专题09 圆（解析版）

专题09圆（解析版）1．（2021·福建·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=6,PC=4，则sin∠CAD等于（

A．35 B．25 C．34【答案】D【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin∠COP即可【详解】解：连接OC，CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵AB=6∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴sin∠CAD=sin∠COP=故选：D．【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解．2．（2020·福建·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于（

）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【分析】根据AB=CD，A为BD中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【详解】∵A为BD中点，∴AB=∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵AB=CD，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴∠ADB=40°，故选：A．【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．3．（2019·福建·统考中考真题）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于(

)A．55° B．70° C．110° D．125°【答案】B【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．4．（2023·福建·统考中考真题）如图，已知△ABC内接于⊙O,CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥(1)求证：AO∥BE；(2)求证：AO平分∠BAC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由切线的性质可得∠OAF=90°，由圆周角定理可得∠CBE=90°，即∠OAF=∠CBE=90°，再根据平行线的性质可得∠BAF=∠ABC，则根据角的和差可得∠OAB=∠ABE，最后根据平行线的判定定理即可解答；（2）由圆周角定理可得∠ABE=∠ACE，再由等腰三角形的性质可得∠ACE=∠OAC，进而得到∠ABE=∠OAC，再结合∠OAB=∠ABE得到∠OAB=∠OAC即可证明结论．【详解】（1）证明∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF=90°．∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE=90°．∴∠OAF=∠CBE=90°．∵AF∥BC，∴∠BAF=∠ABC，∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC，即∠OAB=∠ABE，∴AO∥BE．（2）解：∵∠ABE与∠ACE都是AE所对的圆周角，∴∠ABE=∠ACE．∵OA=OC，∴∠ACE=∠OAC，∴∠ABE=∠OAC．由（1）知∠OAB=∠ABE，∴∠OAB=∠OAC，∴AO平分∠BAC．【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．5．（2022·福建·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接(1)求证：AC=AF；(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长（结果保留π）．【答案】(1)证明见解析；(2)5π【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B=∠D，等量代换可得∠AFC=∠ACF，即可得出答案；（2）连接AO,CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠AFC=∠B，∴∠AFC=∠ACF，∴AC=AF．（2）解：连接AO,CO，如图，由（1）得∠AFC=∠ACF，∵∠AFC=180°-30°∴∠AOC=2∠AFC=150°，∴AC的长l=150×π×3【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．6．（2022·福建·统考中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线．(1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求tan∠ADB【答案】(1)作图见解析(2)5【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；（2）根据题意，作出图形，设∠ADB=α，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解BE=rtanα，再判定△ABE≌△CDF，根据BE=DF=rtanα，DE=DF+EF=rtanα+r，在Rt△ADE中，利用tan【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作：（2）解：根据题意，作出图形如下：设∠ADB=α，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又AE=AG=r，∴四边形AEFG是正方形，∴EF=AE=r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADB=α，在Rt△ABE中，tan∠BAE=∴BE=rtan∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌∴BE=DF=rtan∴DE=DF+EF=rtan在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE∴rtanα+rtan∵tanα>0∴tanα=5-12，即tan∠【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．7．（2020·福建·统考中考真题）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B,D重合的点，sinA=（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF=33，求证：DF与⊙O【答案】（1）60°；（2）详见解析【分析】(1)连接OB，在Rt△AOB中由sinA=12求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°(2)连接OF，在Rt△OBF中，由tan∠BOF=BFOB=3可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°【详解】解：(1)连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∵sinA=12，∴∠AOB=60°，则∠BOD=120°．由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠BED=1故答案为：60°(2)连接OF，由(1)得OB⊥AB，∠BOD=120°，∵OB=3，BF=33，∴tan∴∠BOF=60°，∴∠DOF=60°．在ΔBOF与ΔDOF中，{∴ΔBOF≌ΔDOF(SAS)，∴∠ODF=∠OBF=90°．又点D在⊙O上，故DF与⊙O相切．【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．8．（2019·福建·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【答案】(1)见解析；(2)tan∠BAD=112【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=AC，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∠ADB＝90°−∠CAD，从而得到12∠BAC（2）易证得BC＝CF＝45，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角形求得tan∠BAD的值．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°−∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10,AC=10.又BC＝45，设AE＝x,CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2,100－x2=80－(10－x)2,x=6∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE⋅CEBE=6×4∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB•DH＝12∴DH＝BD•AEAB∴BH＝BD∴AH＝AB−BH＝10−445∴tan∠BAD=DHAH=336=【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题．9．（2020·福建·统考中考真题）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留π）【答案】4π【分析】根据扇形的面积公式S=nπ【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°，∴扇形的面积是：S=90×π×故答案为：4π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键．10．（2019·福建·统考中考真题）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)【答案】π－1【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝14×（S圆O−S正方形ABCD）＝14×（4π−4）＝故答案为π−1．【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．一、单选题1．（2023·福建厦门·校考二模）如图，在⊙O中，A、B、C为圆上三点，将下列命题“同弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半”用符号语言表示为（）A．∵AB＝AB，∠C＝∠D，∴∠C=B．∵AB＝AB，∴∠C＝∠D，∠C=1C．∵AB=AB，∠C＝∠D，D．∵AB=AB，∴∠C＝∠D，【答案】D【分析】根据圆周角定理进行判断即可．【详解】解：由圆周角定理知：∵AB=∴∠C＝∠D，∠C=12∠AOB故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练用符号语言表示圆周角定理，是解题的关键．2．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（

）A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大B．同一个圆所有的直径都相等C．圆的周长是直径的π倍D．圆是轴对称图形【答案】B【分析】根据圆的特征即可求解．【详解】解：根据同一个圆所有的直径都相等，则井盖就不会掉进井里去，故选：B．【点睛】本题主要考查圆的基础知识，理解并掌握圆的基础知识，圆的基本特征是解题的关键．3．（2023·福建泉州·统考二模）如图，BC与⊙O相切于点B，CO的延长线交⊙O于点A，连接AB，若∠ACB=20°，则∠BAC等于（

）．

A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【分析】连接OB，根据切线的性质可得出OB⊥BC，从而可求出∠BOC=90°-∠ACB=70°，再根据圆周角定理即可求出∠BAC=1【详解】解：如图，连接OB．

∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠BOC=90°-∠ACB=70°，∴∠BAC=1故选C．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接常用的辅助线是解题关键．4．（2023·福建南平·统考一模）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=12，则AB的长是（A．4 B．23 C．8 D．43【答案】C【详解】试题解析：连接OC，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∴AB=2AC，∵OD=2，∴OC=2，∵tan∠OAB=12∴AC=4，∴AB=8，故选C．考点：切线的性质．5．（2023·福建漳州·统考一模）一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（

）A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm【答案】C【分析】分两种情况，点P在圆内和点P在圆外，点P到圆的最远距离与最近距离之和或差就是直径，据此求解即可．【详解】设这个点为点P，分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系与半径的大小关系是解题的关键．6．（2023·福建·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB=6,PC=4，则sin∠CAD等于（

A．35 B．25 C．34【答案】D【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出sin∠COP即可【详解】解：连接OC，CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵AB=6∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴sin∠CAD=sin∠COP=故选：D．【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解．7．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，在△ABC中，AB=6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE=18°，则∠GFE的度数是（

）A．50° B．48° C．45° D．36°【答案】B【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，∵BC与圆A相切于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD=ADAB=1∴∠BAD=60°，∵∠CDE=18°，∴∠ADE=90°﹣18°=72°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC=36°+60°=96°，∴∠GFE=12∠GAC=48°故选：B．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．8．（2023·福建莆田·福建省莆田市中山中学校考二模）如图，AB、AC为⊙O的两条切线，∠BAC=50°，点D是BC上一点，则∠BDC的大小是（

）A．100° B．110° C．115° D．125°【答案】C【分析】连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，首先求出∠BOC，再根据∠BD′C=12∠BOC，∠BDC+∠BD′C=180°【详解】解：连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，如图，∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，∴∠BD′C=12∠BOC=65°∴∠BDC=180°-65°=115°，故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．9．（2023·福建泉州·校联考一模）如图，两个同心圆(圆心相同半径不同的圆)的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为(

)A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm【答案】B【分析】首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，根据已知条件可得：OA=2OC，进而求出∠AOC的度数，则圆心角∠AOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长．【详解】解：如图，连接OC，AO，∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∵OA=6，OC=3，∴OA=2OC，∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴劣弧AB的长=120×π×6180=4π故选B．【点睛】本题考查切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题关键．10．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，AC=3，点D是△ABC的内心，则BD的长度为（）A．2 B．3 C．10 D．34【答案】C【分析】根据点D是△ABC的内心，画出△ABC的内切圆⊙D，如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足为E，F，H，连接AD，根据内切圆的性质可知垂足E，F，H也是△ABC三边与⊙D的切点，DE=DF=DH，AE=AH，BE=BF，CF=CH，利用勾股定理可得AB=BC2-AC2=4，设BE=x，则BF=x，根据切线长定理可求得BE=3，设DE=r【详解】根据点D是△ABC的内心，画出△ABC的内切圆⊙D，如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足为E，F，H，连接AD，根据内切圆的性质可知垂足E，F，H也是△ABC三边与⊙D的切点，∴DE=DF=DH，∵∠BAC=90°，∴AB=B设BE=x，则BF=x，∴AE=AB-BE=4-x，CF=CH=5-x，AH=AE=4-x，∴5-x+4-x=3，∴x=3，∴BE=3，设DE=r，∵S△ABC∴12∴r=1，∴DE=1，∴BD=B故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．二、填空题11．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是_____．【答案】21π．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】解：圆锥的侧面积＝12×2π×3×7＝21π故答案为21π．【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．（2023·福建泉州·统考三模）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为_____.【答案】15°【分析】根据圆周角和圆心角的关系解答即可．【详解】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，∠1＝12∠AOB＝12×30°＝故答案为15°【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=28°，则∠D=______°【答案】62【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是90°，可得∠ADB=90°，由CB=CB，可得∠BAC=∠BDC，进而可得【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵CB=∴∠BAC=∠BDC=28°，∴∠ADC=90°-∠BDC=62°故答案为：62【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．14．（2023秋·福建福州·九年级校联考期中）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm，则BC=___【答案】10【分析】先根据切线长定理得到BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，再证明∠BOC=90°，然后利用勾股定理计算出BC即可．【详解】解：∵AB、BC、CD分别与⊙O∴BO平分∠ABC，CO平分∠BCD∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=90°在Rt△OBC中，BO=6cm，CO=8∴BC=6故答案为：10【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键．15．（2023·福建泉州·福建省泉州第一中学校考模拟预测）将一个底面半径为3cm，高为4cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开，所得的侧面展开图面积为________．【答案】15πc【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可．【详解】∵半径为3cm，高为4cm∴母线l=∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15πc故答案为：15πcm【点睛】本题考查了圆锥的侧面积问题，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．16．（2023·福建·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，⊙E为内切圆，若BE=4，则△BCE的面积为___________.【答案】4【分析】如图（见解析），先根据三角形内切圆的性质、直角三角形的性质、切线长定理可求出BD=BF=23,AF=AG=2,CD=CG，再设CD=CG=x，利用勾股定理可求出x的值，从而可得【详解】如图，设圆E与Rt△ABC三边的相切点分别为点D,F,G，连接ED,EF,EG,EA则ED⊥BC,EF⊥AB,EG⊥AC，且ED=EF=EG由题意得：∠ACB=30°，∠BAC=90°，∠ABC=60°∵圆E为Rt△ABC的内切圆∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC∴∠DBE=12则在Rt△BDE中，ED=12在Rt△AEF中，AF=EF=ED=2由切线长定理得：BD=BF=2∴AB=AF+BF=2+2设CD=CG=x，则BC=BD+CD=23+x在Rt△ABC中，由勾股定理得：A即(2+2解得x=4+2则△BCE的面积为1故答案为：43【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、切线长定理、圆的切线的性质、勾股定理等知识点，掌握理解三角形内切圆的性质是解题关键．三、解答题17．（2023·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．【答案】证明见解析【分析】连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．【详解】如图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．【点睛】此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．18．（2023·福建福州·统考一模）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，BC＝12，则求出⊙O的面积．【答案】（1）见解析；（2）100π．【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，交点即为△ABC的外接圆的圆心．（2）根据垂径定理以及勾股定理，即可得到OB的长，进而得出⊙O的面积．【详解】解：（1）如图，⊙O即为所画的图形．（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．由题意得：OE＝8，BE＝EC＝6，在Rt△BOE中，OB＝82+6∴S【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆，以及求三角形的外接圆的面积，考查了垂径定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．19．（2023·福建莆田·校联考一模）(1)尺规作图：如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线m;（2）在直线m上任取一点P（A点除外），连接PB交圆O与点C，请补全图形，并证明：P【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）过点A作AB的垂线得到⊙O的切线；（2）连接AC，利用切线的性质得AP⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ACB=90°，接着证明△APC～△BPA，然后利用相似三角形的性质得到结论．【详解】（1）解：如图，直线m为所求作；（2）证明：连接AC．∵AP是⊙O的切线，∴AP⊥AB．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=∠BAP=90°．∵∠APC=∠BPA，∴△APC～△BPA，∴PA：PC=PB：PA，∴PA2=PC•PB．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．20．（2023·福建漳州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在BA延长线上，点D在⊙O上，连接CD，AD，∠ADC=∠B，OF⊥AD于点E，交CD于点F．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若S△COF:S【答案】(1)见解析(2)sin【分析】（1）连接OD，由AB是直径，可得∠ADB=90°即∠ADO+∠BDO=90°，再由OB=OD，可得∠BDO=∠B，最后根据∠ADC=∠B（2）由OF⊥AD，∠ADB=90°，可证OF∥BD即∠COF=∠B，从而证明△COF∽CBD，可得S△COFS△CBD=COCB2，再由S【详解】（1）证明：连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，∵OB=OD，∴∠BDO=∠B，∵∠ADC=∠B，∴∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵OF⊥AD，∴∠AEO=90°，∵∠ADB=90°，∴OF∥BD，∴∠COF=∠B，∵∠C=∠C，∴△COF∽CBD，∴S△COF∵S△COF∴COCB∴OBCB=1∵OB=OD，∴CO=3OD，∴在Rt△CDO中，sin【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质和判定、相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定和性质是解题的关键．21．（2023·福建宁德·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧AC的长（结果保留π）．【答案】（1）证明见试题解析；（2）2π．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B，得到∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；（2）连接CO，计算出AO的长，再利用圆周角定理得到∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；（2）连接CO，∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∴lAC=120π×318022．（2023·福建莆田·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．（1）求证：∠ECB＝∠EBC；（2）连接BF，CF，若CF＝6，sin∠FCB=35，求AC【答案】（1）证明见解析；（2）AC的长为14【分析】（1）只要证明EB是⊙O的切线，利用切线长定理可知EC=EB，即可解决问题．（2）连接CF、CO、AC．在Rt△CFH中，由CF=6，sin∠FCH=35，推出FH=CF•sin∠FCH=185，CH=CF2-FH2=245，设OC=OF=x，在Rt△COH中，由OC2=CH2+OH2，可得x2=（245）2+（x-【详解】（1）证明：∵BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线，∵EC是⊙O的切线，∴EC=EB，∴∠ECB=∠EBC．（2）连接CF、CO、AC．∵EB=EC，OC=OB，∴EO⊥BC，∴∠CHF=∠CHO=90°，在Rt△CFH中，∵CF=6，sin∠FCH=35∴FH=CF•sin∠FCH=185，CH=C设OC=OF=x，在Rt△COH中，∵OC2=CH2+OH2，∴x2=（245）2+（x-185）∴x=5，∴OH=75∵OH⊥BC，∴CH=HB，∵OA=OB，∴AC=2OH=145【点睛】本题考查切线的性质和判定、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．（2023·福建福州·校考三模）如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点．以PO为边作△OPC，使得PC=PO，OC=4，OC与⊙O的交点为D，连接AC，PD．

(1)判断直线DP和⊙O位置关系；(2)若BD的长为3π5，AC=AP，延长PD交AC于点E，求证：EA=EP【答案】(1)直线DP与⊙O相切，理由见解析(2)见解析【分析】（1）由题意可证△DOP≌△DCPSSS，可知∠ODP=∠CDP=90°，进而可得直线DP与⊙O（2）由BD的长为3π5，求得∠BOD=54°，可得∠DPO=90°-∠BOD=36°，根据△DOP≌△DCP，∠CPD=∠DPO=36°，即∠APC=∠DPO+∠CPO=72°，由AC=AP，可得∠ACP=∠APC=72°，进而∠A=∠DPO=36°，即可证明EA=EP【详解】（1）解：直线DP与⊙O相切，理由如下，

∵⊙O的半径为2，AB是⊙O的直径，OC=4，∴OD=CD=2，又∵PC=PO，PD=PD，∴△DOP≌△DCPSSS∴∠ODC=∠CDP，则∠ODP=∠CDP=90°，∵D为OC与⊙O的交点，即点D在⊙O上，∴OD⊥PD，∴直线DP与⊙O相切；（2）∵BD的长为3π5，即：∠BOD∴∠BOD=54°，∵∠ODP=90°，∴∠