中考数学专题复习《圆与四边形的综合（圆的综合问题）》测试卷(附带答案)

第第页中考数学专题复习《圆与四边形的综合（圆的综合问题）》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．

(1)求证：；(2)若，，求的面积．2．如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．

(1)求证：；(2)当点A到弦的距离为1时，求的值．3．如图1，已知是的直径，弦于点，点是线段延长线上的一点，连结交于点，连接交于点，连接和．(1)求证：．(2)若，且，求的长．(3)如图2，连接，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案）．4．如图，在平面直角坐标系中，，、，且．以为直径作交于点D，过点D作直线交线段于点E，且．

(1)求证：是的切线；(2)若线段上存在一点P，使以点P为圆心，为半径的与y轴相切，求点P的坐标．5．如图，以的边为直径作交于且，交于点．

(1)求证：；(2)若，，求的长度．6．如图，四边形是的内接四边形，点F是延长线上的一点，且平分，于点E．

(1)求证：．(2)若，，求的长．7．已知：、、三点不在同一直线上．

(1)若点、、均在半径为的上，（i）如图①，当，时，求的度数和的长；（ii）如图②，当为锐角时，求证：；(2)若定长线段的两个端点分别在的两边、（、均与不重合）滑动，如图③，当，时，分别作，，交点为，试探索在整个滑动过程中，、两点间的距离是否保持不变？请说明理由．8．已知矩形，，，点O是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点．

(1)如图1，连接，若是圆O的切线，①求证：；②设与交于点F，求的长．(2)若动点G从点B向C运动，连接，作四边形关于直线对称图形四边形，如图2．求点G在运动过程中线段扫过的面积．9．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

(1)如图1，若四边形是圆美四边形．求美角的度数；(2)在（1）的条件下，若的半径为4．①求的长；②连接，若平分，如图2，请判断、、之间有怎样的数量关系，并说明理由．10．如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求半径的长．11．如图，在菱形中，点P在对角线上，且，是的外接圆．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的直径．（请用两种方法作答）12．已知，为的直径，弦与交于点E，点A为弧的中点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点F为弧上一点，连接，，，过点C作交于点G，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点L，连接，若，，求线段的长．13．已知为的外接圆，的半径为6．(1)如图，是的直径，点是的中点．①尺规作图：作的角平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）：②求的长度．(2)如图，是的非直径弦，点在上运动，，点在运动的过程中，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．14．如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连接，，点关于的对称点为，直线交于点，交于点．(1)求证：；(2)当点在上，连接交于点，若，求的值；(3)当点在射线上，，四边形中有一组对边平行时，求的长．15．圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．(1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________；(2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长；(3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值．参考答案：1．（1）证明：连接，∵，∴，∵点是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．

（2）解：连接，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面积为：．

2．（1）证明：如图，连接交于点M，

∵点A为的中点，∴，∵与相切，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴；（2）解：如图，

∵，∴，∴，∵点A到弦的距离为1，即，在中，，∴，∴|，，由（1）可知四边形为平行四边形，∴．3．（1）解：∵弦于点∴∵是的直径，∴即∵四边形是的内接四边形∴∴；（2）解：如图：连接与相交于一点H，∵∴∵弦于点∴在中，即解得∴∵∴设在中，在中，即∴解得∴（3）解：如图，连接∵四边形为平行四边形，且易知∴四边形为菱形∵四边形是的内接四边形∴∴∵由（1）知；∴∴∵是的直径，∴∵四边形为菱形∴∵∴∴∴∴∴4．（1）证明：连接，，如图，

∵、，，．∵以为直径作交于点D，．，，∴四边形为矩形，，，，，为等边三角形，，，，，为的半径，是的切线；（2）解：∵线段上存在一点P，使以点P为圆心，为半径的与y轴相切，∴点P到y轴的距离等于．过点P作轴于点F，轴于点H，如图，

则．由（1）知：，，．轴，轴，，∴四边形为矩形，，，，，，∴点P的坐标为．5．（1）证明：∵四边形内接于，，又，，，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，连接，

，∵为直径，∴，，，由（1），，，∴，∴，∴，由（1）可得，，则，∴，设，则，，，解得：，∴．6．（1）证明：∵平分，，∵四边形是的内接四边形，，，，，，．（2）解：过点A作于点G，

，∵平分，，，，在和中，，，，，在和中，，，，又，，，，，．7．（1）（i）证明：∵、、均在上，∴，∵，在中，根据勾股定理，∴．（ii）证法一：如图②，连接，作直径，则，，∴∴；

证法二：如图③．连接、，作于点，则，，∴．

（2）如图④，连接，取的中点，连接、，在中，，同理得：，∴，∴点、、、都在上，∴由（1）（ii）可知，∴（定值），故在整个滑动过程中，、两点间的距离不变．

8．（1）①∵矩形，，点O是的中点，∴，∴是圆O的切线，∵是圆O的切线。∴；②连接，则，∵矩形，∴，∴，∴，∴，设，则，则在直角三角形中，，根据勾股定理可得：，解得：，即；

（2）当B、G重合时，如图，∵，∴，

当G、C重合时，如图，∵，∴点旋转的角度是，∵，∴线段扫过的面积是．

9．（1）由题意得：，，，．（2）①如图1，连接并延长交于点，连接，

的半径为4，，，．②．理由如下：如图2，延长到，使得，连接，

，．平分，，．，，，，，为等边三角形，，，．10．（1）证明：连接，

∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴是的切线；（2）解：连接，

∵为直径，∴，∵，∴四边形为矩形，设，则，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，即，根据勾股定理可得：∴半径的长为．11．（1）证明：连接、，交于E，如图所示：

，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∴直线与相切；（2）解：方法一：连接，交于F，如图所示：

，菱形中、互相垂直平分，∵，，∴，，∴，∴，在中，，又，∴，，，∴，设的半径为r，则，∴在中，，即，解得，即直径；方法二：连接，交于F，连接并延长交于E，连接，如图所示：

，∵为直径，∴，∵，∴，又所对，∴，∴，设，则，∴，又，即，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，即直径为．12．（1）证明：如图1，连接，，∵点A为弧的中点，∴，∴，∵，∴；（2）证明：如图2，连接，，，则，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，又，∴；（3）解：如图3，连接，，，，过G作于M，过O作于K，则，设，则，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴平行四边形是菱形，∴,∴，则；∵，∴∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，即，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，∴设，则，∴，即，∴，则，∴，则，∴，，则，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．13．（1）解：①如图1，即为所作图形；②∵点是的中点，∴．∵是的平分线，∴．∵是的直径，∴经过圆心O，∴．∵的半径为6，∴，∴；（2）点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值．理由：如图，连接，过点D作于点E，交于点，过点C作．∵，∴，，∴．∵四边形为内接四边形，∴，∴为等边三角形．∵，∴为直径，是的中点．∵，∴．∵为等边三角形，∴和边上的高都为定值，∴当最大时，最大，此时点C与点重合，∴当点C为中点时，最大，此时为直径，∴，如图3．∵的半径为6，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴点C在运动过程中，四边形的面积存在最大值，最大值为．14．（1）证明：如图，设与相交于点M，∵与相切于点A，∴，∵，∴，∴，∴，，∵点A关于的对称点为E，∴，∴．（2）解：过F点作于点K，设与交于点N，连接，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：，∵为的直径，且，由垂径定理得：，∴，∵点A关于的对称点为E，∴，∴，即，∴，由同弧所对的圆周角相等得：，且，∴，

∴，∵，与交于点N，∴．∵，，∴，∴，设，∵点A关于的对称点为E，，，，又，∴，

∴．∵，∴，∴；（3）解：分类讨论如下：如图，当时，连接，，设，则，∵，，，，，，，，，，，，∵，，，，；如图，当时，连接，，设，，∵，，，，