专题24 线段最值问题（解析版）

线段最值问题1．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；【分析】（1）将点，代入解析式即可求解；（2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解；【详解】（1）解：由题意得解得，故抛物线的表达式；（2）解：当时，，，设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为，点D的横坐标是，过点D作直线轴，，，，①如图，当时，

，，，整理得：，解得：，，，不合题意，舍去，，；②如图，当时，

，，，整理得：，解得：，（舍去），；综上所述：线段的长为或．2．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．

(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．【详解】（1）解：设直线l的解析式为，把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得：，∴直线l的解析式为；（2）解：设抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴为直线，∴．把A，B两点坐标代入解析式，得，解得：，∴抛物线的解析式为；（3）解：∵

，

∴．∵在中，∴．∵轴，，∴．在中，，，∴，∴．在中，，，∴，∴．设点P的坐标为，则，∴．∵，∴当时，有最大值是，此时最大，∴，当时，，

∴，∴的最大值是，此时的P点坐标是．3．（2023·湖北襄阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．

(1)如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．(2)当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．【答案】(1)①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值(2)的取值范围为或【分析】（1）由抛物线经过原点，可得，即可求得，①利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得答案；③把代入，可得，设点，可得，进而可得，利用二次函数的性质即可求得答案；（2）利用配方法可得，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，，分两种情况：当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，则，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，同理可求得答案．【详解】（1）∵抛物线经过原点，∴，解得：或，∵，∴，①抛物线的解析式为，∵，∴顶点的坐标为；②当，即时，随增大而减小，由题意得：，解得：，（舍去），∴的值为，当时，则若时，的最小值为，不符合题意，当时，随增大而增大，由题意得：，解得：（舍去），，∴的值为1，综上所述，的值为或1；③由题意得：当时，则，∵经过点，∴，可得，∴，由，可得，，设点，且，∵轴，∴，可得：，则，∴，∵，，∴当时，取得最大值；（2）∵，∴，∵直线：经过点、，∴，解得：，∴直线的解析式为，令，得，∴，联立方程得：，解得：，，当时，，∴，当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，则，，

∵，∴，即，∴，化简得：，令，解得：（舍去），，∴，∵，∴，∴；当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，则，，

∵，∴，即，∴，化简得：，令，解得：，（舍去），∴，∵，∴，∴；综上所述，的取值范围为或．4．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，即，则，故抛物线的表达式为：①；（3）解：作，

设，，且相似比为，则，故当、、共线时，为最小，在中，设边上的高为，则，即，解得：，则，则，过点作轴于点，则，即点的纵坐标为：，同理可得，点的横坐标为：，即点，由点、的坐标得，，即的最小值为．5．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点解得抛物线的解析式为：；（2）解：当时，，解得，，∴，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得∴直线的解析式为，设，∵轴，∴点的纵坐标为，又∵点在直线上，∴，，∴，∴，∵轴，∴，∴，∵，，∴当时，有最大值，最大值为，当时，，∴点的坐标为；答：的最大值为，点的坐标为；6．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．(1)求抛物线的表达式；(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；（3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴，∴，∴；（3）如图2，由题意得，，连接．在上方作，使得，，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴（当，，三点共线时最短），∴的最小值为，∵，∴，即的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．7．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出