2016年高考理科数学真题+模拟新题分类汇编：G单元立体几何

G单元立体几何

G1空间几何体的结构

14.Gl［2016•浙江卷］如图1-3,在△/4C中,AB=BC=2,120°.若平面45C

外的点P和线段4C上的点。，满足尸。=D4,PB=BA,则四面体P8CZ)的体积的最大值

是.

14.1［详细分析］在△48C中，因为/8=BC=2,N/8C=120°,所以

=30。.由余弦定理可得4d=/82+5心一2/a8Ccos120°=22+22-2X2X2cos120°=

12,所以/C=2小.

AD=x,0<x<2y［3,则。C=2小一x,S^DC^PD•DC-smZPDC^x(2yf3-x)sin

ln

/PDC,易知当“=小，NPOC=E时，△POC的面积最大，此时力CJ_8。，ACLPD,且

。为AC的中点，当8。J_平面尸DC时，高为最大，故四面体P8CZ)的体积的最大值是女义；

X小X小Xl=g.

17.Gl、G7、B12［2016•江苏卷］现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的

形状是正四棱锥尸-小5G2,下部的形状是正四棱柱488-a(如图1-5所示)，并

要求正四棱柱的高OQ是正四棱锥的高POX的4倍.

(1)若N8=6m,PO|=2m,则仓库的容积是多少？

(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当尸O1为多少时，仓库的容积最大？

17.解：(1)由尸Oi=2知QO=4尸。|=8.

因为小5]=/5=6,

所以正四棱锥尸-48CQ1的体积人=；•小游•PO|=；X62X2=24(0?),

正四棱柱/8CD-/IB|G£)j的体积Vtt=AB2-6>10=6^8=288(013).

所以仓库的容积K=Kffi+/s=24+288=312(m3).

(2)设小S=a(m),POi=%(m),则0<X6,OQ=4瓦连接。山

因为在RtAPO向中，OXB]+PO\=PB],

所以冬+后=36,即/=2(36—川).

11->OA

于是仓库的容积P=P柱+P推=。2•4〃+乎2・/i=—672/?=—(36/7—/73),0</：<6,

从而片=竽（36—3"2）=26（12一//）.

令『=0,得〃=2小或/?=一2#（舍）.

当0<〃<2小时，V>0,『是单调增函数；

当2小<〃<6时，r<o,r是单调减函数.

故〃=2小时，-取得极大值，也是最大值.

因此，当PO|=2小m时，仓库的容积最大.

G2空间几何体的三视图和直观图

6.G2［2016•北京卷］某三棱锥的三视图如图1-2所示，则该三棱锥的体积为（）

A.6B.1

C.g

D.1

6.A［详细分析］根据三视图得到如图所示的直观图.根据题意知三棱锥的底面三角

形是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高/?为1,故其体积厂=；S"BC・〃=；X；X

ixixi4

6.G2［2016•全国卷I］如图1-1,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两

OQJJ

条互相垂直的半径.若该几何体的体积是芋，则它的表面积是（）

图1-1

A.17nB.18"C.20nD.28n

74

--

6.A［详细分析］该几何体为一个球去掉八分之一，设球的半径为r,83

R冗74

解得尸=2,故该几何体的表面积为X22+^X冗X2?=17兀.

Jo

9.G2［2016•全国卷HI］如图1-3,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多

面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

图1-3

A.18+3&V5B.54+184

C.90D.81

9.B［详细分析］由三视图可知，该几何体为二个平彳,六面体,其上、下底面是边长

为3的正方形，高为6,故其表面积S=2X（3?+3X产出+3X6）=54+18小.

13.G2,G7［2016•四川卷］已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱

锥的正视图如图1-2所示，则该三棱锥的体积是.

13坐［详细分析］由图易知正视图是腰长为2的等腰三角形，•.•三棱锥的4个面都是

腰长为2的等腰三角形，

二三棱锥的俯视图与其正视图全等，且三棱锥的高人=1,

贝IJ所求体积产=轲=9X2小X1）X1=坐

6.G2［2016•全国卷D］图1-2是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何

体的表面积为（）

图1-2

A.20nB.24n

C.28nD.32Ji

6.C［详细分析］几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为厂，周长为c,圆锥母线长为/,圆柱高为人.

由图得r=2,c—2nr—4n,h=4,由勾股定理得/=>2：+（2小）？=4,

故S*="/+c/?+nrl=4兀+16n+8n=28Ji.

5.G2,G8［2016・山东卷］一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图1-2所示,

则该儿何体的体积为（）

图1-2

1,2„1,V2

A.g+］nJt

号+/D.1+9

5.C［详细分析］由三视图知，四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥，半球的

直径为啦，.•.该几何体的体积为:Xixixi+axgxn（¥'）=；+*“.

ll.G2［2016•天津卷］已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图1-2

所示（单位：m）,则该四棱锥的体积为_______m3.

图1-2

11.2日羊细分析］根据三视图可知，该四棱锥的底面积S=2X1=2,高6=3,故其

体积K=2X3x|=2.

11.G2［2016•浙江卷］某几何体的三视图如图1-2所示(单位：cm),则该几何体的表面

积是cm2,体积是cm3.

不

2

+

不

2

土

俯视图

图1-2

11.7232［详细分析］该几何体的直观图如图所示，该几何体是由两个相同的长方

体放在一起构成的，而每个长方体的体积为2X2X4=16(01?),表面积为2X(2X2+2X4

+4X2)=40(cm2),故几何体的体积为16X2=32(cn?),表面积为2X40—2X2X2=72(cm2).

G3平面的基本性质、空间两条直线

ll.G3,G4［2016•全国卷I］平面a过正方体的顶点/,a〃平面

aA平面aC平面488］小=〃，则加，〃所成角的正弦值为()

A当B.坐

11.A［详细分析］因为平面a〃平面CSQ,所以平面a与平面的交线平行

于平面CB\D\与平面ABCD的交线/.因为在正方体中平面ABCD平行于平面4SCQ］,所

以/〃801，所以加〃囱G.同理,〃平行于平面CBQi与平面工防|小的交线.因为平面

〃平面CDD£,所以平面CBQi与平面ABB内的交线平行于平面CB。与平面CDD©

的交线CG，所以〃〃81.故加,〃所成的角即为8a，C。所成的角，显然所成的角为60°,

则其正弦值为坐.

6.G3,A2［2016•山东卷］已知直线a,6分别在两个不同的平面a,£内，则''直线a

和直线6相交”是“平面a和平面夕相交”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.A［详细分析］当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相

交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点.

G4空间中的平行关系

ll.G3,G4［2016•全国卷1］平面a过正方体Z8CZ）-/向的顶点4a〃平面C81A，

aC平面an平面则W,〃所成角的正弦值为（）

A坐B坐

11.A［详细分析］因为平面a〃平面CB01，所以平面a与平面HBCD的交线m平行

于平面CBQi与平面ABCD的交线/.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A}B\C\DX,所

以/〃8。”所以m〃同理,〃平行于平面CBQi与平面Z881小的交线.因为平面小

〃平面CDDiG，所以平面与平面ABB\Ay的交线平行于平面CBD与平面CDD©

的交线C。”所以故加,〃所成的角即为BiDi，CDi所成的角，显然所成的角为60°,

则其正弦值为坐.

14.G4,G5［2016•全国卷H］a,△是两个平面，加，〃是两条直线，有下列四个命题：

①如果/n_L",m_La,"〃夕，那么aL?.

②如果m_La,n//a,那么

③如果a〃'，那么〃及

④如果加〃”，a//p,那么机与a所成的角和"与4所成的角相等.

其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）

14.②③④［详细分析］对于①，机_L〃，，*_La,〃〃夕，则a,夕的位置关系无法确定,

故错误；对于②，因为“〃a,所以可过直线〃作平面y与平面a相交于直线c,则〃〃c,

因为所以机_Lc,所以mJ_〃，故正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确;

对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.

17.G4,G5,GU［2016•北京卷］如图1-3所示，在四棱锥P-N8CZ）中，平面以O_L

ABCD,PALPD,PA=PD,AB1.AD,/8=1,NZ>=2,AC=CD=p

（1）求证：平面物氏

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

(3)在棱处上是否存在点使得8M〃平面尸8?若存在，求7方的值；若不存在,

说明理由.

17.解：(1)证明：因为平面以。_L平面/8C。，ABVAD,

所以N8_L平面为。，所以A8_LPD

又因为所以尸。，平面为A

⑵取ZO的中点O,连接尸。，CO.

因为刃=P£>,所以PO_L/D

又因为POu平面以D,平面/MD_L平面Z8CD,

所以尸OJ_平面力8CD

因为COu平面488,所以尸OJ_CO.

因为/C=C£),所以COL/D

如图建立空间直角坐标系。-kz.

由题意得，4(0,1,尸(0,0,1).

设平面PC。的法向量为〃=(x,y,z),则

n-PD=0,-y—z=0,

即

2x—z=0.

n-PC=0,

令z=2,则x=l,y=—2,

所以"=(1,-2,2).

又无=(1,1,-1),所以

n-PB

cos(n,PB)

3'

\n\\PB\

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为坐.

(3)设M是棱以上一点，则存在2口0,1］使得而=2力

因此点M(0，1一九A)>施=(一1，一九Q.

因为BMC平面PC。，所以8M〃平面尸8,当且仅当加/•"=(),

即(一19—九2)-(1,—2,2)=0,

解得T

所以在棱处上存在点M使得8M〃平面PCL»,此时嘿=；.

/iI4t

16.G4、G5［2016•江苏卷］如图1-4,在直三棱柱N8C-小81cl中，D,E分别为G8,

8c的中点，点尸在侧棱8山上，且凡

求证：(1)直线。E〃平面小。/；

(2)平面B0£_L平面小GF.

16.证明：(1)在直三棱柱/8C-486中，AXCX//AC.

在△N8C中，因为。，E分别为"5,8c的中点，

所以DE〃4C,于是。£〃小G，

又因为DEC平面小GF,小Gu平面小GF,

所以直线。E〃平面4GE

(2)在直三棱柱Z8C-481G中,4/_L平面481G，

因为小Gu平面小8C”所以小/工小C”

又因为4GJ-小81，441U平面力881小，小81U平面4881小，AlAOAlBl=Ai，

所以小G_L平面小.

因为8Qu平面”8名小，所以4G_L8。.

又因为8QJ_小尸，小Gu平面小G尸,—u平面4G尸，——ri小尸=小,

所以80，平面小GE

因为8Qu平面BQE,所以平面平面小GF.

19.G4、G川2016•全国卷m］如图1-5,四棱锥P-N8C。中，物，底面

AB=AD=AC=3,以=5C=4,M为线段上一点，AM=2MD,N为尸C的中点.

(1)证明：A/N〃平面以8；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

19.TN,由N为尸C

的中点知力V〃8C,7N=；8C=2.

又AD"BC,所以77V触故四边形/MNT为平行四边形，干是MN//AT.

因为ZTu平面为8,平面以8,所以MN〃平面/MB.

(2)取8c的中点E,连接ZE.由力8=ZC得ZE_L8C,从而AE=yjAB2~BE2

以4为坐标原点，崩的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系/-xyz,

由题意知，

P(0,0,4),M0，2,0),C(V5,2,0),N(坐，1,2),

PM=(O,2,-4),PN=(半，1,-2),AN=(琴1,2).

2y—4z=0f

n-PM=O,即《、后可取〃=(0,

设”=(x,y,z)为平面PMN的法向量，则，

学r+y—2z=0,

“的=0,

2,1),

于是|cos〈〃，AN)|=----L=-rr-.

同的

故直线4N与平面所成角的正弦值为缓.

18.G7,G4,GU[2016•四川卷]如图1-4,在四棱锥G-/BCD中,AD//BC,ZADC

=/附8=90°,BC=a>=yDE为棱/。的中点，异面直线均与CQ所成的角为90°.

(1)在平面R1B内找一点A1,使得直线CW〃平面尸5E,并说明理由；

(2)若二面角尸-CO-4的大小为45°,求直线Ri与平面PCE所成角的正弦值.

图1-4

18.解：(1)在梯形N2CD中，与CD不平行.

延长力8,DC,相交于点M(MG平面RI8),点M即为所求的一个点.理由如下:

由已知，BC//ED,且8C=ED,

所以四边形88E是平行四边形，

从而CMHEB.

又E8u平面PBE,CMC平面PBE,

所以CM〃平面P8E.

(说明：延长4P至点N,使得"=PN,则所找的点可以是直线MV上任意一点)

(2)方法一：易知物JL平面Z8CD由已知，CDLPA,CD1,AD,PA^AD^A,

所以CQ_L平面以£),

从而CDLPD,

所以NPD4是二面角尸-C。-4的平面角，

所以NPD4=45°.

设8c=1,则在Rt△以。中，PA=AD=2.

过点4作交CE的延长线于点〃，连接

因为以_L平面/BCD,

所以fi4_LCE,

于是CE_L平面PAH,

所以平面PCE工平面PAH.

过“作于点。，则平面尸CE,

所以N/尸”是以与平面尸CE所成的角.

在RtZXZEH中，ZAEH=45°,AE=\,

所以/”=乎.

在中，PH=y)PA2+AH2^^-,

4H1

所以sinN4PH=后=)

方法二：由己知，CO_LH,CDVAD,PAQAD=A,

所以CD_L平面PAD,

于是CZ)_LP。，从而/PD4是二面角P-CD-/的平面角，

所以/PD4=45°.

由PAVCD,可得以_L平面/BCD

设8c=1,则在Rt△口。中，孙=/。=2.

作*，N。，以/为原点，以疝，成的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系Z-xyz,则4(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(l,0,0),

所以无=(1,0,-2),EC=(1,1,0),AP=(0,0,2).

设平面尸。£的法向量为"=(x,)，，z),

n徒=0,x—2z=0,

由,得'设x=2,解得"=(2,-2,1).

/+歹=0,

nEC-0,

\n-AP\2\

设直线处与平面PCE所成角为a,则sin一|川・丽=2义7?+(_2)2+12=7

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为;.

17.G4,G5,Gll[2016•山东卷]在如图1-4所示的圆台中，/C是下底面圆。的直径,

"是上底面圆。，的直径，F8是圆台的一条母线.

（1）己知G,，分别为EC,F8的中点，求证：G"〃平面/8C；

(2)已知EF=F8=5C=2S，AB=BC,求二面角F-8C-/的余弦值.

图1-4

17.解：（1）证明：设FC的中点为/,连接G/,H/.在ACEF中,因为点G是CE的中

点，所以G〃/EF.

又EF//OB,

所以GI//OB.

在△CE8中，因为，是用的中点，

所以HI〃BC.

又HICGI=I,

所以平面G4/〃平面/8C.

因为GHz平面GHI,

所以G“〃平面"8C.

EP'F

G-…w

OCB

A

（2）方法一：

连接OO，，则OO，_L平面ABC.

又AB=BC,且/C是圆。的直径，所以80_L4c

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-乎.

由题意得8（0,2小,0）,C（一2小,0,0）.

过点尸作FM垂直。8于点M,

所以FM=7FB2—B得-3,

可得尸（0,市,3）.

故病=(一2小，一2小，0),BF=[0,一,，3).

设，〃=(x,y,z)是平面BCF的法向量.

m-BC=O,(-2y[3x_2y{3y—0)

由＜可得:■

J泳=0,I-a+3z=0,

可得平面BC尸的一个法向量为m=(—1,1,坐).

因为平面Z8C的一个法向量为"=(0,0,1),

mses、,“，”/一网.向一7-

所以二面角F-BC-A的余弦值为亭.

方法二：

连接。。，过点F作FM垂直OB于点M,

则有FA/〃OO1

又平面48C,

所以FA/_L平面N8C,

可得FMKFW-BM：=3.

过点/作MN垂直8c于点N,连接尸N,

可得/W_L8C,

从而NFNM为二面角F-BC-4的平面角.

又AB=BC,AC是圆。的直径，

所以MN=8Msin45°=坐，

从而FN=呼,可得cosNFNM=*.

所以二面角F-BC-A的余弦值为亭.

GV

OC./V

17.G4、GU[2016•天津卷]如图1-4,正方形Z2CZ)的中心为O,四边形O8EF为矩

形，平面08E/JL平面ABCD,点、G为4B的中点，AB=BE=2.

⑴求证：EG〃平面/OF；

(2)求二面角O-E尸-C的正弦值；

2

(3)设〃为线段Z尸上的点，且4"和,求直线5〃和平面所成角的正弦值.

图1-4

17.解：依题意，。尸，平面如图所示，以。为原点，分别以疝，BA,5＞的

方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得0(0,0,0),A(-\,\,

0),5(-1,-1,0),C(l,-1,0),£)(1,1,0),f(-l,-1,2),F(0,0,2),G(-l,0,

0).

(I)证明：依题意，AD=(2,0,0),AF=(\,-1,2).设"I=(XI，为，z»为平面尸

|"i•AD—0i[2%1—0»f

的法向量，则＜即c不妨设Z1=l,可得"1=(0,2,1).又EG=

〔…苏=0,lx「"+2zi=0.

(0,1,-2),可得病•“i=0.又因为直线EGQ平面/。尸，所以EG〃平面力。足

(2)易证晶=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意，寿=(1,1,0),次=(一

1.1，2).

|"2•EF=0,fx2+v2=0,

设"2=(X2,”，Z2)为平面CE尸的法向量，则＜即:…c不妨设

鼠•次=0，一检+"+222=0.

切=1,可得"2=(1，—191).

因此有COS6A,〃2〉=--------

\OA\•1«2|

于是sin〈04〃2〉=j»

所以二面角。■环■。的正弦值为坐.

22-*2—►224

(3)由力”二手〃7,得因为4/=(1,—L2),所以力尸=(§,一孕§),进

而有〃(一方，1),从而砺=(,,1),因此cos〈丽,町〉BHn?中

=~~=-21

m•陶

所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为当.

G5空间中的垂直关系

14.G4,65[2016・全国卷11]扇乃是两个平面，m,〃是两条直线，有下列四个命题：

①如果机J_",ml.a,n//p,那么a_LK

②如果机_La,n//a,那么〃

③如果a〃夕，mua,那么机〃£.

④如果加〃”，a//[i,那么与a所成的角和〃与夕所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)

14.②③④[详细分析]对于①，W±M,mVa,n〃B，则a,夕的位置关系无法确定,

故错误；对于②，因为"〃a,所以可过直线〃作平面y与平面a相交于直线c,则"〃c,

因为所以机，c,所以机，〃，故正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确;

对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.

17.G4,G5,Gll[2016•北京卷]如图1-3所示，在四棱锥P-N8CD中，平面以。_1_

平面/BCD,PAX.PD,PA=PD,ABLAD,AB=\,AD=2,AC=CD=y[5.

(1)求证：PO_L平面以8.

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

(3)在棱RI上是否存在点“，使得8M〃平面PC。？若存在，求喝的值；若不存在，

/lI

说明理由.

17.解：(1)证明：因为平面R1O_L平面/BCD,AB±AD,

所以平面以。，所以

又因为所以P0_L平面

(2)取的中点O,连接尸0,CO.

因为孙=PD,所以尸O_L/D

又因为POu平面RW,平面以平面/8CO,

所以PO_L平面ABCD.

因为COu平面/8CD,所以PO_LCO.

因为/C=CZ),所以CO_LAD.

如图建立空间直角坐标系。-中z.

由题意得，力(0,1,0),8(1,1,0),C(2,0,0),£>(0,-1,0),P(0,0,1).

设平面PCD的法向量为〃=(x,外z),则

nPD=Q,(—y—z=0f

，即

=0,"=o.

令z=2,贝ljx=l,y=—2,

所以〃=(1,-2,2).

又丽=(1,1,-1),所以

cos〈/"，P0B)=「nPBT=一早

\n\\PB\

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为坐.

⑶设M是棱口上一点，则存在2引0,1］使得施=疝5.

因此点M0,1-2,z),屈/=(一1,-A,2).

因为8A/4平面PCQ,所以8M〃平面PCD,当且仅当前•〃=(),

即(一19—2,A),(l9—2,2)=0,

解得T

所以在棱PA上存在点M使得8"〃平面PCD,此时梨=；

/1LL4

16.G4、G5［2016江苏卷］如图1-4,在直三棱柱4BC-小81cl中,D,E分别为＜8,

8c的中点，点尸在侧棱囱8上，且小GJ_/|囱.

求证：(1)直线。E〃平面小。|下；

(2)平面8i£)E_L平面AXC}F.

图1-4

16.证明：(1)在直三棱柱N8C-小SG中，A\C\//AC.

在△Z8C中，因为。，E分别为8C的中点，

所以DE〃4C,于是。£〃小G，

又因为。EG平面4GF,小Gu平面4GF,

所以直线DE〃平面4G尸.

(2)在直三棱柱4BC-481G中,小4,平面小SC”

因为4Gu平面48iG，所以4/_L4G，

又因为小G-L_小Bi,/N|U平面/18]u平面488]小，A\AClA\B\=A\!

所以小G，平面48丛小.

因为BQu平面4581小,所以小G_L8|D

又因为8|。_14尸，/|C|U平面4cl尸，小尸U平面小GF,4cle小尸=4,

所以8。，平面小C|F.

因为8QU平面BQE,所以平面8。5，平面4CF.

18.G5,GU[2016•全国卷I]如图1-4,在以4,B,C,D,E,厂为顶点的五面体中，

面/8EK为正方形，AF=2FD,ZAFD=90°,且二面角。-4尸-E与二面角C-8E-尸都

是60。.

(1)证明：平面48EF_L平面EFZJC；

(2)求二面角E-8C-4的余弦值.

18.解：(1)证明：由已知可得4尸凡AFVFE,又DFCFE=F,所以/尸_L平面EFDC.

又4Fu平面48EE,故平面N8EF_L平面EFDC

(2)过。作DG_LEF,垂足为G,由⑴知。G_L平面Z8EF.

以G为坐标原点，源的方向为x轴正方向，|游|为单位长，建立如图所示的空间直角

坐标系G-xyz.

由(1)知N。尸E为二面角。-/尸-E的平面角，故，则。尸=2,DG=/,

可得4(1,4,0),5(-3,4,0),£(一3,0,0),£)(0,0,小).

由己知得，AB//EF,所以“8〃平面EFDC.

又平面/88D平面£7%(C=CD,^.AB//CD,CD//EF.

由BE//AF,可得8EJL平面EFDC,所以NCE尸为二面角C-8E-尸的平面角，故/CE尸

=60°,从而可得C(-2,0,小)，

所以无=(1,0,小)，£5=(0,4,0),AC=(~3,-4,小)，前=(-4,0,0).

设〃=(x,y,z)是平面8CE的法向量，贝I」

nEC=O,即(x+*\/5z=0,

部—八l4y=0,

[n-EB=09)

所以可取〃=(3,0,一—).

\nvAC=Q,

设机=即功，Z])是平面/BCD的法向量，则j

\mAB=Q,

同理可取加=(0,小，4),

mn/\n,in2回

则cos〈〃，〃?〉一同网一一19，

结合图形得，二面角E-8C-4的余弦值为一嗜.

19.G5,Gll[2016•全国卷11]如图1-4,菱形48co的对角线NC与8。交于点。，AB

=5,AC=6,点E,尸分别在Z。，CD±,AE=CF^,EF交BD于点、H,将△£>£尸沿

£尸折到△OE尸的位置，OD'=y[lb.

(1)证明：Z)'，_L平面月8。；

(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.

19.解：(1)证明：由已知得/C_L8。，AD=CD.

CF

又由AE=CF得兼，故AC//EF.

因此EF_L/£D,从而M_L£W.

由AB=5,AC=6得DO=BO=yjAB2-AO2=4.

由EF〃"C得需=券=/

所以04=1,D'H=DH=3.

于是D'H2+OH2=32+\2=[0=D'O2,

故DHLOH.

又DH1EF,且0HREF=H,所以。7/_L平面/BCD

(2)如图，以“为坐标原点，称的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，-xyz,则

H(0,0,0),4(-3,-1,0),5(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),

次=(3,-4,0),k=(6,0,0),AD'=(3,1,3).

设/n=(xi，力，zi)是平面的法向量，贝IJ

m-AB=Q[3x]—4乃=0,

,9即＜

jnAD'=0,山+弘+32产0,

所以可取力=(4,3,—5).

nAC=0f6必=0,

设〃=。2,及，Z2)是平面4co的法向量，»即

,=3x2+^2+322=0,

nAD09

所以可取〃=(0,—3,1).

m-n_____14_7小2^95

于是cos(m,n)sin("i,〃〉

~MM~y[50Xy[\0~25—25.

因此二面角B-D'A-C的正弦值是嚓.

17.G4,G5,GU[2016•山东卷]在如图1-4所示的圆台中，4c是下底面圆。的直径,

E尸是上底面圆。，的直径，P8是圆台的一条母线.

(1)已知G,，分别为EC,F8的中点，求证：G//〃平面N8C；

(2)已知EF=F8=；/C=2^,AB=BC,求二面角尸-8C-/的余弦值.

17.解：(1)证明：设尸C的中点为/,连接G/,H/.在ACEF中,因为点G是CE的中

点，所以G/〃EF.

又EF//OB,

所以GI//OB.

在△CF8中，因为，是总的中点，

所以H/〃BC.

又H/CG/=/,

所以平面G"/〃平面ABC.

因为G，u平面GHI,

所以G4〃平面ABC.

E.0,F

0CB

A

(2)方法一:

连接。（7,则OO，_L平面ABC.

又AB=BC,且NC是圆。的直径，所以5O_LZC.

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

由题意得8（0,2小，0）,（7（—2小，0,0）.

过点F作FM垂直OB于点M,

所以FMKFB2—B.W=3,

可得尸（0,小，3）.

故病=（一2切，一2小，0）,BF=（0,一事,3）.

设m=（x,y,z）是平面8c厂的法向量.

m-BC=0,—2小x—25y=0,

由.可得＜

j”•寿=0,.一小y+3z=0,

可得平面8CF的一个法向量为旭=（—1,1,坐）.

因为平面ZBC的一个法向量为n=（0,0,1），

m•nV?

所以COS〈机，〃〉

~\m\•|«F7.

所以二面角F-BC-A的余弦值为乎.

方法二：

连接。。'，过点尸作尸加垂直OB于点

则有五例〃0（7.

又平面4BC,

所以尸M_L平面/8C,

可得FM=yjFB2-BA^=3.

过点M作MN垂直8c于点N,连接尸N,

可得下ML8C,

从而为二面角F-BC-A的平面角.

又AB=BC,/C是圆。的直径，

所以MV=8Msin45°=半，

从而成=华，可得cos/FNM=亭.

所以二面角F-BC-A的余弦值为卓.

17.G5、G10[2016•浙江卷]如图1-4,在三棱台N8C-OEF中，平面8CFE_L平面N8C,

N4CB=90°,BE=EF=FC=\,BC=2,AC=3.

⑴求证："_L平面ZCFD；

（2）求二面角8-49-尸的平面角的余弦值.

17.解：（1）证明：延长NO,BE,C户相交于一点K,如图所示.

因为平面8CFEL平面NBC,且力CL8C,

所以ZC_L平面BCK,

因U：匕BFLAC.

又因为E尸〃8C,BE=EF=FC=\,BC=2,

所以△BCK为等边三角形，且尸为CK的中点，

（2）方法一：

过点尸作尸。_L/K于0连接8Q.

因为8凡L平面ZCK,所以8F_L/K,则/KJ_平面8QF,所以8Q_LNK.

所以，N8。尸是二面角8-ZD-尸的平面角.

在RtZvlCK中，AC=3,CK=2,易得尸°=今限.

在RtZ\8。尸中，尸0=与侯，BF=小,

得cos/8QP=*.

所以，二面角8-/。-尸的平面角的余弦值为由.

方法二：

延长/。，BE,C厂相交于一点K,则△BCK为等边三角形.

取8c的中点。，连接K。，PliJKOLBC,又平面BCFE_L平面48C,所以KO_L平面

ABC.

以点。为原点，分别以为，派的方向为X,z轴的正方向,建立空间直角坐标系。-中Z（如

图所示）.

由题意得8（1,0,0）,c（-l,0,0）,K（0,0,小），

A(—\,—3,0),£(^,0,坐)，尸(一3,0,2)-

因止匕，Jc=(0,3,0),衣=(1,3,小)，赢=(2,3,0).

设平面NCK的法向量为m=(乃，为，zi),平面NBK的法向量为〃=(如”，Z2).

AC•m=0,f3yi=0,

由彳得彳厂取机=(小，0,—1)；

足”0,%+3%+小句=。，

AB•〃=(),(2^2+3为=0，-

由彳得，L取〃=(3,-2,事).

足”=0,岛+3刃+小Z2=。，

mny[3

于是，cos(m

4,

所以，二面角8-4。-尸的平面角的余弦值为当

G6三垂线定理

G7棱柱与棱锥

13.G2,G7［2016•四川卷］已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱

锥的正视图如图1-2所示，则该三棱锥的体积是.

—►!<—JT—>1

图1-2

13.坐［详细分析］由图易知正视图是腰长为2的等腰三角形，•.•三棱锥的4个面都是

腰长为2的等腰三角形，

三棱锥的俯视图与其正视图全等，且三棱锥的高分=1,

则所求体积尸=］5〃=］*

17.Gl、G7、B12Q016•江苏卷］现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的

形