c).

⑵向量的减法

①定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

②法则：三角形法则.

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)实数/与向量a的积是一个向量，记作Aa,它的长度与方向规定如下：

①|才H=|4I|a|；

②当。>0时,Aa与a的方向相同；当乂<0时,Xa与a的方向相反；当八=0时，Aa

=0.

(2)运算律：设H〃GR,则：①2(〃a)=(4〃)a；②(4+〃)a=4a+③八(a

+6)=4a+4b.

4.向量共线定理

向量6与a(aWO)共线的充要条件是有且只有一个实数A,使得6=4a.

【助学•微博】

向量平行与直线平行的区别

向量平行包括向量共线（或重合）的情况，而直线平行不包括共线的情况，因而要利用向量

平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.

一个考情分析

考查向量的儿何表示是本讲的重点，掌握这类问题.首先要理解向量的加法、减法、实数

与向量的积的几何表示，然后结合平面几何知识把所求的向量用不共线的己知向量表示出

来.

考点自测

DC

AB

1.（2012•苏北四市调研一）如图，在四边形加或中，/C和协相交于点0,设茄=a,AB

=b,若花=2应；则而=（用向量a和b表示）.

解析因为应1=质+应三肪+*葩=@+权，又茄=

所以而=|应

2DC,

答案|a+1/?

2.

如图所示，在平行四边形四＜力中，则下列结论：①施=而②而+法=必③港一正砺

④加为=0,其中正确的为.

解析①显然正确：由平行四边形法则知②正确；和—讪=葩故③不正确；④中应斗为

=砺+应=0.

答案①②④

3.设应=x^+y龙且4B,。三点共线（该直线不过端点。，则x+尸.

解析由4B,C三点共线，得存在一个实数A,

使砂AAC,即OB-OA=A（OC-应）.

所以应=（1—4）力+AOC.

又因为0B=xOA+yOC,所以x+尸（1—，）+4=1.

答案1

如图，在△47C中，AD,BE,炉分别是a；CA,4?上的中线它们交于点G,则下列等式

中不正确的是.

①反'=可应'；②而=2旗③应=

O

1—►1—►2—*•1—►

$4G；®TDA+-FC=-BC.

乙J力N

解析由题意知点G为三角形的重心，故施茏！，③错误.

答案③

5.（2012•镇江调研）若平面内两个非零向量。，£满足|f|=1,且。与£一。的夹

角为135°,贝力的取值范围为—

解析如图，在△曲6中，设近=a,应=£,则应=£一〃，由题意得I应=1,NOAB

=45°,由正弦定理，得二一°.nD,—~—匚-=啦，所以|a.=/sinAOBA,又0°

sinz_UDAsin43

＜/的＜135°,所以|a|G（0,烟.

答案（0,例

021突破3个考向研析案例递回突破

对应学生

用书P74

考向一考查平面向量的概念

【例1】（2012•浙江卷改编）设a,6是两个非零向量，下列正确的是.

①若|a+6|=|a|—b,则a_LZ＞：

②若a_L6,则|a+引=|a—b；

③若|a+引=|a|-g,则存在实数人使得6=4a；

④若存在实数人使得力=八a,则|a+6=a\~\b\.

解析对于①，可得cos〈a,b)=一1,因此不成立；对于②，满足aJ_6时|a+

b|=|a|一|引不成立；对于③，可得cos〈2b)=-1,因此成立，而④显然不一定成

SL.

答案③

［方法总结］解决这类与平面向量概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解

平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②

方向相同.

【训练1】判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.

(1)若向量a与b同向，且1司=量|,则a>6；

(2)若|a|=|目，则a与8的长度相等且方向相同或相反；

⑶若|a|=|6,且a与。方向相同，则a=b；

(4)若向量荔与向量乃是共线向量，则4B,C,〃四点在一条直线上；

(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.

解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模

相等与向量的方向无关.⑶正确.(4)不正确，因为砒物七线，而四与切可以不共线，

即47〃必(5)正确.

考向二考查平面向量的线性运算

【例2】(1)(2011•湖南卷)在边长为1的正三角形1以中，设瓦7=2施而=3宓，则诙•砺

(2)(2010•天津)如图，在中，ADVAB,~BC=^,BD,)JZ?|=1,则应•而=.

解析⑴选由，涝为基底.则

AD^—CA+^CB,BE——CB-\-\cA,二]〃.庞=(-O+；河•(-⑵+(句=-].

⑵应＞'AD=(AB+HC)•~AD=(诵+/励•~AD=

森•而+/筋•亦=#•\BD•A'D\•cos乙"次I语12=/

答案(D—；(2)/

［方法总结］在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四

边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质,

把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

【训练2】

如图，以向量^=a,应=6为边作。的ZW,瓦旗扇三段①用a、6表示凉永疏

oJ

解\~BA='OA—~0B=a~b,而血=：a—4儿

666

:.0M=0B+Sif=^a+^b.又赤=a+6.

66

/.加=++；切=；"+：勿='①='(3+方).

J乙OJJ

/.MN=ON—〃Q^a+淑一以一息=得一为

336626

-15_>22_11

即OM=-za+^b,ON=-a+-biMN--a--b.

663326

考向三共线向量定理及其应用的考查

【例3】（2012•湖州模拟）如图，在△4%'中，〃为先的中点，G为力〃的中点，过点G

任作一直线〃V分别交力氏4c于机"两点，若融标,AN=yAC,试问：工+,是否为定

xy

值？请证明你的结论.

解,+'为定值，证明如下：

Xy

设4?=a,AC=b,则4"=xa,AN=yb,

~AG=^AD=^(AB+~AC)="(a+A),

所以您=而一为/=；(a+b)

—►—►—♦

MN=AN—AM=yb~xa=—xa~\~yb.

因为您与旃共线，所以存在实数4,使麻=4而；所以4(-xa+yb)=—

久xa+4yb,又因为a与b

L=_

不共线，所以J］

匕="，

消去，，W-+-=4为定值.

xy

［方法总结］1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可

以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点.

2.对于向量的线性运算，不但要掌握几何法则，还要掌握坐标运算法则，使二者有机结

合起来.

【训练3】设两个非零向量a与。不共线.

⑴若於a+6,BC=2a+8b,宓=3(a-6).

求证：A,B,〃三点共线；

(2)试确定实数使4a+6和a+%6共线.

(1)证明,:AB=a+b,BC=2a+Bb,CD=3(a—扮.

：.BD=漆+CD=2a+8b+3(a-6)=5(a+而=5诵.

质哄线，又它们有公共点6,B,〃三点共线.

⑵解,/Aa+6与a+妨共线，

,存在实数4，使ka+b=A(a+处)，

即(A-A)a=(Ak-l)b.

又a,6是两不共线的非零向量，

:.A—4=4A-1=0.AJf-1=0.：.k=±\.

。3»揭秘3年高考权威解读真题展示

对应学生

用书P75

热点突破13高考中向量概念与线性运算的求解方法

平面向量的概念和线性运算是解向量问题的基础，高考以考查线性运算为重点，至多出一

道填空题.解答题往往以线性运算、数量积为载体，考查三角函数、解三角形等知识，总

体难度不大.三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法.

向量线性运算的解题策略

【示例】(2010•湖北卷改编)已知和点"满足语+应+该=0.若存在实数处使得诵

+AC=mA喊立,则m—.

［审题与转化］第一步：由平行四边形法则，可由法+砺+应1=（）,得"是比的重心.

第二步：

如图，以蕨说为邻边作J糜4设愈与比1交于〃则〃分别是欧与舱的中点，于是

由法1+法+应'=而+症=荡1+2访=0,得赢=2丽,所以M是的重心.

［规范解答］第三步：设4V交重于〃，由荡1+忘+症'=0易得〃是的重心，〃是

a'边的中点，所以乃=|疵葩+应'=2茄=3疝4即卬=3.

［反思与回顾］第四步：在向量运算的三角形法则和平行四边形法则中，构造平行四边

形用平行四边形法则较为常用.另外，在中，若而+砺+应1=0；则材是△力回的重

心.反之也成立，作为结论要牢记.

高考经典题组训练

（2011•四川卷改编）如图，正六边形47碗F中，及1+加旗=.

解析因为威=应所以应+而+够=而+应+旗=农

答案CF

2.（2012•辽宁卷改编）已知两个非零向量a,6满足|a+6|=

\a-b\,则下面结论：

①a〃6；②a_L6；③,a［=|引；®a+b=a-b.

正确的序号是________.

解析用几何法，以a,6为邻边构作平行四边形，则由|a+引=|a—引，得这个平行四

边形对角线相等，从而它是矩形，所以仅②正确.

答案②

3.（2010•四川卷改编）设点"是线段宽的中点，点［在直线比'外，比2=16,\'AB+AC

\=\AB-AC\,则|沏=

解析

•.•瓦・16,二.|瓦1=4,由刖正|=|施一位1,得以诵，应为邻边构作的口/应r是矩形,

"是其对角线交点，所以I9=自而=,4=2.

答案2

4.（2010•全国卷n改编）在△1a1中，点〃在边圈上，5平分N/CB若乃=a,CA=b,

\a=1,\b\=2,则而用a,6表示为.

trr2rrtr99

解析由角平分线性质，得|/〃|=2|。6|,即/〃=鼻49,・・・切=。+力〃=力+不（4—6）=可日

o015

答案|a+|z>

5.（2011•上海卷改编）设4、4、4、4、4是空间中给定的5个不同点，则使该+疏+

.，就+.就+，麻=0成立的点M的个数为.

解析特殊化.若麻+加产0,则"是线44的中点；若赭+,麻+麻=0,则"是△444

的重心，由此可得满足勃11+物2+,的：$+物1|+物5=0的点〃的个数是1.

答案1

042限时规范训练阶梯训练啦

对应学生

用书P291

分层训练A级基础达标演练

（时间：30分钟满分：60分）

一、填空题（每小题5分，共30分）

1.（2012•淮安调研）设a与b是两个不共线向量，且向量a+46与一（6—2a）共线，则A

解析依题意知向量a+才6与2a—6共线，设a+46=A（2a—6）,则有（1—2衣）a+（〃

‘1—24=011

+4）6=0,所以|,人解得★=$，A~~o-

A+A=0zz

答案一

2.（2013•泰安模拟）设a、b是两个不共线向量，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a—2b,若力、

B、〃三点共线，则实数夕的值是.

解析因为筋=能+而=2a—6,又4、B、，三点共线，所以存在实数4，使诵=4应.

（2=2A,

即,：.p=~l.

一4，

答案T

3.在。4BCU中,点E、尸分别是必和况的中点，若就、=4症+“荔

其中X,JJeR,贝IjA+p=_____.

解析如图，设森=a,讪=b,则

AC=^+Aff=a+Af

~AF=BF=a+~Z?,

~AE—~AD+~DE=^a+b,所以亚+诵'=5(1+6)=/Z,

即於=,症+|然所以4=〃=1,A+JJ=1.

答案1

4.在中，已知点〃为及7边上的中点，点—满足以+弧存=0.淳=4为，则实数4

的值为.

解析如图所示，由前三入百）,且西+丽苏二0,则P为以AB、

A

4C为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此力=—2力，则A

=-2.B/I。\

答案一2'、、'/'

、、，/

5.已知。是平面上一定点，4B,。是平面上不共线三点，动点〃p

满足尻应+4（AB+AC）,4G[0,+8）,则动点尸的轨迹一定通过△｛比■的

心.

解析设〃是回边中点，则通+花=2而，于是山条件得苏三，花，即尸在中线所在直线

4〃上，所以0点轨迹必过△4T的重心.

答案重心

6.（2011•青岛模拟）如图所示，设。是内部一点，且应+2南

+20?=0,则△/}a'和△穴的面积之比为

解析以烟，0C为邻边作。6®%,0E交BC于D,如题图，由已

知条件2应+2亦=一而，则崩=2宓=4应即羽=5应因此

SAUIC14〃I_5

s△郎|近,

答案5：1

二、解答题（每小题15分，共30分）

7.如图，在中，延长的到G使力。=胡，在/上取点〃

使女=；如.设应=a,0B=b,用a,6表示向量。C,DC.

J

解充=应计应'=宓+2洒=应+2（而一应=2而一应=2

2r25

—b,DrC=0Cr—0rD=0rC--0B—(2a—b)~7b=2a~^b.

ooo

8.如图所示，在中，点〃是优的中点，点N在边上,且加

=2NC,4"与即相交于点P,求在：掰的值.

解设BM=e,GV—e-,

则疝U应'+扇=-3ft-ei,

前=2e、+m,因为4R"和8、P、、分别共线，所以存在人

〃eR,使其AAM=-4&-3才&,左〃旃-2〃。+故而=弧於（1+2〃）a

+（34+〃）金，

而加=比+万=2&+3e2,

A「-15’

A+2〃=2,

所以3八+，=3,所以

3

所以屁，位所以於翔即心：*4：1.

分层训练B级创新能力提升

1.（2012•泰州模拟）如图所示,在△力优1中,已知点〃在AB边

_-“A——A—►1",►►

上，旦AX2DB,CD=~CAA-ACB,贝U』=.

o

解析因为尻西十功

一2一一2,一―、

=CA-¥-AB=CA+-{CB—CA）

oo

1f9r2

—TCA+TCB,所以A--

O«Jo

2

答案3

2.（2012•镇江调研）如图所示，在△/优1中，~BD=^DC,AE^A

若AB=a,AC=b,则朦=（用&b表示）.

解析BE=Wl+AE=&4+^Ab

=扇+,（诵+曲=加+|诵+|诙

=一（葩+,＞＜上比=诵+；（南+而

答案-

3.若点。是比所在平面内的一点，且满足|宓一龙1=I丽应'—2而，则△4?。的形状为

解析dB+0C-20A=dB-0A+0C-0A=7B+AC,OB-OC=CB=AB-AC,A)^+^|=|J5

-AC\.

故4B,C为矩形的三个顶点，为直角三角形.

答案直角三角形

4.若。是平面上一定点，A,B,，是平面上不共线的三个点，动点P满足宓=泊+

(——\

ABAC

A——+——AG[0,+8）,则点一的轨迹一定通过△/%的.心.

U而\AC\J

-►-►

解析如图，设而=也，＞=—,以后就为邻边构作。

I湎I而

AMDN,则。4"V是边长为1的菱形，所以AD平分NBAC,于是

由苏=4办口动点P必过的内心.

答案内

5.已知点G是△/回的重心，"是4?边的中点.

(1)求应+市+私

(2)若尸0过△460的重心G,且A4=a,0B=b,0P=ma,0Q=nb,求证：-+-=3.

mn

⑴解因为而+为=2威又2密=一急所以而+市+诙=一赤F&?=0.

(2)证明因为场三g(a+b),且G是的重心，

r9r1

所以0G=W〃》=W(a+6).由RG,。三点共线，

OO

得瓦〃而，所以有且只有一个实数Af使瓦'=AGQ.

又诙=^_^=[(a+8)-/〃a=(；一,

~GQ=~0Q—~0G=nb—^(a+H)=-*+(〃-热

所以«4+("一孤

fl*

§—"/=一[

又因为a、b不共线，所以j

,小一

消去X，整理得3%〃=加+〃，故'+'=

=3.

mn

D,E分别是9/if

6.如图所示，已知△力%的面积为14cm2,

>一

究上的点，目噂=培=2，求△4PC的面积

DBEC

解设/夕=a,BC=b,则荏DC=

所以存在力-----------、

因为点4P,£和点〃P,。均三点共线，p-----B

rr2f龙=1〃a+

和〃，使得力?=4AE—4a+-4b,DP=〃

〃b.

\^=I+|A,

又因为诵=乃+苏2=(|+g〃)a+所以有<|2解得ATH=11

44X(L§=2(cm2),

所以见*=78械=7*14=8(cm),5k收=14：

故S^APC=-14—8—2=4(cm).

第2讲平面向量基本定理及坐标表示

0b抓住2个考虑必考必记夯基固本

对应学生

用书P76

考点梳理

1.平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理

如果8,金是同一-平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量&有且

只有一对实数九，八2,使2=3&+力处.

其中，不共线的向量e”a叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

(2)平面向量的正交分解

一个平面向量用一组基底6,会表示成a=的形式，我们称它为向量a的分

解.当a,6所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.

(3)平面向量的坐标表示

对于向量&当它的起点移至原点。时，其终点坐标(x,力称为向量a的坐标，记作a=

(x,E.

2.平面向量的坐标运算

(1)加法、减法、数乘运算

向量aba+ba-b4a

(汨+「，(人一二，

坐标（矛1,71）(期72)(，小，/I%)

力+度)力一④

(2)向量坐标的求法

已知履小，yi),8(*2,%)，则诵=(及一72—y,),即一个向量的坐标等于该向量终点

的坐标减去始点的坐标.

(3)平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,%),b=(,X2,㈤，其中6WO,

则a与方共线u>a=0枚=>为次一在“=0.

(4)平面向量垂直的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,女)，

贝ijakb<=>a,6=0<=>乂e+.几匕=0.

【助学•微博】

两点注意

平面向量的基本定理是向量用坐标表示的理论基础，要特别注意两点：一是两个不共线的

向量才能作为基底；二是任意一个向量用基底表示时的唯一性.

一个考情分析

向量的基本运算包括几何运算和坐标运算.在高考中经常考查两个向量平行、垂直的坐标

运算；向量的几何运算主要利用向量的平行四边形、三角形法则解题，关键是充分利用几

何图形的性质进行转换和化简，用已知向量表示出未知向量.

考点自测

1.已知ai+邑-]--Fa“=O,且a〃=(3,4),则a[+a2H-----—

解析ai+a.H-----a„-\=-a„=(-3,—4).

答案(一3,-4)

2.若向量a=(1,1),b=(-1,1)>c—(4,2),用a,b表示c,贝llc=

x—y—4,

解析设c=xa+y6,则，••c=3ab.

x+y=2,y=-l.

答案3a—b

3.(2012•南京一模)若向量a=(2,3),6=(x,-6),且@〃6,则实数x=.

解析a//b,；.2X(—6)—3Xx=0,x——4.

答案一4

4.设向量a=(L-3),6=(—2,4),若向量4a、3b-2a、c表示的有向线段首尾相接

能构成三角形，则向量c=.

解析设c=(x,y),则4a+(3b—2a)+c=0,

.14—6—2+x=0,]x=4,

・1-12+12+6+y=0,"V=-6.

答案(4,-6)

5.(2012•扬州中学质检三)已知G,G分别是△48G与44员C的重心，且襦就

=e2,C\Ci=&3->则GG=(用ei,ez,e?表示).

解析由44=46；+GG+G4=e/,①为合=3G+GG+G8=ez,②GG=GG+GiG+GC

=e3,③且G,G分别为与△力2氏C重心，即4G+3G+GG=0,&/I2+G员+GC=

①+②+③整理，G\&e2-\~63).

0,W-o

答案~(e；+&+ej

02»突破3个考向研析案例考向突破

对应学生

用书P76

考向一平面向量基本定理的应用

【例1】如图所示，在△/优中，〃为回上异于8,C的任一点，”为4/的中点，若刘仁

4葩+IJAC,贝lj4+〃=.

解析由属〃，C三点共线，可令和x漉+(1-王)而又"是4〃的中点，所以疝三；万/=

Jx港+1(1—x)而又^=4而+〃花所以4+〃=；x+;(l—x)=1.

乙乙乙乙乙

田d1

答案2

［方法总结］应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则

进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后,

任一响量的表示都是唯一的.

【训练1］如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若应?="宿+y就；则x=

>/=■

解析

以"所在直线为x轴，以力为原点建立平面直角坐标系(如图)，令4?=2,则成=(2,0),

应‘=(0,2),过〃作"U/8交U的延长线于£由已知得所=即=4,则莅)=(2+，5,

"：~AD=xAB^-yAC,：.(2+^3,/)=(2x,2y).

=1+业

(2+m=2x,r2，

即有VL解得＜L

1^3=2y,_^3

V2

答案1+乎乎

考向二平面向量的坐标运算

【例2】(2013•盐城模拟)已知a,8是两个不共线的非零向量.

⑴设为而tb(tQ0,龙；(

=a,==a+b),当4B,C三点共线时，求t的值;

O

(2)

七

0D

如图，若a—~OD,b=7)E,a与b夹角为120°,|a|=h|=l,点夕是以。为圆心的圆弧法

上一动点，设苏=x^+y应'(x,HR),求x+y的最大值.

解(1)由题意，可设y!B=kBC,

,得仍一〃=$+《一%,

将力〃=应一以=tb~a,BC=OC—OB=~^a+代入上式:

解得Q—3,f=1.

⑵法一以。为原点，勿为x轴建立直角坐标系，

则〃(1,。),旧,手)

设N/W=o(0W。则P(coso,sin。).

由OP=xOD+yOE,得cosa—x—^y,sina—斗y,

21

所以j=^sina,x—cos。+小sina,

所以x+y=cos4+/sina=2sin(。

又OWawg,故当。=一■时，x+y的最大值为2.

<5J

法二设NAOAa(0WaW答)，由宓•应=*应•应+y庞•应，OP•OE^xOD-OE+

yOE-赤

2n

可得cosacos|

a=-5+y.

于是x+y=2cos

又OWoW等,故当。=一~时，x+y的最大值为2.

OM

[方法总结]利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等向量坐标相同这一原则，通过

列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要

注意向量的方向，不要写错坐标.

【训练2】(2012•常州第一学期期末考试)已知如xWR,向量a=(x,—而,b=(5

+1)x,x).

(1)当勿>0时,若|a|〈|引，求X的取值范围;

⑵若a•6>1—如对任意实数x恒成立，求股的取值范围.

解(1)\a\~~x+nf,b(®+l)'/+/,

因为|a|〈㈤,所以a\X\b\2.

从而X<(Z7/+1)V+Y.

因为勿>0,所以IM)%/，

解得点一$或>>-£7.

m+1m+1

即X的取值范围是(-8,+8).

(2)a•b=(zzz+1)/—/»x

由题意，得(加+l)f-zzzx>l一卯对任意的实数x恒成立,

即(///+1)x—mx+m-1>0对任意的实数x恒成立.

当/zz+l=O,即加=—1时，，显然不成立，

[/2/+1>0,

所以2.

[m—4/zH-1m—1<0.

解得,2m所以就邛^

而弋~或成—-卜，3

*5o

即0的取值范围是图，+8).

考向三平血向量共线的坐标运算

【例3】(2012•无锡第一学期期末考试)期知a=(sina,sin£),b=(cos(a—B),

ji

—1),c=(cos(a+£),2),a,工.

(1)若力〃c,求tan”an£的值；

(2)求a+b•c的值.

解(1)由b〃c,得2cos(。一£)+cos(。+£)=0,

所以2cos<7cos£+2sinasin£+cosocos£-sinasin£=0,

即3cosQCOS£+sinsin£=0.又a,£#在兀十万(〃£2),

所以tanotan£=一3.

(2)才+，•c=sin*a+sin'£+cos(a—£)cos(a+£)—2

=sin2a+sin'^+cos2Qcos“£—sir?asin2^—2

=sin2a(1—sin27?)+cos2acos2S+sin?£—2

=(sin2a+cos2a)cos?£+sir?£—2

=cos2^+sin2^—2=1—2=—1.

［方法总结］在向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用

坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其

中的参数值.

【训练3】(2012•南京二模)设向量a=(2,sin夕)，6=(1,cos夕)，。为锐角.

(1)若3・b=竽，求sin夕+cos，的值；

6

⑵若a〃6,求sin(2，+总的值.

13

他单(1)由a・b=2+sin®cos<^=—,

6

得sincos8=z

6

14

/.(sin0+cos3)2=l+2sin9cos夕=1+彳=W.

OO

又0为锐角，所以sin8+cos。=乎.

(2)山a〃5,得2cos。-sin0=0,所以tan8=2.

21

又，为锐角，所以sin。=诟，cos。=诟，

八八42八3

sin20=2sinOcos0=-cos20=2cos"0—\=

ofb

所以sin(2O+*)=sin2^co^+cos2夕sirr^-=gxJ—乎

\oJoo□Z□z1U

03JL揭秘3年高考权威解送真题展态

对应学生

用书P78

热点突破14利用平面向量基本定理解题的技法

纵观近几年的高考试题，高频考点的主要考查内容为平面向量基本定理，以平面图形为载

体，考查向量的平行四边形法则和向量坐标形式的运算.试题难度较大.

【示例】

如图，平面内有三个向量应，OB,0C,其中而与应的夹角为120°,而与应的夹角为30。，

£L\OA\=\0B=1,|应'|=2m，若应'=4而+“宓(4，uSR),贝IJ才+”的值为

［审题与转化］第一步：构造以宏为对角线的平行四边形，利用平面向量基本定理解题

或以。为原点，物为入轴建系，利用坐标法求解.

［规范解答］第二步:

法一如图，应三函+就，|宓|=2,|而11=|就|=4,：.OC^4OA+2OB.

.・.4+〃=6.

法二以。为原点，的为入轴建立直角坐标系，则4(1,0),以2m(；0S30°,2#5打30°),

5(cos1200,sin1200).

即4(1,0),C(3,回彳一/g),

A=3,

〃=2,

由龙'=A0A+u0B,得＜.,*久+〃=6.

4=4,

12

［反思与回顾］第三步：向量的坐标运算，实现了向量运算的代数化，将数与形密切结

合起来，使很多几何问题的解决转化为数量运算，解题中要注意数形结合思想的运用.

高考经典题组训练

1.(2012•广东卷)若向量切=(2,3),方=(4,7),则瓦=

解析瓦:=血+左=加一近=(一2,-4).

答案(一2,-4)

2.(2012•重庆卷改编)设x,yGR,向量a=(x,1),b=(1,y),

c=(2,—4),且a_Lc,b//c,则a+b=.

a_Lc,2x-4=0,

解析山得所以a=(2,1),

b//c,2y+4=0,

b=(1,—2),a+b=(3,—1),故|a+b|=〈lb.

答案Vio

3.(2011•广东卷改编)已知向量a=(1,2),6=(1,0),c=(3,4),若A为实数，(a+

4b)〃c,贝ij4=.

解析a+46=(1+X,2),于是由(a+4a)〃c,

得(1+4)X4—3X2=0,解得A=1.

自1

答案2

4.(2012•安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点。(0,0),0(6,8),将向量原绕点。按逆

时针方向旋转T后得向量力则点。的坐标是

解析山题意，得I苏1=10,由三角函数定义，设2点坐标为(lOcose,lOsine),则

cos'=|，sin"=3，则0点的坐标应为(10cos(-)，10sin(由三角

知识得

10cos(0+^~^=—7^/2,lOsinf。+年

；.0(-7一回

答案(-7/，-y/2)

5.(2009•天津卷)在四边形45G9中，为=应、=(1,1),△-瓦H■—二瓦:="工质，则四

|而||反1\'BD\

边形4%力的面积为

AB

解析由荔=虎=(1,1)知4?统":

又」-瓦1+」一瓦=逆-丽知四边形49缪为菱形，月一

|瓦H\'BC\\BD\

乂.(|丽\BC\.3,

.•.NA?C=60°,Bg乖,：.ZBAJ^120Q.

故sinNBAD—,，Si，q边彩

答案y/s

N上限时规范如练阶梯训练熊力提在

对应学生

用书P293

分层训练A级基础达标演练

(时间：30分钟满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1.在口力腼中，若祛=(1,3),就'=(2,5),则旌,砺=.

解析葩=瓦=左一宓=(1,2),瓦H乃一荔二(0,-1).

答案(1,2)(0,-1)

2.(2012•揭阳一模)已知a=(1,2),6=(—1,1),若a,(a—，"),则实数4=.

解析由a—46=(1+4，2—/)与a=(1,2)垂直，得1+乂+2(2—1)=0,解得八

=5.

答案5

3.在△4%中，a,b,c为内角4B,。的对边，向量卬=(1,4)与〃=(cosA,sinA)

平行，且acosB+bcos1=csinC,则角B=.

解析由"与〃平行，得y[3cosJ—sinJ=0,

所以tanA=yfs,力=彳.又由acosB+bcosA=csinC,

得sinC=l9所以〃=看.

答案T

6

4.已知4(7,1)、以1,4),直线y=；ax与线段四交于C,且应'=2CB,则实数a=——.

解析设C(x,力，则47=(x—7,y—1),CB=(1—x,4—y),

x~l=21—X,x=3,1

•.•能=2宓解得，C(3,3).又,：C在直线y=-ax

y-l=24—y，7=3./

,1

上,3*3,**•^=2.

答案2

5.如图，在四边形力及力中，16=242=1,4C=小,且看,

""，设位'=，~AB-\-u~AD,则4+“=

解析建立直角坐标系如图，则由左=/