专题37 轴对称、平移、旋转【十二大题型】（举一反三）（原卷版）

专题37轴对称、平移、旋转【十二大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1轴对称图形、中心对称图形的识别】 1【题型2与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】 3【题型3与几何图形有关的折叠问题】 4【题型4与抛物线有关的折叠问题】 6【题型5利用轴对称求最值】 7【题型6根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 9【题型7与轴对称、平移、旋转有关的规律探究问题】 11【题型8用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】 12【题型9旋转或轴对称综合题之线段问题】 14【题型10旋转或轴对称综合题之面积问题】 16【题型11旋转或轴对称综合题之角度问题】 18【题型12利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案】 20【知识点轴对称、平移、旋转】1.平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。2.轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3.旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。(3)中心对称图形定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。(4)关于原点对称的点的坐标两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为P′(-x，-y)。【题型1轴对称图形、中心对称图形的识别】【例1】（2023·广东东莞·一模）如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【变式1-1】（2023·安徽合肥·校考一模）如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合，则下列说法正确的是（

）A．这个图形一定是中心对称图形．B．这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．C．这个图形旋转216度后能与它本身重合．D．这个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．【变式1-2】2023·福建泉州·统考模拟预测）如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是（

）A．

B．

C．D．

【变式1-3】（2023·山东青岛·统考三模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2与坐标系有关的对称、平移、旋转问题】【例2】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=42，点D的坐标是45,0，tan∠BDO=13，将△BDE旋转到△ABC

A．25,1255 B．35【变式2-1】（2023·广东潮州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A-1，4的对应点C1，A．4，-1 B．0，3 C．【变式2-2】（2023·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，已知A2，1，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到AA．-1，2 B．2，-1 C．【变式2-3】（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点Mx,y，已知x，y满足4x+3+(5y-2)2=0，则点M关于y【题型3与几何图形有关的折叠问题】【例3】（2023·广西南宁·校考二模）如图，已知平行四边形纸片ABCDAD>AB，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上，连接BF，若AE=4,BF=8，则四边形ABEF的面积为（

A．64 B．48 C．32 D．16【变式3-1】（2023·河南·统考中考模拟）将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF，已知AB=AC=3，BC=4．若以点B'、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是【变式3-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为8cm的⊙O中，连接CE，AC，AE，沿直线CE折叠，使得点D与点O重合，则图中阴影部分的面积为（

A．323cm2 B．83cm2【变式3-3】（2023·河南周口·校联考模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图（1），正方形纸片ABCD，点E是BC边上（点E不与点B，C重合）任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图（2）所示；操作二：将图（2）沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图（3）所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图（4）所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点（填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图（5），连接AN，改变点E在BC上的位置，（填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图（6），BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【题型4与抛物线有关的折叠问题】【例4】（2023·广西贵港·统考三模）抛物线y=-12x2+32x+c与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点

(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．(2)若点E的纵坐标为0，且以A，E，(3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N'，则是否存在点M，使点N'则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点【变式4-1】（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t【变式4-2】（2023·山西临汾·统考一模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2-32x-4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．将△ABC沿(1)求点A，B，C的坐标．(2)求直线BD的函数表达式．(3)在抛物线上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2023·湖南岳阳·统考一模）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1:y=x2+bx+c经过点A1,0和点B(3,0)，与y轴交于点C，经过点A的直线l与y轴的负半轴交于点D，与抛物线F(1)求抛物线F1(2)如图②，点P是抛物线F1上位于x轴下方的一动点，连接CP、EP，CP与直线l交于点Q，设△EPQ和△ECQ的面积为S1和(3)如图③，将抛物线F1沿直线x=m翻折得到抛物线F2，且直线l与抛物线F2【题型5利用轴对称求最值】【例5】（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，

A．23 B．3 C．32 D【变式5-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，已知，等边△ABC中，AB=6，将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，连接BD，交AC于O点，E点在OD上，且DE=2OE，F是BC的中点，P是AC上的一个动点，则PF-PE的最大值为．【变式5-2】（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，菱形ABCD的边长为10，tanA=43，点M为边AD上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线BM的对称点为点A'，点N为线段CA'的中点，连接【变式5-3】（2023·浙江·统考二模）如图，在正方形ABCD中，点E为边BC上一个动点，作点B关于AE的对称点B'，连接并延长DB'，交AE延长线于点F，连接B

(1)求证：BF=B(2)求∠BB(3)若AB=2，在点E的运动过程中，求点F到BC距离的最大值．【题型6根据中心对称的性质求面积、长度、角度】【例6】（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B(-2,0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF

【变式6-1】（2023·山西朔州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是．【变式6-2】（2023·江苏南通·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=3．E为边AB上一动点，连接DE．作AF⊥DE交矩形ABCD的边于点F，垂足为(1)求证：∠AFB=∠DEA；(2)若CF=1，求AE的长；(3)点O为矩形ABCD的对称中心，探究OG的取值范围．【变式6-3】（2023·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，动点P从点B出发，在线段BC上以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，连接AP．将△APB沿直线(1)求BC的长；(2)当四边形ABPB'为中心对称图形时，求(3)当点B'在BC下方时，连接BB'(4)当直线AB'与△ABC一边垂直时，直接写出【题型7与轴对称、平移、旋转有关的规律探究问题】【例7】（2023·河南商丘·统考三模）如图，平面直角坐标系中，A(1，1)，B(0，3)，以AB为边在AB右侧作正方形ABCD．第一次操作：将正方形ABCD绕点O顺时针旋转90°得到正方形A1B1C1D1；第二次操作：将正方形A1B1C1D1绕点O顺时针旋转90°

A．(-2，4) B．(-4，2) C．(4，-2) D．(2，-4)【变式7-1】（2023·重庆南岸·二模）如图，Rt△A1B1C1的斜边A1B1在直线y=3x-3上，点B1在x轴上，C1点坐标为2,0．先将△A1B1C1沿较长直角边A

A．15,53 B．15,63 C．17,53【变式7-2】（2023·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象为直线l，作点A11,0关于直线l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将A4向右平移2个单位得到点A．1007,1008 B．1008,1006 C．1006,1008 D．1008,1007【变式7-3】（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，菱形OABC的位置如图所示，其中点B的坐标为(-1,1)，第1次将菱形OABC绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1（即OB1=2OB），第2次将菱形OA1B1C1绕着点O顺时针旋转90°，同时扩大为原来的2倍得到菱形OA2B2C2（即OB2

A．22025,22025 B．2507,【题型8用平移、轴对称、旋转、中心对称作图】【例8】（2023·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．(1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到△A1B(2)将（1）中的△A1B1C1以【变式8-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为Aa,1，B3,3，C4,-1；△ABC经过平移得到△A'B'(1)观察各对应点坐标的变化并填空：a的值为______，b的值为______；(2)画出△ABC及将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，点C的对应点为点E，写出点E的坐标．【变式8-2】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图是6×6的正方形网格，线段AB的端点A,B都在格点（网格线的交点）上．

(1)将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到对应线段AB1，画出线段(2)请仅用无刻度的直尺过点B作一条直线l，使得点A,B1到【变式8-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．

(1)画出△ABC向下平移3个单位后的△A1(2)画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2(3)连接C1C2，请直接写出C【题型9旋转或轴对称综合题之线段问题】【例9】（2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP①若∠PAP2=β，请判断β②若AD=m，求P，P3(3)拓展应用：在（2）的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P【变式9-1】（2023·河南周口·校联考二模）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、BD．根据条件填空：

①∠ACE的度数为；②若CE=2，则CA的值为；【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF=45°，BE=1，DF=2，求正方形ABCD的边长；

【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD=CB，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，且满足AC=32CD，若AD=3，AB=4

【变式9-2】（2023·北京房山·统考二模）如图，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BA延长线上一点，连接DC，点E和点B关于直线DC对称，连接BE交AC于点F，连接EC,ED,DF

(1)依题意补全图形，并求∠DEC(2)用等式表示线段EC,ED和CF之间的数量关系，并证明．【变式9-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）综合与实践——探究图形旋转中的问题，问题背景：在一次综合实践活动课上，同学们以两个菱形为对象，研究相似菱形旋转中的数学问题．已知菱形ABCD∽菱形A'B'C'D'，它们各自对角线的交点重合于点O

观察发现：（1）如图1，若A'B'∥AB，连接AA'，DD'操作探究：（2）保持图1中的菱形ABCD不动，将菱形A'B'C'D'①当0°<α<90°时，得到图2．此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②小颖发现，在菱形A'B'C'D'绕点O顺时针旋转到图3位置时，连接C③当菱形A'B'C'D'绕点O旋转至A【题型10旋转或轴对称综合题之面积问题】【例10】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，将不是矩形的▱ABCD绕点A旋转得到▱AB(1)当点B'落在边BC上，且B'C'与边①点D____C'D'上(填“在”或“②如果点B'、E分别为边BC、CD的中点，求AB(2)当点B'落在对角线AC上，且B'C'经过边AD的中点M时，设ABBC=x，S△A【变式10-1】（2023·吉林松原·统考二模）如图，在Rt△ABC中，AB=8，∠ACB=90°，∠A=60°，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作∠BPD=120°，边PD交折线AC-CB于点D，作点A关于直线PD的对称点为E，连接ED、EP得到△PDE，设点P的运动时间为t

(1)直接写出线段PD的长（用含t的代数式表示）；(2)当点E落在边BC上时，求t的值；(3)设△PDE与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式；(4)设M为AB的中点，N为ED的中点，连接MN，当MN⊥AC时，直接写出t的值．【变式10-2】（2023·四川成都·模拟预测）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，旋转角为α，连接CD．

(1)①若α=60°，则∠CDA=°；②若0<α<90°，求∠CDA的度数．(2)如图2，当0<α<90°时，过点B作BE⊥AD于点E，CD与BE相交于点F，请探究线段CF与线段BE之间的数量关系；(3)当0<α<360°时，作点A关于CD所在直线的对称点A'，当点A'在线段BC所在的直线上时，求△A【变式10-3】（2023·江西·统考中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含（参考数据：sin15°=【题型11旋转或轴对称综合题之角度问题】【例11】（2023·贵州六盘水·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为边AB上异于A，B的一个动点，作点A关于CP的对称点A'，连接A'P，A'(1)若AC=8，BC=6，CE是边AB上的高线．①求线段CE的长；②当∠PQA'=90°(2)在∠A=35°的情况下，当△A'PQ【变式11-1】（2023·广东广州·二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ0<θ<90°，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（A．30° B．45° C．60° D．随若θ的变化而变化【变式11-2】（2023·福建泉州·一模）如图1，已知△ABC的内角∠ACB的平分线CD与它的一个外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D．

(1)求证：∠B=2∠D；(2)若作点D关于AC所在直线的对称点D'，并连接AD'①如图2，当∠BAC=90∘时，求证：②如图3，当AC=BC时，试探究∠DAD'与【变式11-3】（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是_________，MN与AC的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2，若∠BA