新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册习题：单元形成性评价第6章幂函数、指数函数和对数函数

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单元形成性评价（三）（第6章）

（120分钟150分）

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.（2021.南京高一检测）已知鬲函数f（x）=xa（a£R）的图象过点（16,2）,

若f（m）=3,则实数m的值为（）

A.9B.12C.27D.81

选D.因为鬲函数f（x）=xa（a£R）的图象过点（16,2）,所以16a=2,解

1--

得a'/f（x）=x4,因为f（m）=3,所以m4=3,解得m=81,所以

实数m的值为81.

2.下列函数中既是偶函数，又在（0,+8）内单调递增的为（）

A.y=x_2B.y=-x-2

C.y=x_3D.y=-x-3

选B.对于A选项，函数y=x-2为偶函数，且在（0,+oo）上单调递减；

对于B选项，函数y=-x-2为偶函数，且在（0,+oo）上单调递增；

对于C选项，函数y=x-3为奇函数，且在（0,+oo）上单调递减；

对于D选项，函数y=-x-3为奇函数，且在（0,+00）上单调递增.

3.函数y=3后的值域是（)

A.[2,+oo)B.(2,+oo)

C.(0,1]D.[1,+oo)

选D.由于-1>0,

所以函数丫=3疡^3。=1,

故函数的值域为[1,+oo).

4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=log2(x

+2)-1,则f(-6)=()

A.2B.4C.-2D.-4

选C.由题意可得f(6)=log2(6+2)-1=2,由于函数f(x)是定义在R

上的奇函数，所以，f(-6)=-f(6)=-2.

5.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>。，a#l)的

图象如图所示，则下列结论成立的是()

A.a>1,c>1

B.a>l,0<c<l

C.0<a<1,c>1

D.0<a<l,0<c<l

选D.因为函数单调递减，所以0<a<1,

当X=1时loga(x+c)=loga(l+c)<0,

即1+c>1,即c>0,

当X=0时loga(x+c)=logac>0,

即c<1,即0<c<1.

2X•1-2,x<l

6.已知函数f(x)=<且f(a)=-3,则f(6-a)

[-log2(x+1),x>l

=()

A-?BC--uD--

A.4D.-5•4

选A.由于f(a)=-3,①若a<l,

则2a-1-2=-3整理得2a-l=-1,

由于2x>0,所以2a-1=-1无解,②若a>l,

则Tog2(a+1)=-3,解得a+1=8,a=7,

7

所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-4.

7.集合A=<x|2xdx〉,则函数y=(；(x£A)的值域是()

A.(0,9)B.[-8,.

C404)D.(9,+oo)

⑴i-xmx

选C由2X<R,2X<22X-2,所以x>2,A=(2,+s),y=6

在(2,+oo)上是减函数，所以y=(gx(x£A)的值域是(0,I].

8.函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在

[m,n]cD使f(x)在[m,n]上的值域为y,，那么就称y=f(x)为“成

x

功函数"若函数f(x)=loga(a+t)(a>0,a声1)是“成功函数”，则t的取

值范围是()

A.(0用B.

C.1.D,(0

x

选A.因为f(x)=loga(a+t)(a>0,a^l)是“成功函数”，当a>l时,f(x)

在其定义域内为增函数，

当0<a<l时，f(x)在其定义域内为增函数，

所以f(x)在其定义域内为增函数，

X

x

由题意得f(x)=loga(a+t)=2,

XXX

所以a'+1=,a'-a5+t=0,令m=a?>0,

所以m2-m+1=0有两个不同的正数根，

所以，/解传tW。,7.

[t>01句

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的

得3分，有选错的得0分)

9.给定下列函数，其中在区间(0,1)上是减函数的是()

2

A.y=x2B.y=log-(x+1)

'.2

C.y=|x-1|D.y=2x+1

选BC.y=log](x+1)和y=|x-11在区间(0,1)上是减函数，y=x2和y

2

=2x+l在区间(0,1)上是增函数.

10.已知a>0,b>0且aMl,屏1,若logab>l,则下列不等式可能正

确的是()

A.(b-l)(b-a)>0

B.(a-l)(a-b)>0

C.(a-l)(b-l)<0

D.(a-l)(b-a)>0

选AD.因为logab>l=logaa,所以若a>l,则b>a,即b>a>l.

所以(b-l)(b-a)>0,故A正确.(a-l)(b-a)>0,故D正确.

若0<a<l,则0<b<a<l,所以(a-l)(a-b)<0,(a-l)(b-l)>0，故B,

C错误.

11,设函数f(X)=2X,对于任意的X],X2(XMX2),下列命题中正确的

是()

A.f(xi+x2)=f(xi)-f(x2)

B.f(Xi-X2)=f(Xi)+f(X2)

f(X1)-f(X2)

C.------------------>0

Xi-x2

/X1+X2]f(X】)+f(X2)

I2J2

选ACD.2xI-2x2=2x,+x2,所以A正确,2X1X2XV2X1X2,所以B不正确,

函数f(x)=2X,在R上是单调递增函数，若Xi>X2则f(xi)>f(x2),则

f(Xi)-f(X2)共

>0；右Xi<X2,

X|-X2

f(Xi)-f(X2)

则f(xD<f(x2),则-------------->0,故C正确；

X1-X2

‘X1+x〕f(Xi)+f(X2)

f三上<------5一一说明函数是凹函数，

而函数f(x)=2X是凹函数，故D正确.

12.已知函数f(x)=logax(a>0,aHl)的图象经过点(4,2)，则下列命题

正确的有()

A.函数为增函数

B.函数为偶函数

C.若x>l,则f(x)>0

___f(X1)+f(X2)/xi+X2、

<f

D.右0<xi<x2,则------2-------—5—

选ACD.由题知2=loga4,a=2,

故f(x)=log2X.对A,函数为增函数,正确.

对B,f(x)=log2x不为偶函数.

对C,当x>l时,f(x)=log2x>log2l=0成立.

f(xi)+f(X2)

对D,因为f(x)=log2x往上凸，故若O<X1<X2,则2

(\

,Xi+x中4

<f——2成AZ.

\2J

三、填空题(每小题5分，共20分)

13.定义函数f(x)=max{x2,x-2},xG(-oo,0)U(0,+oo),则f(x)

的最小值为.

在同一平面直角坐标系中作出函数y=x?与y=x-2的图象，如图所

示，

由X-2=x2,解得X=1或X=-1,则函数f(x)的图象，如图所示,

所以f(x)在X=-1与x=1处均取得最小值1,即f(x)min=1.

答案：1

14.已知f(x)=9x-(k+1)-3X+2,当XWR时，f(x)恒为正值，则实数

k的取值范围是_______.

令3、=t(t>0),则g(t)=t2-(k+l)t+2,若x£R时，f(x)恒为正值,

则g(t)=t2-(k+l)t+2>0又寸t>0侬立，

k+1fk+1

所以<亍>°①，或亍*②，

(k+1)2-8<0[g(0)=2>0

解①得-l<k<2^2-1,解②得k<-1.

综上所述，k<2g-1,

即实数k的取值范围为(-8,2媳-1).

答案：(-co,2啦-1)

[2ex-',x<2,

15.设f(x)=彳则f(f⑵尸________.

X

[log3(2-1),x>2,

因为f(2)=log3(22-1)=1,

所以f(f(2))=f(l)=2e「i=2.

答案：2

2x+1

16.已知函数f(x)=-I---+Ig(3x+1),则f(0)=,函数

A/l-x

的定义域是________.

2X+I2fl-x>0,

由f(x)=1^=+lg(3x+1),得40)=下+lgl=2.由J

qi-xW［3x+l>0,

解得-J<x<l,

所以函数的定义域是1-，1).

答案：26,1)

四、解答题(共70分)

17.(10分)已知函数f(x)=2x-4x.

⑴求y=f(x)在［-1,1］上的值域;

(2)解不等式f(x)>16-9x2x；

(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在［-1,1］上有解,求m的取值范

围.

⑴设t=2x,因为x£［-1,1］,

1

+-

所以七4

所以t=；时，f(X)max=7,t=2时，

f(x)min--2.

所以f(x)的值域为[-2,；.

(2)设t=,由f(x)>16-9x2x，得t-t2>16-9t,BPt2-10t+16<0,

所以2<t<8,

即2<2X<8,所以l<x<3,所以不等式的解集为{x[l<x<3}.

⑶方程有解等价于m在1-f(x)的值域内，

「31

所以m的取值范围为1，3.

a-3x-1-a

18.(12分)若函数y=f(x)=---------为奇函数.

3X-1

⑴求a的值；

⑵求函数的定义域；

(3)求函数的值域.

a-3x-1-a

因为函数y=f(x)=---------

(1)由奇函数的定义，可得f(-X)+f(x)=0，即2a-

0,所以a=-1.

(2)因为y=,

乙3X-1

所以3x-1和，即X#).

所以函数丫=4--的定义域为{X|X#)}.

乙3X-1

(3)因为xHO，所以3x-1>-1.

因为3X-1#0,

所以-l<3x-1<0或3x-1>0.

心1111.111

所以-5----->耳或-5------<-.

23X-1223X-12

即函数的值域为]yy>；或丫<-；.

19.(12分)已知函数f(x)=(logaX)2-logaX-2(a>0,a#l).

⑴当a=2时，求f⑵;

(2)求解关于x的不等式f(x)>0；

(3)若VxG[2,4],f(x)>4恒成立，求实数a的取值范围.

2

⑴当a=2时，f(x)=(log2x)-log2x-2,所以f(2)=1-1-2=-2.

⑵由f(x)>o，得(10gaX)2-logaX-2

=(logaX-2)(10gaX+l)>0,

所以10gaX<-1或10gaX>2.

当a>l时，解不等式可得：0<x<:或x>a2；

当0<a<l时，解不等式可得：

x>~或0<x<a2.

a

综上所述：当a>l时，f(x)>0的解集为(0,U(a2,+00);

当0<a<l时，f(x)>0的解集为(0,a2)U(,+4.

2

(3)由f(x)>4得,(logax)-logaX-6=

(lOgaX-3)(10gaX+2)>0,

所以10gaX<-2或10gaX>3.

①当a>l时,(logaX)max=loga4,(logaX)min=loga2所以loga4<-2=logaa

3

-2或loga2N3=logaa,解得：l<a<^/2；

②当0<a<l时，(logax)max=loga2,(logax)min=loga4,所以loga2<-2

23

=logaa-或loga4>3=logaa,解得：<a<l.

综上所述：a的取值范围为¥，1)%.

20.(12分)对年利率为r的连续复利，要在x年后达到本利和A,则

现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.如果项目P的投资年

利率为r=6%的连续复利.

⑴现在投资5万元，写出满n年的本利和，并求满10年的本利和.(精

确至U01万元)

(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P

投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？(精

确至!J1年)

⑴由题意可得5=A6。0611,

所以A=所006A

当n=10时，A=5-e06~9.1万元.

(2)n年后的本利和为A=2.e006n+2-e006(n-+2.e006(n-2)+...+2.e006

「0.06(1-e006n)

=2---------

]_00.06

p0.06(1-e006n)

令2,——>100,可得n>22.7.

]_^0.06

所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.

21.(12分)已知函数f(x)=log2惊+a］.

⑴若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值.

⑵若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围.

⑶若函数f(x)在区间［0,1］上的最大值与最小值的差不小于2,求实

数a的取值范围.

⑴函数f(x)是R上的奇函数，

则f(0)=0,求得a=0.

又此时f(x)=-x是R上的奇函数.

所以a=0为所求.

(2)函数f(x)的定义域是一切实数，

则或+a>0恒成立.

即a>-/恒成立，由于-/G(-oo,0).

故只要a>0即可.

(3)由已知函数f(x)是减函数，故f(x)在区间［0,1］上的最大值是f(0)

=log2(l+a),

最小值是fU)=log《+a).

由题设log2(l+a)-Iog24+a)N2n

f1