中考数学专题复习《圆综合之特殊角的运用》测试卷(附带有答案)

第页中考数学专题复习《圆综合之特殊角的运用》测试卷(附带有答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________特殊角：30°，45°，60°1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交AB于点D，交⊙O于点E，以AD，DE为邻边作▱ADEF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC=2，∠BAC=30°，求线段CE的长．2．如图，半径为2的⊙O内接△ABC，∠B=60°，∠C=45°．（1）求△ABC的面积；（2）D是BC的中点，过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF，求EF的长．3．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.4．如图，四边形ABCD中，连接AC，AC=AD，以AC为直径的⊙O过点B，交CD于点E，过点E作EF⊥AD于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠BAC=∠DAC=30°，BC=2，求BCE的长．（结果保留π）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BM是边AC的中线，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，⊙O是△DBE的外接圆，点P是DE的中点，连接PB交DE于点H.（1）求证：BM是⊙O的切线；（2）若AB=1，∠BAC=60°，求PH⋅PB的值.6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆与交BC于点F，且AC切⊙O于点E.（1）求证：DE=（2）若∠A=30°，AB=6，求CF的长.7．如图，Rt△ABC中，在斜边AB上选一点O为圆心画圆，此圆恰好经过点A，且与直角边BC相切于点D，连接AD、DE．（1）求证：△EAD∽△DAC；（2）若∠CAD=30°，BE=2，求阴影部分图形的周长．8．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙0交BC于点D，过点D作⊙0的切线交AB于点E.（1）求证：DE⊥AB.（2）若DE=3，∠C=30°，求阴影部分面积.9．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：CD（3）若⊙O的半径为8，∠CDF=22.5°，求扇形OBD（阴影部分）的周长（结果保留10．如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D，连结AO.（1）若∠BAC=60°.①求证：OD=1②当OA=1时，求△ABC面积的最大值；（2）点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m、n是正数），若∠ABC<∠ACB，求证：m−n+2=0参考答案1．【答案】（1）证明：连接OE，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠AOE=∠BOE=90°．∴OE⊥AB．∵四边形ADEF为平行四边形，∴AB∥EF．∴OE⊥EF，∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：过点B作BH⊥CE，垂足为点H，连接BE，∵∠BCH=45°，∴∠CBH=45°，在Rt△BHC中，BH=CH=BC·sin45°=1，在Rt△BEH中，∠BEC=∠BAC=30°，∴HE=BH∴CE=CH+HE=1+3．2．【答案】（1）解：如图中，连接OA、OB、OC，作AM⊥BC于M．∵∠AOB=2∠ACB=90°，∴AB=2∵AM⊥BC，∠ABM=60°，∴BM=12AB=1∵AM⊥BC，∠ACM=45°，∴CM=AM=3，AC=∴△ABC的面积=1（2）解：如图2中，延长BE交AC于K，连接BD，EF，OF．∵D是BC的中点，DF⊥BC于点F，∴O、F、D共线，BF=FC，∵∠BED=∠BFD=90°，∴B、E、F、D四点共圆，∴∠EFB=∠BDE=∠ACB=45°，∴EF∥AC，∵BF=FC，∴BE=EK，∴EF=1∵D是BC的中点，∠AEB=∠AEK=90°，∴∠BAE=∠KAE，∴∠ABE=∠AKE，∴AK=AB=2，∴KC=AC−AK=6∴EF=63．【答案】（1）解：连接BC，∵A（10，0），∴OA＝10，CA＝5，∵∠AOB＝30°，∴∠ACB＝2∠AOB＝60°，∴弧AB的长＝60×π×5（2）解：①若D在第一象限，连接OD，∵OA是⊙C直径，∴∠OBA＝90°，又∵AB＝BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD＝OA＝10，在Rt△ODE中，OE＝O∴AE＝AO−OE＝10−6＝4，由∠AOB＝∠ADE＝90°−∠OAB，∠OEF＝∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴AE即48∴EF＝3；②若D在第二象限，连接OD，∵OA是⊙C直径，∴∠OBA＝90°，又∵AB＝BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD＝OA＝10，在Rt△ODE中，OE＝O∴AE＝AO＋OE＝10＋6＝16，由∠AOB＝∠ADE＝90°−∠OAB，∠OEF＝∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴AE即168∴EF＝12；∴EF＝3或12；（3）解：存在，理由如下，

设OE＝x①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF＝∠BOA或∠ECF＝∠OAB，当∠ECF＝∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE＝5∴E当∠ECF＝∠OAB时，有CE＝5−x∴CF∥AB，有CF＝1∵△ECF∽△EAD，∴CEAE＝CFAD∴E②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF＝∠BAO，连接BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE＝AB＝BD，∴∠BEA＝∠BAO，∴∠BEA＝∠ECF，∴CF∥BE，∴CF∵∠ECF＝∠BAO，∠FEC＝∠DEA＝90°，∴△CEF∽△AED，∴CFAD＝∴OC2OE＝CEAE∴E③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA＝∠EOF＞∠ECF.∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF＝∠BAO连接BE，得BE＝∴∠ECF＝∠BEA，∴CF∥BE，∴CF又∵∠ECF＝∠BAO，∠FEC＝∠DEA＝90°，∴△CEF∽△AED，∴CEAE＝∴OC∴5解得x1∵点E在x轴负半轴上，∴E综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：E14．【答案】（1）证明：如图所示，连接OE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∵AC=AD，∴∠CAE=∠DAE，又∵AO=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OEA=∠DAE，∴OE∥AD，又∵EF⊥AD∴OE⊥EF；∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAC=∠DAC=30°，BC=2，∠CAE=1∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=45°，AC=2BC=4，∴OC=2，连接OB，则∠BOE=45°，∴BCE=5．【答案】（1）证明：如图，连接OB，∵△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，∴△DBE≌△ABC，又∵∠ABC=90°，∴∠DBE=90°，∵⊙O是△DBE的外接圆，∴DE是⊙O的直径，OB是⊙O的半径且是DE边的中线，∵BM是AC边的中线，∴BM绕点B顺时针旋转90°得到OB，∴∠OBM=90°，即BM⊥OB，∴BM是⊙O的相线.（2）解：如图，连接PD，∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=1，∴AC=2，∵△DBE≌△ABC，∴∠DBE=∠ABC=90°，DE=AC=2，∵点P是DE的中点，∴∠PBD=∠PBE=45°，PD=PE，又DE是⊙O的直径，∠DPE=90°，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD∴PD∵∠PEH=∠PBD=∠PBE=45°，∠EPH=∠BPE，∴△PEH∽△PBE，∴PHPE∴PH⋅PB=PE6．【答案】（1）证明：连接OE、OF，∵AC切⊙O于点E，∴OE⊥AC，即∠OEA=90°，∵∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠EOA=∠CBA，∠EOF=∠OFB，∵OB=OF，∴∠OFB=∠CBA，∴∠EOD=∠EOF，∴DE=（2）解：连接DE，∵∠A=30°，AB=6，∴∠OBF=∠EOD=60°，∵OE=OD=OF=OB，∴△DOE、△BOF都为等边三角形，∠EDO=60°，∴∠DEA=30°，∴AD=DE=DO=OB=BF=2，∵∠A=30°，∠ACB=90°，AB=6，∴BC=1∴CF=BC−BF=1.7．【答案】（1）证明：连接OD，由题意可知，∠ACD=90°，AE为直径，∴∠ADE=90°，则∠ADE=∠ACD=90°，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC，则∠ODB=90°，∴OD∥AC，∴∠CAD=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠CAD=∠DAO，∴△EAD∽△DAC；（2）解：∵∠CAD=30°，由（1）可知，∠CAD=∠DAO，∴∠CAD=∠DAO=30°，则∠CAB=60°，∠B=30°，∠DOE=60°，∴△DOE为等边三角形，则∠ODE=60°，OD=DE=OE又∵∠ODB=90°，∴∠BDE=30°，∴DE=BE=2，∴OD=DE=OE=2，则BD=23DE=∴阴影部分图形的周长为：DE+BE+BD=8．【答案】（1）证明：连接OD，AD，

∵AC为直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC的中点，∴DO为中位线，∴DO//AB，∵过点D作⊙0的切线交AB于点E，∴OD⊥DE，∴DE⊥AB.（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠BAC=120°，

∵DE⊥AB，

∴∠BED=90°，

∴CD=BD=DEsinB=3sin30°=312=23，

∴DE=3，

BE=DEtan∠B=3tan30°=333=3，

AD=BDtan∠B=23×tan30°=23×33=2，

∴9．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥AC，∴直线DF是⊙O的切线；（2）证明：连接AD，如图：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DAC=90°−∠ADF=∠FDC，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△DFC，∴CDCF=（3）解：∵DF⊥AC，∴∠C=∠B=67.∴∠BAC=45°，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD=67.∴∠BOD=45°，∵⊙O的半径为8，∴l∴扇形OBD（阴影部分）的周长为2π+8+8=2π+16．10．【答案】（1）解：①证明：连接OB，OC，

∵弧BC=弧BC，OD⊥BC

∴∠ODB=90°，∠BOD=12∠BOC=∠BAC=60°，BC=2BD，

∴∠OBD=90°-60°=30°，

∴OD=12OB=12OA；

②∵BC为定值，

∴△ABC的面积最大，就是BC边上的