2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅱ）（含解析版）

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2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-l<0},贝(JAG3二

A.(-8,1)B.(21)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

2.设z=-3+2i,则在复平面内三对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知43=(2,3),AC=(3，。，BC=1，则AB・3C=

A.-3B.-2

C.2D.3

4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事

业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测

器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月

拉格朗日乙点的轨道运行.％点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M

1,月球质量为Mz,地月距离为R,4点到月球的距离为广，根据牛顿运动定律和万有

引力定律，〃满足方程:

叫M.M,

+,2=(R+r)清.

(2)2

3a3+3dz4+a5

设1=（,由于。的值很小，因此在近似计算中一六3a3,则厂的近似值

(1+0)2

为

A.M------KRB.

5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始

评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分

相比，不变的数字特征是

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

6.若a>b,则

A.ln（4z-/?）>0B.39

C.43Tp>oD.|A|>|Z?|

7.设a,仅为两个平面，则a〃夕的充要条件是

A.a内有无数条直线与£平行B.a内有两条相交直线与0平行

C.a,/平行于同一条直线D.a,£垂直于同一平面

22

若抛物线内）的焦点是椭圆二+匕

8.2Pxs>0=1的一个焦点，则°=

3PP

A.2B.3

C.4D.8

9.下列函数中，以一为周期且在区间(一，一)单调递增的是

242

A.y(x)=|cos2x|B.f^x)=|sin2x\

C.fix)=cos|x|D./(x)=sin|x|

兀.

10.已知。£(0,—),2sin2a=cos2a+l,贝！Jsina二

2

1R«

A.-D.---------

55

rV3

D,

35

22

11.设厂为双曲线C・7F=l（a〉01〉0）的右焦点，。为坐标原点，以。咒为直径的

圆与圆好+产=片交于p,。两点.若|尸0=|0司，则C的离心率为

A.OB.6

C.2D.V5

12.设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+l)=2/(x),且当xe(O,l］时，f(x)^x(x-l).

Q

若对任意Xe(-8,〃力，都有/(%)>--,则m的取值范围是

A.一弓

c-*

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点

率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高

铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.

14.已知/(幻是奇函数，且当光<0时，/(%)=—泮.若/(1112)=8,贝.

7T

15.AABC的内角A氏C的对边分别为.若人=6,a=2c,3=§,则AABC的面积

为.

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体

或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体

是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是

一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体

的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.(本题第一空2分,

第二空3分.)

图2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分。

17.(12分)

如图，长方体ABCD-AISCLDI的底面ABC。是正方形，点E在棱AAi上，BE±ECi.

(1)证明：BELL平面EBC；

(2)若AE=4E,求二面角B-EC-Ci的正弦值.

18.(12分)

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多

得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得

分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10

平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求尸(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

19.(12分)

已知数列｛©｝和｛5,｝满足。i=l,儿=。，4%+i=3。“一〃+4,4d+1=3d一4-4.

(1)证明：｛斯+a｝是等比数列，｛斯-6”｝是等差数列；

(2)求｛〃”｝和｛儿｝的通项公式.

20.(12分)

y1

已知函数/(x)=lnx-:---.

x-1

(1)讨论本)的单调性，并证明犬X)有且仅有两个零点；

(2)设xo是其尤)的一个零点，证明曲线y=Inx在点A(xo,Inxo)处的切线也是曲线y=e*

的切线.

21.(12分)

已知点4-2,0),8(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与的斜率之积为-工.记M的轨迹

2

为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,。两点，点P在第一象限，PELx轴，垂足为E,连

结。E并延长交C于点G.

(i)证明：△PQG是直角三角形；

(ii)求面积的最大值.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在极坐标系中，。为极点，点"(夕°,%)(夕。>0)在曲线。：夕=4sin，上，直线/过点

A(4,0)且与垂直，垂足为P.

兀

(1)当a=1时，求。0及/的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且尸在线段上时，求尸点轨迹的极坐标方程.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知/(%)=|x—a\x+1x—2\(x—a).

(1)当a=l时，求不等式/(x)<0的解集；

(2)若xe(—oo,l］时，/(%)<0,求。的取值范围.

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标口）

参考答案

1.A2.C3.C4.D5.A

6.C7.B8.D9.A10.B

11.A12.B

13.0.9814.-3

15.67316.26；y[2-l

17.解:（i）由已知得，与G，平面AB4A，BEu平面ARB】A,

故31G±BE.

又BE_LECj所以BE,平面E31G.

(2)由(1)知NBEB]=90°.由题设知kRtaABiE,所以NAEB=45°,

故AE=AB,44]=2AB.

以。为坐标原点，D4的方向为x轴正方向，|ZM|为单位长，建立如图所示的空间直

角坐标系

则C(0,1,0),8(1,1,0),G(°，1，2),E(1,0,1),CE=(1,-1,1),

cq=（0,0,2）.

设平面E2C的法向量为"=（x,y,尤），则

CB-n=0,fx=0,

即1

CE•n=0,[%—y+z=0,

所以可取"二(o,-

设平面ECG的法向量为机二(、，丁，z),则

CCim=0,[2z=0,

\即1

CEm=0,[x-y+z=0.

所以可取帆二（1,L0）.

n-m£

于是cos<n,m>-

2

所以，二面角3—EC—G的正弦值为手.

18.解:(1)X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得

分，或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5x04+(1-0.5)x(1-04)=05.

(2)X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的

得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.

因此所求概率为

[0.5x(1-0.4)+(1-0.5)x0.4]x0.5x0.4=0.1.

19.解：(1)由题设得4(。“+1+〃+1)=2(4+〃)，即4+]+〃+]+2).

又因为0+"=1,所以｛。“+2｝是首项为1,公比为。的等比数列.

由题设得4(a〃+i—d+|)=4(%-d)+8,

即。〃+1一d+1=。”一2+2.

又因为0-6尸1,所以｛4-d｝是首项为1,公差为2的等差数列.

（2）由（1）知，an+bn=^,an-bn=2n-l.

所以4+〃)+(%一“月二吩+"一万，

b"=1®+幻-（4-2）]=/_〃+；.

20.解：（l）/（x）的定义域为（0,1）,（1,+8）单调递增.

eJ_1p2_i_1P2

因为/'（e）=1-----<0,/（e2）=2一一--=———>0,

e-1e--1e--1

所以/（x）在（1,+8）有唯一零点XI,即/（尤1）=0.

X0<—<1,f（一）=-InXj+—~-=-f（x；）=0,

%]Xi%1-1

故了（无）在（0,1）有唯一零点一.

占

综上，/（%）有且仅有两个零点.

（2）因为一=e-lnA°,故点2（-Inxo,一）在曲线y=e*上.

/与

,即+1

由题设知/（%）=0,即lnxo=」j：,

xo-1

X_in%o_]__迎+1

故直线AB的斜率k=T-------=%=—

x+1

Tnx°-/_o_x%o

1Ao

/T

曲线广^在点§（Tn%,工）处切线的斜率是工，曲线y=Inx在点4（%,In%）处切

线的斜率也是工,

%

所以曲线y=lnx在点4玉）,111%）处的切线也是曲线产U的切线.

21.解：（1）由题设得」——上=—工，化简得三+上=l（|.x快2）,所以C为中心

x+2x-2242

在坐标原点，焦点在无轴上的椭圆，不含左右顶点.

（2）（i）设直线P。的斜率为左，则其方程为丁=区（左＞0）.

y=kx

2

由V/得x=±

一+—=1J1+2S'

[42

记^=,则P(u,uk),。(一"，-uk\£(沅,0)・

飞1+2k2

kk

于是直线QG的斜率为1，方程为y=](x—〃).

k

y=-(x-«),

由，，得

X，厂一

(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①

3

设G(%DG)，则-M和%是方程①的解，故%」杂：2),由此得先=uk

2+左2+k1'

uk3.

21

从而直线PG的斜率为2+k

u(3k2+2)I

--------------U

2+k2

所以PQLPG,即△PQG是直角三角形.

____2成护7T

(ii)由⑴得|PQI=2%J1+k2,2+k-

8(—+k)

所以△PQG的面积S=g|PQHPG\=8人(1+42)K

(l+2，(2+?i+2(；+肩2

设右发+工，则由Q0得后2,当且仅当上1时取等号.

k

Qf

因为S=——7在口，+8)单调递减，所以当仁2,即上1时，S取得最大值，最大值

1+2/

为更.

9

1A

因此，△PQG面积的最大值为

22.解：⑴因为在C上，当必=三时，Po=4sinj=273.

71

由己知得|OP1=1OAIcos；=2.

设Q9S)为/上除P的任意一点.在RtAOPQ中夕cos[，—=|OP\=2,

经检验，点尸(2,g)在曲线夕cos[，—g[=2上.

所以，/的极坐标方程为夕cos[e—]]=2.

(2)设P(p,6»),在Rt4。4P中，|OP|=|QA|cos6=4cos。，即夕=4cos，..

7?IT

因为尸在线段0M上，且A尸，O暇，故。的取值范围是一,一.

_42_

JTJT

所以，尸点轨迹的极坐标方程为夕=4cos。，0e—.

23.解：(1)当a=l时，/(x)=|x-l|x+|x-2|(x-l).

当x<l时，/(x)=—2(x—I)?<0；当xNl时，/(x)>0.

所以，不等式/(x)<0的解集为(7,1).

(2)因为/(a)=0,所以a21.

当a21,xe(-8,1)时，/(%)=(«-X)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-l)<0

所以，a的取值范围是工+8).

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2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标口)

答案解析版

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合4={x|N-5x+6>0},B-{x|x-l<0},则API2=

A.(-8,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数

形结合的思想解题.

【详解】由题意得，4={%,2,曲3},3={无,<1},则4门3={目％<1}.故选A.

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易.不能领会交集的含义易致误，区

分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

2.设z=-3+2i,则在复平面内三对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查复数的共辗复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素

养.采取定义法，利用数形结合思想解题.

【详解】由Z=—3+2，，得3=—3—2z；贝丘=一3—2，,对应点(-3,-2)位于第三象限.故选C.

【点睛】本题考点为共朝复数，为基础题目，难度偏易.忽视共辗复数的定义致错，复数与

共辗复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标.

3.已知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1，则=

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法，利用

转化与化归思想解题.

【详解】由5C=AC—A3=(U—3),瓯=J12+”3)2=1,得『=3,则BC=的，

A3|BC=(2,3)(l,0)=2xl+3x0=2.故选C.

【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.学生易在处

理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量

数量积.

4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天

事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探

测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地

月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为

Mi,月球质量为Mz,地月距离为R,4点到月球的距离为广，根据牛顿运动定律和万

有引力定律，厂满足方程：

M

---陷-^+得=2(氏zn+厂)、跖号.

(7?+r)2r2R3

3a3+3a4+a'

设&=二，由于a的值很小，因此在近似计算中3a3,则厂的近似值

R(1+6Z)2

为

RB

A.M------K-肾火

叫

【答案】D

【解析】

【分析】

本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立々的方程，解方程、近似

计算.题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅

读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查.

【详解】由。=二，得/=。火

R

,M]M7，八、M

因为---------I——=(R+r)-T,

(7?+r)2r2R3

M...M

所以+万康2=Q+a)磔

7?2(l+«)2ai\.i\.

M

解得a=2

3M[

所“小晨R

【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易

错点之二是复杂式子的变形出错.

5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原

始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分

相比，不变的数字特征是

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

【答案】A

【解析】

分析】

可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案.

【详解】设9位评委评分按从小到大排列为者<%<%</<%8<x9.

则①原始中位数为%，去掉最低分看，最高分通，后剩余/<%<%<4,

中位数仍为A正确.

-1

②原始平均数%=§（为<々<工<%4</</），后来平均数

~j1/、

x=—yx2<x3<<xs）

平均数受极端值影响较大，，输与丁不一定相同，B不正确

④原极差=%-%，后来极差=4-%2显然极差变小，D不正确.

【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.

6.若a>b,贝ij

A.ln(«-/?)>0B.3y3&

C.tz3-/?3>0D.\a\>[b\

【答案】C

【解析】

【分析】

本题也可用直接法，因为。>匕，所以当。一匕=1时，ln(a-b)=。，知A错，

因为y=3工是增函数，所以3a>3"，故B错；因为幕函数y=d是增函数，a>b,所以

a3>b3>知C正确；取a=1,6=-2,满足。>匕，1=问<四=2,知D错.

【详解】取a=2力=1,满足。>〃，ln(«-Z7)=0,知A错，排除A；因为9=3°>3〃=3,

知B错，排除B；取。=1,6=-2,满足。>人，l=|a|<|Z?|=2,知D错，排除D,因为

幕函数y=是增函数，a>b,所以/>3,故选c.

【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、塞函数性质及绝对值意义，渗透了逻

辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断.

7.设a,£为两个平面，则a〃/的充要条件是

A.a内有无数条直线与£平行

B.a内有两条相交直线与“平行

C.a,/平行于同一条直线

D.a,£垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面

面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.

【详解】由面面平行的判定定理知：7内两条相交直线都与夕平行是。//，的充分条件，

由面面平行性质定理知，若a//〃，则a内任意一条直线都与，平行，所以a内两条相交

直线都与夕平行是。//，的必要条件，故选B.

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭

主观臆断，如：“若aua,bu/3,al1b,则a///?”此类的错误.

JQy

8.若抛物线y2=2/zr(p>0)的焦点是椭圆一+—=1的一个焦点，则p=

3PP

A.2B.3

C.4D.8

【答案】D

【解析】

【分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于夕的方程，即可解出?，或者利用检验排除

的方法，如°=2时，抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A,同样可排除

B,C,故选D.

22

【详解】因为抛物线V=2p尤(p>0)的焦点(£0)是椭圆乙+上=1的一个焦点，所以

23Pp

3p—0=(T)2,解得p=8,故选D.

【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养.

'))'Ji

9.下列函数中，以一为周期且在区间(一，一)单调递增的是

242

A.fix)=|cos2尤|B,7(尤尸|sin2x\

C.fi,x)=cos|x|D.fl,x)=sin|x|

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.画出各函数图象,

即可做出选择.

【详解】因为y=sin|x|图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为y=cos|x|=cosx,

周期为2»,排除C,作出y=|cos2x|图象，由图象知，其周期为方，在区间(?,事)单调

递增，A正确；作出y=bin2x|的图象，由图象知，其周期为在区间(7,])单调递减,

排除B,故选A.

【点睛】利用二级结论：①函数y=|/(x)|的周期是函数y=/(x)周期的一半;

②y=sin|“W不是周期函数；

71

10.已知(0,—),2sin2a=cos2a+l,则sina=

2

A.-B.—

55

小n2君

Ir.----u.------

35

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.

【详解】2sin2a=cos2a+L4sina-cosa=2cos2a.ae0,—cosa>0.

sina>0,2sina=cosa,又5皿20+(：052£=1，5sin2a=1,sin2a=~»又

sincr>0,sina故选B.

5

【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断

正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后

得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉.

X2

11.设尸为双曲线C：二_2i=1(a>0,6>0)的右焦点，O为坐标原点，以。尸为直径的

ab2

圆与圆/+丫2=层交于尸、Q两点.若|PQ=QE，则C的离心率为

A.近B.也

C.2D.小

【答案】A

【解析】

【分析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心

率.

【详解】设PQ与左轴交于点4,由对称性可知轴，

又\PQ\=\OF\=c,.-.|PA|=|,二PA为以OF为直径的圆的半径，

.•2为圆心|。4|=夕

二,又P点在圆x?+y?=/上，

222

CC2日口C2_c2

1=a，即—=u,=2.

4--4---------2

e-yfl,故选A.

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考

虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲

线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来.

12.设函数/(尤)的定义域为R,满足/(%+1)=2/。)，且当xe(O,l］时,

Q

/(x)=x(x—1).若对任意,都有/(x)2—则根的取值范围是

97

A.—00,—B.—co,——

43

c.yD.--|

【答案】B

【解析】

【分析】

本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析

出临界点位置，精准运算得到解决.

【详解】xe(0,l］时，f(x)=x(x-l),f(x+l)=2f(x),f(x)=2/(x-l),即/(x)右

移1个单位，图像变为原来的2倍.

Q

如图所示：当2<x<3时，-2)=4(无—2)(%—3),令诩=—§,

78

=

整理得：9/—45%+56=0，二.(3%一7)(3元-8)=0,xr—,x2=—(舍)，

【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2

倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概

括、数学建模能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点

率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列

车所有车次的平均正点率的估计值为.

【答案】0.98.

【解析】

【分析】

本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题.

【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为

10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,其中高铁个数为10+20+10=40,所以该站所有高

392

铁平均正点率约为^=0.98.

40

【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养.侧重统计数据的概率估算,

难度不大.易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点

列车数量与列车总数的比值.

14.已知/(x)是奇函数，且当无<0时，八»=—6叱若/(1112)=8,贝ija=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性，对数的计算.渗透了数学运算、直观想象素养.使用转化思想得

出答案.

【详解】因为/(x)是奇函数，且当x<0时，/(x)=—e”.

又因为ln2e(0,l),/(ln2)=8,

所以_e-〃M2=—8,两边取以e为底的对数得—ain2=31n2,所以一a=3,即3».

【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算.

TT

15NABC的内角A,3,C的对边分别为。，4c.若人=6,a=2c,3=—,则7ABe的面

3

积为.

【答案】6A/3

【解析】

【分析】

本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用。的关系、三角形面积公式计算求解，

本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能

力的考查.

【详解】由余弦定理得尸=储+C2_2accos5，

所以(2C)?+C2—2X2CXCX；=62,

即。2=12

解得c=c=—（舍去）

所以a=2c=46，

SAABC=gacsinB=gx4百X2GXF=6G.

【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错

误.解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算.

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体

或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由

两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱

数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则

该半正多面体共有个面，其棱长为.

图1图2

【答案】Q）.共26个面.（2）.棱长为逝—1.

【解析】

【分析】

第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何

解决.

【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半

正多面体共有18+8=26个面.

如图，设该半正多面体的棱长为天,则旗=能¥，延长与尸石交于点G,延长

交正方体棱于“，由半正多面体对称性可知，ABGE为等腰直角三角形，

：.BG=GE=CH=Jx,GH=2x—x+x=（V2+l）x=l,

22

==3-1,即该半正多面体棱长为以

A/2+1x—1

【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱,

题目其实很简单，稳中求胜是关键.立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力,

快速还原图形.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分。

17.

如图，长方体ABCM/CLDI的底面ABC。是正方形，点E在棱441上，BE_LEJ.

(1)证明：B£_L平面EBiCi；

(2)若AE=AiE,求二面角B-EC-Q的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)旦

2

【解析】

【分析】

（1）利用长方体的性质，可以知道耳G，侧面44A4,利用线面垂直的性质可以证明出

BgJEB,这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面E4G；

（2）以点3坐标原点，以晟4,5。,54分别为苍7z轴，建立空间直角坐标系，

设正方形A3CD的边长为=求出相应点的坐标，利用3ELEG，可以求出

之间的关系，分别求出平面EBC、平面ECG的法向量，利用空间向量的数量积公式求出

二面角3-EC-G的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角

3—EC—G的正弦值.

【详解】证明（1）因为ABC。—A4GA是长方体，所以与。1，侧面44切，而跖＜=

平面44A4,所以BE，4G

又「

BE_LECBXCXnECX=Cx,4G，ECIu平面E^G，因此3EJ_平面EqG；

（2）以点3坐标原点，以晟4,5。,54分别为苍7z轴，建立如下图所示的空间直角坐标

系，

b

5(0,0,0),C(0,a,0),G(0,a，b),E(a,0,-)

hhh

因为BELECi，所以=On(a,O,1>(—a,a,g=0n—a2+(=0n6=2a,

所以E(a,O,a),EC=(-a,a,-a),CQ=(0,0,2a),BE=(a,0,a),

设根=（%i，X，Zi）是平面BEC的法向量,

m-BE=0,ax+az1=0,

所以=>i=^>m=(l,0,-l),

m•EC=0.-ax{+ayx-azx=0.

设〃=(%,%，Z2)是平面ECC1的法向量,

nCC]=0,2az=0,

所以《2=(1,1,0),

n-EC=0.-ax2+ay2-az2=0.

二面角5—EC-G的余弦值的绝对值为=3

所以二面角3—EC—。的正弦值为§)2=*.

【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角

的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.

18.

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多

得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得

分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10

平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求尸(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

【答案】(1)0.5;(2)0.1

【解析】

【分析】

⑴本题首先可以通过题意推导出P(X=2)所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两

球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；

(2)本题首先可以通过题意推导出P(X=4)所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球

均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果。

【详解】(1)由题意可知，P(X=2)所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”

所以尸(X=2)=0.5?0.40.5?0.60.5

(2)由题意可知，P(X=4)包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”

所以尸(X=4)=0.5仓！D.60.5仓。4+0.50.4仓虬50.4=0.1

【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出P(X=2)以及P(X=4)所包

含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中

档题。

19.

已知数列｛斯｝和出｝满足。尸1,一=0,4a“*i=34-a+4,4&n+1=3bn-an-4.

(1)证明：｛斯+a｝是等比数列，｛斯-儿｝是等差数列；

(2)求｛斯｝和｛6”｝的通项公式.

【答案】⑴见解析；⑵an=^+n-｛,bn=^-n+jo

【解析】

【分析】

⑴可通过题意中的4a“+i=3。“-4+4以及4〃+i=32-&-4对两式进行相加