重庆江津几江中学2021年高一数学理月考试题含解析

重庆江津几江中学2021年高一数学理月考试题含解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知角。的终边上有一点P（-4,3）,则cos。的值是（）

4_43_3

A.5B.5C.5D.§

参考答案：

C

略

2.（5分）若向半径为1的圆内随机撒一粒米，则它落到此圆的内接正方形的概率是（.）

12V21

A.兀B.兀C.而D.2冗

参考答案：

考点：几何概型.

专题：计算题；概率与统计.

分析：首先确定正方形的面积在整个圆中占的比例，根据这个比例即可求出豆子落到圆内

接正方形（阴影部分）区域的概率.

解答：由题意，圆的面积为口，由勾股定理得圆内接正方形的边长血，其面积为2,故

2

豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是五.

故选:B.

点评：此题主要考查了几何概率、圆的面积求法以及正方形的特殊性质，求出两图形的面

积是解决问题的关键.

371

3.过点A（2,b）和点8（3,-2）的直线的倾斜角为4,则6的值是（）

A.-lB.lC.-5D.5

参考答案：

A

略

石A一3所

qsina——,CS

4.已知锐角戊、户满足5°10,则尸等于（，）

--2k7r+-,keZ

A.4B.4C.4或4D.4

参考答案：

A

5.设。＞1＞》＞一1,则下列不等式中恒成立的是（）

一1<—11—>1一

A.abB.a3C.a>

6D.a>2b

参考答案：

C

6.已知等差数列｛斯｝的公差d＞0,则下列四个命题:

①数列｛的｝是递增数列；

②数列是递增数列；

③数列｛2是递增数歹U；

④数列｛,+3闻是递增数列;

其中正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

参考答案:

B

【分析】

对于各个选项中的数列，计算第”+1项与第〃项的差，看此差的符号，再根据递增数列的

定义得出结论.

【详解】设等差数列,二4+^-1）”,d>0

•.•对于①，4+1-"n=d>0,二数列｛4｝是递增数列成立，是真命题.

对于②，数列｛叫3,得

所以4不一定是正实数，即数列｛叫）不一定是递增数列，是假命题.

~%yitd壮一、

对于③，数列得”+1»»+1»域"D,

d—a^

域“+D不一定是正实数，故是假命题.

对于④，数列〜+35+1）4-（/+3回=~-/+冥=虫>0故数列｛%+3回是

递增数列成立，是真命题.

故选：B.

7.若不等式3x-log,xVO对任意京）恒成立，则实数a的取值范围为（）

A号，1）B（表’1）C（°，*）D⑹专］

参考答案:

A

【考点】函数恒成立问题.

1

【分析】构造函数f(x)=3xz,g(x)=-log„x.h(x)=f(x)+g(x)(0<x<3),

Yf(Q—工—

根据不等式3x2-log„x<0对任意'3'恒成立，可得f(3)Wg(3),从而可得

1

0<a<l且a2药，即可求出实数a的取值范围.

1

2

【解答】解：构造函数f(x)=3x,g(x)=-logaxf(0<x<3)

•.•不等式3(-logax<0对任意KE石)恒成立，

：.f(3)Wg(后)

二3?6-log,5W0.

1

，0<2<1且心27,

1

•••实数a的取值范围为［药，1).

故选:A.

l+2cos2a_

8.已知则sin2a()

A.2B.-2C.3D.-3

参考答案：

A

【分析】

根据同角三角函数的关系，先化为正弦余弦，再转化为正切，代入求值即可.

1+2COS3<Z_3cos3a4-an2a_3+tan3a_4_

［详解】因为an2a2smacosa2tana2,

故选A.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数之间的关系，属于中档题.

9.点(2。，0一1)在圆x，/一2y—4=0的内部，则a的取值范围是()

A.B..0<«<lC.-

J1

1<«<5D.-5<a<1

参考答案：

D

10.在△4SC中，若sin4sinB:sinC=3:2:4,则cosC的值为()

2_21_

A.4B.3c.W

2

D.3

参考答案：

A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.(4分)若f(x)=2sin3x(0<«<1)在区间互1上的最大值是血,贝U

参考答案：

3

4

考点：三角函数的最值.

专题：计算题；转化思想.

分析：根据已知区间，确定3X的范围，求出它的最大值，结合0<3<1,求出3的

值.

解答：xso,争，y,o<3x4等<5,

fGH爸*si号当等与呜

3

故答案为：4

点评：本题是基础题，考查三角函数的最值的应用，考查计算能力，转化思想的应用.

12.下列函数：y=lg"；丁=2；y=x2;y=|x|-1；其中有2个零点的函数的序号是

参考答案：

略

13.cos(27°+x)cos(x-18°)+sin(27°+x)sin(x-18°)=.

参考答案：

在

2

cos(x+27°)cos(x-18°)+sin(x+27°)sin(x-18°)

=cos(x+27°-x+18°)

=cos45°

故答案为2.

x+l,x>0

<2,x=0

14.已知f(x)=1°•x<°,则f{f[f(-1)]}=

参考答案:

3

【考点】函数的值.

【专题】计算题；函数思想：函数的性质及应用.

【分析】直接利用分段函数由里及外逐步求解即可.

'x+1,x>0

<2,x=0

【解答】解：f(x)=[0>x<0,贝I]f{f[f(-1)]}=f{f[o]}=f{2}=2+l=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题.

15.设/")是定义在R上的奇函数，且当工之0时，/(x)=〃.若对任意的

xe[以,4+2],不等式/@+a)之2/(x)恒成立，则实数a的取值范围是_.

参考答案：

【点,例)

略

16.已知数列{斯}的前〃项和为Sn，对任意〃WN*都有Sn="n3,

若1<S&<9(AGN"),则％的值为.

参考答案：

4

略

17.已知函数f(x)=x2+ax,若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，则a的取

值范围是—.

参考答案：

{a!a22或aWO}

【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质.

【分析】首先这个函数f(x)的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大

于等于它的最小值.y=f(f(x))它的图象只能是函数f(x)上的一段，而要这两个函

数的值域相同，则函数y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f

a

(x)的最小值小于-2.

2

aa

2

【解答】解：由于f(x)=x+ax,xGR.则当x=-2时，f(x).in=-4,

又函数y=f(f(x))的最小值与函数y=f(x)的最小值相等，

2

aa

则函数y必须要能够取到最小值，即-丁W-2,

得到aWO或a?2,

故答案为：{a|a22或aWO}.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

府=但)怎力=鹏1"

18.已知函数12J,函数2

(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围；

(2)当1］时，求函数y=［f(x)Y-2af(x)+3的最小值h(a)；

J=k»giAx)

(3)是否存在非负实数m、n,使得函数2的定义域为［m,n］,值域为［2m,

2nL若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由.

参考答案：

g(x)=logjX

解：⑴•••2,

产gx2+2x+in)=log।(mx^+2x+m)

y=logp

令u=mx2+2x+m,则2,

y=lo2x

当m=0时，u=2x,2的定义域为(0,+8),不满足题意；

y=log]U

当m¥0时，若2的定义域为R,

'm>0

则[△=4-4in2<0,

解得m>l,

综上所述，m>1

(2)

2X

y=[f(x)]-2af(x)+3=*)2x-2a(|)+3J.产2a(1)^+3

4乙一乙Z

xG[-1,1],

令,砂x,则转序2]-at+3,任助力

•.•函数y=--2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线,

故当&<如，嗔时，hJXyms，/

2

当齐&42时，t=a时,h(a)=ymin=3-a.

当a>2时,t=2时，h(a)=yrnin=7-4a.

f13/1

T-a-a<2

h(a)=3T，卜<2

综上所述，[7-4a,a>2...

y=log[f(x2)=log[x2=x2

(3)22,

fo

m-2m

假设存在，由题意，知[n2=2n

[in=O

解得in=2,

y=log[f(x2)

・・・存在m=0,n=2,使得函数2的定义域为[0,2],值域为[0,4]...

考点：对数函数的图像与性质.

专题：分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用.

尸g(mx2+Zx+m)=logj(inx^+2x+m)

分析：(1)若2的定义域为R,则真数大于0恒

成立，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的实数m的取值范围，综合讨论结

果，可得答案；

t=(―)x

(2)令2，则函数y=[f(x)]J2af(x)+3可化为：y=t-2at+3,

[2121,结合二次函数的图象和性质，分类讨论各种情况下h(a)的表达式，综合

讨论结果，可得答案；

(0

m=2m

(3)假设存在，由题意，知ln"=2n解得答案.

g(x)=log]X

解答：解：(1)2,

产gx2+2x+m)=logj(mx^+2x+m)

/.2,

y=logju

令u=mx2+2x+m,则2,

y=log]2x

当m=0时，u=2x,2的定义域为(0,+8),不满足题意；

y=logp

当mWO时，若2的定义域为R,

'm>0

则[△=4-4m2<0,

解得m>l,

综上所述，m>l…

(2)

y=[f(x)]2-2af(x)+3=(-^)2x-2a(幻、+3[3)学一左(£)*+3

ZZ二NZ,

XG[-1,1],

x

t=(-^)t€[4>2]2t€[4>2]

令幺，贝U,y=t-2at+3,，

•.•函数y=t2-2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线,

&<工h(a)=y.-a

故当2时，i2时，—in4.

2

当齐a<2时,t=a时，h⑺=y>in=3-a.

当a>2时，t=2时，h(a)=yrain=7-4a.

综上所述，[7-4a,a>2...

2xZ2

y=log1f(x)=logt(-1)=x

(3)22,

’0

m=2m

9

假设存在，由题意，知ln"=2n

(itFO

解得in=2,

y=logjf(x2)

，存在m=0,n=2,使得函数2的定义域为[0,2],值域为[0,4]…

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是

解答的关键

19.(本小题12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，CD〃AB,AD±AB,BC±PC,

AD=DC=-AB

2

(1)求证：PA±BC

(2)试在线段PB上找一点M,使CM〃平面PAD,并说明理由.

]

参考答案：

1.连接AC,过C作CELAB,垂足为E,

AD=DC,所以四边形ADCE是正方形。

所以NACD=NACE=45°因为AE=CD=2AB,所以BE=AE=CE

所以ZBCE==45°所以ZACB=ZACE+ZBCE=90°

所以ACLBC,................................................3分

UU又因为BC_LPC,ACDPC=C,AC平面PAC,PC平面PAC

所以BC_L平面PAC,而R4U平面PAC,所以PA_LBC...............6分

2.当M为PB中点时,CM〃平面PAD,...........................8分

证明：取AP中点为F,连接CM,FM,DF.

JJ

则FM//AB,FM=2AB,因为CD〃AB,CD=2AB,所以FM//CD,FM=CD.......9分

所以四边形CDFM为平行四边形,所以CM〃DF,..................10分

因为DFU平面PAD,CM@平面PAD,所以,CM〃平面PAD.............12分

20已知全集口=3三4，集合4=口|-2<工<等5={x|-3<x<3}求：

Ar\B；G(dcB)；(qd)cA.

参考答案：

C^={x|3<x<45gX<-2}.^n5={x|-2<x<3}_q(dcA)={x|3WxV4成

五4一21；(qd)cA=3一3<工4一2或”=3}

【分析】

根据全集"与集合z和3,先求出“1、dDB.再结合集合的交集与补集的定义即可求

解.

【详解】(1)；全集"=任1*<4上集合4=任|一2〈工〈等

-3=任|34工44或工？2)；

(2)；集合4={工|-2。<等3=任|-3<—3}

:.Ar\B={x|-2<x<3}.

(3)•:全集。=3Ar,S={x|-2<JC<3)

一G(dcB)={R3M无W4或工？骞

(4);%=任|3《工44或工？215={x|-3<x<3}

={x|-3<x<-2^x=3}

【点睛】本题考查交并补集的混合运算，通过已知的集合的全集，按照补集的运算法则分别

求解,属于基础题.

21已知方=(-L3)松=风电,历=。矶万〃记

(1)求实数〃的值；

(2)若公_1■而，求实数机的值.

参考答案：

(1)"=一3；(2)m=+l.

试题分析：(1)利用向量7万〃记，建立关于”的方程，即可求解”的值；(2)写出

向量幺C,皿的坐标，利用/访得出关于e的方程，即可求解实数府的值.

试题解析：⑴-"=(-mC=(Xw»),CD=Qii),

j.AD+BC+CD

"ADUBC

.■,30+m+ji)-3m=O

/_JI=-3

(2)由(1)得

CD=a-3),AC=JB+BC=(2,3+m)jBD=RC^CD=(4,E-3)

AC±BD所以8+。+»»X3f)=0...m=±l

考点：向量的坐标运算.

22.有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m,k=l,2,3,…，

n,n>3)，公差为dm,并且ain,a2n,a3n，…，ann成等差数列.

(I)证明dm=pidi+p2d2(3<m<n,pi,p2是m的多项式)，并求pi+p2的值;

(II)当di=l,d2=3时,将数列dm分组如下：(di),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,

d8,d9),…(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所有数之和为(Cm)4(Cm>

0),求数列12"dm)的前n项和Sn.

(Ill)设N是不超过20的正整数，当n>N时，对于(II)中的Sn,求使得不等式

1(q_6)〉d

50»nn成立的所有N的值.

参考答案:

考等差数列的性质；数列与不等式的综合.

点:

专综合题；压轴题.

题：

分(I)先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a“

析：a2n,a3n,...»ann中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n-1项，

山此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到dn是首项dl,公差为d2

-di的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出dm的通项，令pi=2-m,P2=m

-1,得证，求出PI+P2即可；

(II)由5=1,d2=3,代入dm中，确定出dm的通项，根据题意的分组规律，得到

第m组中有2m-1个奇数，所以得到第1组到第m组共有从1加到2m-1个奇

数，利用等差数列的前n项和公式表示出之和，从而表示出前n?个奇数的和，又前

C

m组中所有数之和为(Cm)4(Cm>0),即可得至ljcm=m,代入？"4中确定出数列

12"dJ的通项公式，根据通项公式列举出数列12"{J的前门项和Sn,记作

①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，②-①即可得到前n项和Sn的通项公

式；

(III)由(1【)得到dn和Sn的通项公式代入已知的不等式中，右边的式子移项到

左边，合并化简后左边设成一个函数f(n),然后分别把n=l,2,3,4,5代入发

现其值小于0,当n次时，其值大于0即原不等式成立，又N不超过20,所以得到

满足题意的所有正整数N从5开始到20的连续的正整数.

解解：(I)由题意知amn=l+(n-1)dm.

答：则a2n-ain=[l+(n-1)d2]-[1+(n-1)di]=(n-1)(d2-di),

同理，H3n-a2n=(n-1)(ds-d2)，a4n-a3n=(n-1)(d4-d3),ann-a(n-

1)n=(n-1)(dll-dn-l).

又因为ain,a2n,a3n,ann成等差数列,所以a2n-ain=a3n-a2n-..=ann-a(n-1)n.

故d2-dl=d3-d2=...=dn-dn-1,即dn是公差为d2-di的等差数列.

所以，dm=di+(m-1)(d2-di)=(2-m)di+(m-1)d2.

令pi=2-m,p2=m-1,则dm=pidi+p2d2,此时pi+p2=l.(4分)

(II)当di=l,d2=3时，dm=2m-1(mGN*).

数列dm分组如下：(di),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,ds,d9),.

按分组规律，第m组中有2m-1个奇数，

所以第1组到第m组共有1+3+5+...+(2m-1)=n?个奇数.

注意到前k