专题01 平行线的四大模型（解析版）

专题01平行线的四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）95°．【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．【变式1-1】（2022秋•古县期末）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使∠1＝150°，AB⊥BC，则∠2的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【解答】解：过点B作BE∥AD，∵AD∥CF，∴AD∥BE∥CF，∴∠1+∠ABE+∠CBE+∠2＝360°，即∠1+∠ABC+∠2＝360°，∵∠1＝150°，∠ABC＝90°，∴∠2的度数为120°．故选：C．【变式1-2】（2023•金安区一模）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（）A．100° B．105° C．115° D．125°【答案】A【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a，∴∠DBA＝∠1＝45°，∵a∥b，DE∥a，∴DE∥b，∴∠2+∠DBC＝180°，∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．解法二：如图，延长AB交b于点F，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝45°，∵∠2＝125°，∵∠2＝∠3+∠CBF，∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．故选：A．【变式1-3】（2023秋•北碚区期末）如图，AB∥CD，点E是直线AB，CD之间一点．（1）如图1，求证：∠B+∠D+∠E＝360°；（2）如图2，若∠B＝120°，∠BED，∠CDE的平分线相交于点F．求∠DFE的度数；（3）如图3，若∠D＝α，∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF．请直接写出∠BFE的度数（用含α的代数式表示）．【答案】（1）360°；（2）60°；（3）．【解答】解：（1）如图所示：过点E作EF∥AB，∴∠B+∠BEF＝180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D+∠DEF＝180°，∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝180°+180°，即∠B+∠BED+∠D＝360°；（2）由（1）可知：∠B+∠BED+∠D＝360°；∵∠B＝120°，∴∠BED+∠D＝360°﹣120°＝240°，∵∠BED，∠CDE的平分线相交于点F，∴∠DEF＝，∴∠DEF+∠EDF＝＝＝＝120°，∴∠DFE＝180°﹣（∠DEF+∠EDF）＝60°；（3）∵∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF，∴，由（1）可知：∠ABE+∠BED+∠D＝360°，∴∠ABE+∠BEF＝360°﹣∠D＝360°﹣α，∴∠FBE+∠BEF＝＝＝＝，∵∠F+∠FBE+∠BEF＝180°，∴∠BFE＝180°﹣（∠FBE+∠BEF）＝＝＝．【变式1-4】（2023秋•重庆期末）已知，MN∥PQ，直线AB交MN于点A，交PQ于点B，点C在线段AB上，过C作射线CE、CF分别交直线MN、PQ于点E、F．（1）如图1，当CE⊥CF时，求∠AEC+∠BFC的度数；（2）如图2，若∠MEC和∠PFT的角平分线交于点G，求∠ECF和∠G的数量关系；（3）如图3，在（2）的基础上，当CE⊥CF，且∠ABP＝60°，∠ACE＝20°时，射线FT绕点F以5°每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当射线FG与△AEC的一边互相平行时，请直接写出t的值．【答案】（1）∠AEC+∠BFC＝90°；（2）2∠G+∠ECF＝180°；（3）10或26或34秒．【解答】解：（1）如图所示：过点C作CH∥MN，∴∠AEC＝∠1，∵MN∥PQ，∴CH∥PQ，∴∠BFC＝∠2，∵CF⊥CE，∴∠1+∠2＝90°，∴∠AEC+∠BFC＝90°；（2）如图所示：∵EG平分∠MEC，FG平分∠PFT，∴∠1＝∠2，∠PFT＝2∠3，∵∠PFT+∠PFC＝180°，∴∠PFC＝180°﹣∠PEF＝180°﹣2∠3，∵MN∥PQ，∴∠1＝∠5＝∠2，∵∠5＝∠3+∠G，∠2+∠5+∠ECF+∠PFC＝360°，∴2∠5+∠ECF+180°﹣2∠3＝360°，∴2（∠3+∠G）+∠ECF﹣2∠3＝180°，∴2∠G+∠ECF＝180°；（3）如图所示：分三种情况：①如图1所示：当FG旋转到FT'时，FT'∥AE，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠ACE＝20°，∠ABP＝60°，∠ACE+∠ABP+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝100°，∵∠BCF+∠ABP+∠BFC＝180°，∠ABP＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠BCF﹣∠ABP＝50°，∴∠T'FT＝∠BFC＝50°，∵FG平分∠PFT，FT绕点F旋转的速度每秒5°，∴∠T'FG＝，FG绕点F旋转的速度为每秒2.5°，∴t＝25°÷2.5°＝10秒；②如图2所示：当FG旋转到FT'时，FT'∥CE，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵FT'∥CE，∴∠TFT'＝∠ECF＝90°，∵∠ACE＝20°，∠ABP＝60°，∠ACE+∠ABP+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝100°，∴∠TFP＝∠BCF＝50°∵FG平分∠PFT，∴∠GFT＝，∴∠GFT'＝∠TFT'﹣∠GFT＝65°，∴t＝65°÷2.5°＝26秒；③如图3所示：当FG旋转到FT'时，FT'∥AC，∴∠PFT'＝∠ABP＝60°，∵①已证∠PFT＝∠BFC＝50°，FG平分∠PFT，∴∠GFT＝＝∠PFG∴∠GFT'＝∠PFG+∠PFT'＝25°+60°＝85°，∴t＝85°÷2.5°＝34秒；∴当射线FG与△AEC的一边互相平行时，t的值为10或26或34秒．模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线AB∥CD，连接EF，直线AB，CD及线段EF把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点G落在某个部分时，连接GE，GF，构成∠EGF，∠GEB，∠GFD三个角．（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的关系；（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立，说明理由．【答案】（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由见解答；（2）（1）中三者关系不成立，理由见解答．【解答】解：（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由：过点G作GM∥AB，∴∠GEB＝∠EGM，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠GFD＝∠FGM，∵∠EGF＝∠EGM+∠FGM，∴∠EGF＝∠GEB+∠GFD；（2）（1）中三者关系不成立，理由：过点G作GN∥AB，∴∠GEB+∠EGN＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GN，∴∠GFD+∠FGN＝180°，∴∠GEB+∠EGN+∠FGN+∠GFD＝360°，即∠GEB+∠EGF+∠GFD＝360°．【变式2-1】（2023•盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（）A．44° B．34° C．24° D．14°【答案】B【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，所以∠DKF＝∠BEF＝64°．又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，所以∠F＝30°．所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．又∠GHC＝∠KHF，所以∠GHC＝34°．故选：B．【变式2-2】（2023•大石桥市校级三模）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝28°，则∠2的度数为（）A．36° B．24° C．28° D．32°【答案】D【解答】解：过点B作BF∥a，∴∠1＝∠ABF＝28°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝32°，∵a∥b，∴BF∥b，∴∠2＝∠FBC＝32°，故选：D．【变式2-3】（2023春•浏阳市期末）（1）感知与探究：如图①，直线AB∥CD，过点E作EF∥AB．请直接写出∠B，∠D，∠BED之间的数量关系：∠BED＝∠B+∠D；（2）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，借助第（1）问中的结论，求∠BEG+∠GFD的度数；（3）方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝25度．【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D；（2）∠BEG+∠GFD的度数为83°；（3）25．【解答】解：（1）∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠D，∵∠BED＝∠1+∠2，∴∠BED＝∠B+∠D，故答案为：∠BED＝∠B+∠D；（2）过点G作GH∥AB，由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGH，∵AB∥CD，∴CH∥CD，由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGH，∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，∴∠BEG+∠GFD＝∠B+∠EGH+∠D+∠FGH＝∠B+∠D+∠EGF＝23°+35°+25°＝83°，∴∠BEG+∠GFD的度数为83°；（3）设AB与EF相交于点M，∵∠B＝60°，∠F＝85°，∴∠BMF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，∴∠AME＝∠BMF＝35°，由（1）得：∠E＝∠AME+∠D，∵∠E＝60°，∴∠D＝∠E﹣∠AME＝60°﹣35°＝25°，故答案为：25．【变式2-4】（2023春•霸州市期中）如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，如图2，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为100°；请说明理由；（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【答案】（1）100°，理由见解答；（2）∠DPC＝∠α+∠β，理由见解答；（3）当点P在射线AM上运动时，∠DPC＝∠β﹣∠α；当点P在OB上运动时，∠DPC＝∠α﹣∠β，理由见解答．【解答】解：（1）∵PE∥AB，∠PAB＝135°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝45°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝180°﹣∠PCD＝55°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°，故答案为：100°；（2）∠DPC＝∠α+∠β，理由：过点P作PF∥AD，∴∠DPF＝∠ADP＝∠α，∵AD∥CB，∴PF∥CB，∴∠CPF＝∠PCB＝∠β，∵∠DPC＝∠DPF+∠CPF，∴∠DPC＝∠α+∠β；（3）分两种情况：当点P在射线AM上运动时，∠DPC＝∠β﹣∠α，理由：如图：过点P作PG∥AD，∴∠GPD＝∠ADP＝∠α，∵AD∥BC，∴PG∥BC，∴∠GPC＝∠BCP＝∠β，∵∠DPC＝∠GPC﹣∠GPD，∴∠DPC＝∠β﹣∠α；当点P在OB上运动时，∠DPC＝∠α﹣∠β，理由：如图：过点P作PH∥AD，∴∠HPD＝∠ADP＝∠α，∵AD∥BC，∴PG∥BC，∴∠HPC＝∠BCP＝∠β，∵∠DPC＝∠HPD﹣∠HPC，∴∠DPC＝∠α﹣∠β；综上所述：当点P在射线AM上运动时，∠DPC＝∠β﹣∠α；当点P在OB上运动时，∠DPC＝∠α﹣∠β．【变式2-5】（2023春•南漳县期中）如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．（1）求证：AD∥CE；（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数；（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）∠B+∠F的度数为150°；（3）∠NBM的值不变，∠NBM的值为20°．【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD，∴∠ABP＝∠HAB，∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∴∠CBP＝∠BCG，∴BP∥CE，∴AD∥CE；（2）解：∵AF平分∠HAB，∴∠HAF＝∠FAB＝β，∴∠HAB＝2∠FAB＝2β，∵∠BCF＝∠BCG＝α，∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，∵∠B＝∠HAB+∠BCG，∴∠F＝∠HAF+∠FCG，∵α+β＝50°，∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝2β+α+β+2α＝3α+3β＝3（α+β）＝150°，∴∠B+∠F的度数为150°；（3）解：∠NBM的值不变，理由：∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，∵BM∥CR，∴∠BCR＝∠MBC，∴∠BCG＝2∠MBC，∵∠HAB+∠BCG＝∠ABC，∠BAH＝40°，∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2（∠NBC﹣∠MBC）＝2∠NBM，∴∠NBM＝∠HAB＝20°，∴∠NBM的值为20°结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.【典例3】（2023春•中山区期末）如图，∠ABE+∠BED＝∠CDE．（1）如图1，求证AB∥CD；（2）如图2，点P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于点F，探究∠BFP，∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，如图3，PQ交ED延长线于点Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度数．【答案】（1）答案见解答过程；（2）∠BED＝2∠BFP，理由见解答过程；（3）120°．【解答】（1）证明：延长CD交BE于点H，∴∠CDE＝∠DHE+∠BED，∵∠ABE+∠BED＝∠CDE，∴∠DHE＝∠ABE，∴AB∥CD，（2）解：∠BFP，∠BED的数量关系是：∠BED＝2∠BFP，理由如下：设∠EBF＝α，∠CDP＝β，∵BF平分∠ABE，∠CDP＝∠EDP，∴∠EBF＝∠ABF＝α，∠CDP＝∠EDP＝β，∴∠PBE＝2∠EBF＝2α，由（1）可知：AB∥CD，∴∠DPB＝∠CDP＝β，∴∠APD＝180°﹣∠∠DPB＝180°﹣β，∵∠APD＝∠ABF+∠BFP，∴180°﹣β＝α+∠BFP，∴∠BFP＝180°﹣（α+β），由四边形的内角和等于360°得：∠BED+∠EDP+∠DPB+∠PBE＝360°，即：∠BED+β+β+2α＝360°，∴∠BED＝360°﹣2（α+β），∴∠BED＝2∠BFP．（3）解：设∠APQ＝θ，∴∠DPQ＝2∠APQ＝2θ，∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝3θ，由（1）可知：AB∥CD，∴∠CDP+∠APD＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠APD＝180°﹣3θ，∵∠PQD＝80°，∴∠EDP＝∠PQD+∠DPQ＝80°+2θ，∵∠CDP＝∠EDP，∴180°﹣3θ＝80°+2θ，解得：θ＝20°，∴∠CDP＝180°﹣3θ＝120°，∠EDP＝80°+2θ＝120°，根据周角的定义得：∠CDE+∠CDP+∠EDP＝360°，∴∠CDE＝360°﹣（∠CDP+∠EDP）＝360°﹣（120°+120°）＝120°．【变式3-1】（2023春•伊通县期末）如图1，线段CD是由线段AB平移得到的．分别连接BD，AC．直线BE⊥AC于点E，延长DC与BE相交于点F．点P是射线FD上的一个动点，点P不与点F、点C、点D重合．连接BP，EP．（1）线段AC，BD的关系是AC＝BD，AC∥BD；（2）如图1，当点P在线段FC上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系是∠DBP＝∠CEP+∠BPE；（3）如图2，当点P在线段CD上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；（4）如图3，当点P在点D上方运动时，请直接写出∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系：∠CEP＝∠DBP+∠BPE．【答案】（1）AC＝BD，AC∥BD；（2）∠DBP＝∠CEP+∠BPE；（3）当点P在线段CD上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系不会发生变化，理由见解析；（4）∠CEP＝∠DBP+∠BPE．【解答】解：（1）∵线段CD是由线段AB平移得到的，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝BD，AC∥BD；故答案为：AC＝BD，AC∥BD；（2）如图，设AC与BP交于点G，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠CGP，∵∠CGP＝∠CEP+∠BPE，∴∠DBP＝∠CEP+∠BPE；故答案为：∠DBP＝∠CEP+∠BPE；（3）当点P在线段CD上运动时，∠DBP，∠CEP，∠BPE之间的数量关系不会发生变化，理由如下：如图，过点P作PH∥BD交AB于点H，∵AC∥BD，∴AC∥HP∥BD，∴∠DBP＝∠BPH，∠CEP＝∠EPH，∵∠BPE＝∠BPH+∠EPH，∴∠BPE＝∠DBP+∠CEP；（4）如图，设PE交BD于点M，∵AC∥BD，∴∠CEP＝∠DMP，∵∠DMP＝∠DBP+∠BPE，∴∠CEP＝∠DBP+∠BPE．故答案为：∠CEP＝∠DBP+∠BPE．【变式3-2】（2023春•大足区期末）已知直线AB∥CD，E为平面内一点，连接EB、EC．（1）如图1，已知∠B＝32°，∠C＝120°，求∠BEC的度数；（2）如图2，判断∠ABE、∠BEC、∠DCE之间的数量关系为∠ABE﹣∠BEC+∠DCE＝180°；（3）如图3，BE⊥CE，BF平分∠ABE，若，求∠BFC的度数．【答案】（1）92°，（2）∠ABE﹣∠BEC+∠DCE＝180°．（3）∠BFC＝45°．【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图：则AB∥CD∥EF，∴∠B＝∠BEF＝32°，∠C+∠CEF＝180°，∵∠C＝120°，∴∠CEF＝60°，∴∠BEC＝32°+60°＝92°，（2）过点E作EM∥AB，则AB∥EM∥CD，如图：∵AB∥EM∥CD，∴∠B＝∠BEM，∠CEM+∠C＝180°，∵∠CEM＝∠BEM﹣∠BEC＝∠B﹣∠BEC，∴∠B﹣∠BEC+∠C＝180°，即∠ABE﹣∠BEC+∠DCE＝180°．故答案为：∠ABE﹣∠BEC+∠DCE＝180°．（3）过F作FH∥AB，过E作EN∥AB，如图：∵，设∠FCE＝x，则∠ECD＝180°﹣2x，∠FCD＝180°﹣x，∴∠ABE＝∠BEN＝90°+∠CEN＝90°+180°﹣∠ECD＝90°+2x，由（2）可知∠ABF﹣∠BFC+FCD＝180°，即，解得∠BFC＝45°．【变式3-3】（2023春•吴兴区期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．（1）如图1，求证：EF∥GH；（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如图2，过点N作NK∥CD，∴KN∥CD∥AB，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，设∠4＝x，∠7＝y，∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x＝，∴x﹣y＝﹣y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分线，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴，故答案为．1．（2023•五华区校级模拟）如图，点B在△CDE的边EC的延长线上，AB∥CD，若∠B＝50°，∠E＝30°，则∠D的度数为（）A．15° B．20° C．30° D．50°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝50°，∴∠B＝∠BCD＝50°，∵∠BCD＝∠D+∠E，∠E＝30°，∴∠D＝20°，故选：B．2．（2023•西峡县三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，∴∠A＝∠1＝30°∵∠2＝70°，∴∠AEF＝180°﹣∠2＝110°，∴∠3＝∠A+∠AEF＝30°+110°＝140°．故选：C．3.（2023春•西塞山区期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④【答案】D【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正确；过点F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③错误；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正确．综上所述，正确答案为①④．故选：D．4．（2023春•德城区期末）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（）A．74° B．72° C．70° D．68°【答案】B【解答】解：由翻折的性质得：∠AMN＝∠NMP，∠CPM＝∠HPM，∵四边形ABCD为长方形，∴AB∥CD，∴∠AMN＝∠1，∴∠NMP＝∠1，又∵∠1＝∠2，∴∠AMN＝∠NMP＝∠1＝∠2，∴∠AMP＝2∠1，∠GMP＝3∠1，∵HP∥GM，∴∠HPM+∠GMP＝180°，即：∠HPM+3∠1＝180°，∵CP∥BM，∴∠CPM＝∠AMP＝2∠1，∴∠HPM＝∠CPM＝2∠1，∴2∠1+3∠1＝180°，∴∠1＝36°，∴∠CPM＝2∠1＝72°．故选：B．5．（2023•西城区二模）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线交CD点G，若∠BEF＝116°，则∠EGC的大小是（）A．116° B．74° C．64° D．58°【答案】D【解答】解：∵EG为∠BEF的平分线，∠BEF＝116°，∴∠FEG＝58°，∴∠AEF＝180°﹣116°＝64°，∵直线AB∥CD，∴∠EFG＝AEF＝64°，在△EFG中，∠FEG+∠EFG+∠EGF＝180°，∴∠EGF＝180°﹣58°﹣64°＝58°，∴∠EGC＝58°，故选：D．6．（2023•佛山二模）如图，把正方形ABCD沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，若∠1＝40°，则∠AEF的度数是（）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】B【解答】解：根据题意得，∠BFE＝∠B'FE，∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∴∠1+2∠BFE＝180°，∴∠BFE＝70°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴AE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∵∠AEF+∠DEF＝180°，∴∠AEF＝110°．故选：B．7．（2023秋•长春期末）如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是AB、CD之间的一个动点．【感知】如图①，当点P在线段EF左侧时，若∠AEP＝50°，∠PFC＝70°，求∠EPF的度数．分析：从图形上看，由于没有一条直线截AB与CD，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点P作PG∥AB，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG∥CD，进而求出∠EPF的度数．【探究】如图②，当点P在线段EF右侧时，∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系为∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°．【答案】（1）∠EPF的度数为120°；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，【解答】（1）过点P作PG∥AB，∴∠EPG＝∠AEP＝50°，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠GPF＝∠PFC＝70°，∴∠EPF＝∠EPG+∠GPF＝50°+70°＝120°，∴∠EPF的度数为120°；（2）过点P作PG∥AB，∴∠EPG+∠AEP＝180°，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠GPF+∠PFC＝180°，∴∠AEP+∠EPG+∠FPG+∠PFC＝360°，∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°．8．（2023春•天元区校级期末）如图，AQ∥BP，AB⊥BP，E、C、D分别是线段AQ、AB、BP上的点，且满足EC⊥CD．EF是∠GEC的角平分线与BP交于点F，在EQ上截一点G，连接GF，令GF＝FE．（1）如图1，若∠AEC＝40°，求∠CDB的度数．（2）如图1，连接GP，若GP∥EF，H是线段FP上的一点（FH＜HP），连接GH，使得2∠GHP＝3∠AEC，求∠FGH和∠CDB的数量关系．（3）如图2，在（2）的条件下，过点Q作QM⊥GP，垂足为M．N是线段GP上的一点，且满足∠QNM＝∠GEF．求∠GQN和∠CEF的数量关系．【答案】（1）∠CDB＝50°；（2）∠CDB+2∠FGH＝90°；（3）∠GQN+2.5∠CEF＝180°．【解答】解：（1）如图：∵AQ∥BP，AB⊥BP，∴AB⊥AQ，∴∠AEC+∠ACE＝90°，∵EC⊥CD，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝∠BCD，∵∠AEC＝40°，∴∠BCD＝40°，∵AB⊥BP，∴∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠CDB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣∠AEC＝90°﹣40°＝50°，即∠CDB＝50°；（2）由2∠GHP＝3∠AEC，∴设∠GHP＝3m，∠AEC＝2m，∵EF是∠GEC的角平分线，∴∠GEC＝2∠GEF＝2∠CEF，∵∠GEC＝180°﹣∠AEC，∴∠GEC＝180°﹣2m，∴∠GEF＝∠GEC＝90°﹣m，∵GF＝FE．∴∠GEF＝∠GFE＝90°﹣m，∵AQ∥BP，∴∠GEF＝∠EFD＝90°﹣m，∴∠GFD＝∠GEF+∠EFD＝2（90°﹣m）＝180°﹣2m，∵∠GHP＝3m，∴∠GHF＝180﹣∠GHP＝180°﹣3m，又∵∠GFD＝∠FGH+∠FGH，∴∠GFD＝∠FGH+180°﹣3m，∴180°﹣2m＝∠FGH+180°﹣3m，∴∠FGH＝m，由（1）知：∠CDB＝90°﹣∠AEC，∵∠AEC＝2m，∴∠CDB＝90°﹣∠AEC＝90°﹣2m，∴∠CDB＝90°﹣2∠FGH，即∠CDB+2∠FGH＝90°；（3）如图：设∠GEF＝α，∵EF是∠GEC的角平分线，∴∠GEF＝∠CEF＝α，∵∠QNM＝∠GEF，∴∠QNM＝α，∵GP∥EF，∴∠QGN＝∠GEF＝α，在△GQN中，∴∠GQN＝180°﹣∠QGN﹣∠QNG＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2.5α，∴∠GQN＝180°﹣2.5∠CEF，即∠GQN+2.5∠CEF＝180°．9．（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，直线AB∥CD，点N在直线CD上，点P在直线AB上，点M为平面上任意一点，连接MP，MN，PN．（1）如图1，点M在直线CD上，PM平分∠APN，试说明∠PMN＝∠MPN；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度数；（3）如图3，∠APM和∠MNC的平分线交于点Q，∠PQN与∠PMN有何数量关系？并说明理由．【答案】（1）说明见解析；（2）40°；（3）2∠PQN＝∠PMN，理由见解析．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠APM＝∠PMN．∵PM平分∠APN，∴∠APM＝∠MPN，∴∠PMN＝∠MPN；（2）如图，过点M作ME∥CD，∴∠EMN＝∠MNC＝30°，∵AB∥CD，ME∥CD，∴ME∥AB，∴∠APM＝∠PME，∴∠PMN＝∠PME+∠EMN＝∠APM+∠MNC，∵∠PMN＝70°，∴∠APM＝∠PMN﹣∠MNC＝70°﹣30°＝40°；（3）2∠PQN＝∠PMN，理由如下：由（2）可知∠PMN＝∠APM+∠MNC，同理可得：∠PQN＝∠APQ+∠QNC，∵PQ和NQ分别是∠APM和∠MNC的平分线，∴，∴∠PQN＝∠APQ+∠QNC，＝，∴2∠PQN＝∠PMN．10．（2023春•海阳市期末）如图，AM∥BN，∠A＝40°，点P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C，D两点．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数；（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB的度数之比是否随之发生变化？若不变，求出∠APB与∠ADB的度数之比；若变化，请说明变化规律．【答案】（1）∠CBD＝70°；（2）∠ABC＝35°；（3）∠APB：∠ADB＝2：1，理由见解析．【解答】解：（1）∵AM∥BN，∠A＝40°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝140°，∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠PBD＝∠PBN，∵∠CBD＝∠CBP+∠PBD，∴∠CBD＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝70°；（2）当∠ACB＝∠ABD时，又∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP，∠PBD＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP＝∠PBD＝∠DBN，∴∠ABC+∠CBP+∠PBD+∠DBN＝∠ABN＝×140°＝35°，∴∠ABC＝35°；（3）当点P运动时，∠APB：∠ADB＝2：1（定值），理由：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN∴∠APB：∠ADB＝∠PBN：∠DBN＝2：1（定值）．11．（2023春•大同期末）综合与探究已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点G，H（0°＜∠EHD＜90°）．将一把含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在直线EF的右侧．（1）填空：∠PNB+∠PMD＝∠MPN．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．①如图2，当NO∥PM∥EF时，求∠EHD的度数；②如图3，若将三角尺PMN沿直线BA向左移动，保持PM∥EF（点N不与点G重合），点N，M分别在直线AB、CD上，请直接写出∠MON和∠EHD之间的数量关系．【答案】（1）“＝”；（2）①60°；②∠EHD+60°＝2∠MON．【解答】解：（1）如图所示：过点P作PK∥AB，∴∠PNB＝∠NPK，∵AB∥CD，∴PK∥CD，∴∠KPM＝∠PMD，∴∠PNB+∠PMD＝∠NPK+∠KPM＝∠MPN，故答案为：＝；（2）①由题意可知：∠MNP＝30°，∠MPN＝90°，∴∠NMP＝60°，∵∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，∴∠ANO＝∠MNO，∵AB∥CD，∴∠ANO＝∠NOM，∴∠MNO＝∠NOM，∵NO∥PM∥EF，∴∠EHD＝∠NOM＝∠PMD，∵∠NMO+∠NMP+∠PMD＝180°，∴∠NMO＝180°﹣∠PMD﹣60°＝120°﹣∠PMD，∵∠ONM+∠NOM+∠NMO＝180°，∴2∠NOM+120°﹣∠PMD＝180°，∴∠NOM＝60°，∴∠EHD＝∠NOM＝60°；②由题意可知：∠MNP＝30°，∠MPN＝90°，∴∠NMP＝60°，∵∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，∴∠ANO＝∠MNO，∵AB∥CD，∴∠ANO＝∠MON，∴∠MON＝∠ONM，∵∠MON+∠NMO+∠ONM＝180°，∴∠NMO＝180°﹣2∠MON，∵EF∥PM，∴∠EHD+∠NMO+∠NMP＝180°，∴∠EHD+180°﹣2∠MON+60°＝180°，∴∠EHD+60°＝2∠MON．12．（2023春•安阳期末）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为∠1，反射光线与水平镜面的夹角为∠2，则∠1＝∠2．（1）【初步应用】生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”DO1射到平面镜AB上，被平面镜AB反射到平面镜BC上，又被平面镜BC反射后得到反射光线O2E，回答下列问题：①当DO1∥EO2∠AO1D＝30°（即∠1＝30°）时，求∠O1O2E的度数；②当∠B＝90°时，任何射到平面镜AB上的光线DO1经过平面镜AB和BC的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．（提示：三角形的内角和等于180°）（2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F已知∠1＝∠6＝35°，若要使EO1∥O3F，请直接写出∠B的度数125°；【答案】（1）①60°；②理由看解析；（2）125°．【解答】解：（1）①DO1∥EO2，∴∠DO1O2+∠EO2O1＝180°，∵∠1+∠2+∠DO1O2+∠3+∠EO2O1＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4，∴∠3＝∠4＝60°，∵∠3+∠4+∠O1O2E＝180°，∴∠O1O2E＝60°；②∵∠B＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠2+∠DO1O2+∠3+∠4+∠EO1O2＝360°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠DO1O2+∠EO1O2＝180°，∴DO1∥EO2，（2）如图所示，过点O2作O2G∥O1E，∵O1E∥O3F，∴O2G∥O3F，∴∠9+∠10＝180°，∵O1E∥O2G，∴∠7+∠8＝180°，∵∠1+∠7+∠2＝180°，∠3+∠8+∠9+∠4＝180°，∠5+∠10+∠6＝180°，∴∠1+∠7+∠2+∠3+∠8+∠9+∠4+∠5+∠10+∠6＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∵∠1＝∠6＝35°，∴∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，∠5＝∠6＝35°，∴∠3＝∠4＝20°，∴∠2+∠3＝55°，∵∠2+∠3+∠B＝180°，∴∠B＝125°，故答案为：125°．13．（2023春•宜都市期中）已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF．（1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数；（2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由；（3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系．【答案】（1）120°；（2）EP∥FN，理由见解析；（3）∠EPF+2∠ENF＝180°或∠EPF＝2∠ENF﹣180°．【解答】解：（1）如图，过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°，∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．故∠EPF＝120°；（2）EP∥FN，如图，理由：∵EM平分∠AEP，FN平分∠MFD，∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3，由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4），∵AB∥CD，∴∠3＝∠4，由三角形外角的性质可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1，∵∠M与3∠N互补，∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°，整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP，∴EP∥FN；（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图，∵AB∥CD，∴∠CF