专题10 特殊三角形（讲义）（原卷版）

专题10特殊三角形核心知识点精讲1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定；2.能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．【知识网络】考点一、等腰三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角).(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.【题型1：等腰三角形】【典例1】如图，在等腰中，，为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为（）A．16 B．24 C．32 D．81．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（

）A．或 B． C． D．以上答案均不对2．已知等腰三角形一边长等于4，另一边长等于10，则它的周长是（）A．17 B．18 C．24 D．18或243．如图，在中，，，，点D在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．4．如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点，，，则的面积是（

）A．4 B．6 C．8 D．12【题型2：等边三角形】【典例2】如图，和都是等边三角形，且点A、C、E三点共线，与、分别交于点F、M，与交于点N，下列结论中错误的有（

）个：①；②；③；④A．0 B．1 C．2 D．31．如图，是等边三角形，已知，于，与交于点，下列结论中不一定成立的是（

）．A． B． C． D．2．如图，点在线段上，点在线段上，且和均是等边三角形，那么（

）

A． B． C． D．3．已知，如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论：①；②是等边三角形；③；④平分．其中正确的结论是（

）A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④4．如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为（

）A．1 B． C． D．无法确定【题型3：等腰直角三角形】【典例3】如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③；④为中点．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM、MC．下列结论：①DF＝DN；②△ABE≌△MBN；③AD＝CD；④AE＝CN；，其中正确的结论个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接BD，CE，点F是BD的中点，过点A，F的直线交CE于点G，若，，则的面积为．3．如图，在中，于点D，点E，F分别在上，且，则．【题型4：特殊三角形综合运用】【典例4】如图，在四边形中，，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，且．(1)°；(2)求证：；(3)连接，且平分交于点，探究的形状并说明理由．1.如图，在等腰中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是

2．已知四边形，，．(1)如图1，若，则________；(2)如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接．①求的度数；②若，，求的长．1．已知a，b，c是等腰三角形ABC的三边（注：c可能等于，也可能等于），且满足．设这个等腰三角形ABC的周长为，则2．如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时，度．3．如图，中，，，点是斜边的中点，点在射线上运动，点在射线上运动，且，若，，则的长为．4．如图，在中，是的中点，点分别在边、上，且．下列结论正确的是（填所有正确答案的序号）．①；②；③；1．如图，等腰的底边长为3，面积是6，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为（

）A． B．5 C． D．62．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的有（

）

A．1个 B．4个 C．3个 D．2个3．如图，中，，D为线段上一动点（不与点重合），连接作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（

）

A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空题5．如图，已知点O是等边内一点，，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，的度数是.

6．如图，是等边三角形，边长为8，点D在延长线上，且，动点E从点A出发，沿着射线运动，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段DF，连接AF．当时，则线段的长为．7．如图，在中，，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为度．三、解答题8．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图2，若，其他条件不变，图中有个等腰三角形；与，间的关系是；（3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有个等腰三角形．与，间的数量关系是．1．（2023·山东·统考中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·山东滨州·统考中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（）A． B． C． D．3．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．54．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（

）

A． B． C． D．5．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．（2021·广西·统考中考真题）如图，的半径为，于点，，则的长是（

）A． B． C． D．7．（2023·辽宁本溪·统考中考真题）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（）A． B． C． D．48．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（

）

A． B． C．