专题06 乘法公式压轴五大类型（解析版）

专题06乘法公式压轴五大类型题型一：展开式是完全平方问题题型二：利用乘法公式化简求值问题题型三：利用完全平方配方法求最值值问题题型四：平方差公式在几何图形中的应用题型五：完全平方公式在几何图形中的应用题型一：展开式是完全平方问题【典例1】（2023秋•宁强县期末）已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（）A．6 B．±6 C．12 D．±12【答案】D【解答】解：∵（3x+a）2＝9x2+bx+4，∴9x2+6ax+a2＝9x2+bx+4，∴，∴．故选：D．【变式1-1】（2023秋•望城区期末）若（x﹣3）2＝x2+kx+9，那么k的值是（）A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．﹣9【答案】A【解答】解：（x﹣3）2＝x2﹣6x+9＝x2+kx+9，可得k＝﹣6．故选：A．【变式1-2】（2023•任丘市模拟）小刚把（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，把（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（）A．1 B．﹣1 C．4043 D．﹣4043【答案】C【解答】解：∵（2022x+2021）2展开后得到ax2+bx+c，∴a＝20222，∵（2021x+2020）2展开后得到mx2+nx+q，∴m＝20212，∴a﹣m＝20222﹣20212＝（2022+2021）（2022﹣2021）＝4043，故选：C．【变式1-3】（2023秋•松江区月考）若（x+m）2＝x2﹣6x+n，则m+n＝6．【答案】6．【解答】解：已知等式整理得：x2+2mx+m2＝x2﹣6x+n，可得2m＝﹣6，m2＝n，解得：m＝﹣3，n＝9，m+n＝﹣3+9＝6．故答案为：6．题型二：利用乘法公式化简求值问题【典例2】（2023秋•衡阳期末）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1）＝x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x＝x2+3，当x＝时，原式＝2+3＝5．【变式2-1】（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣x2+4x﹣4﹣3x2＝4x﹣5，当x＝﹣时，原式＝﹣1﹣5＝﹣6．【变式2-2】（2022秋•东莞市期末）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣，y＝﹣2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2﹣12xy+9y2﹣4x2+y2＝10y2﹣12xy，当x＝﹣，y＝﹣2时，原式＝10×（﹣2）2﹣12×（﹣）×（﹣2）＝36．【变式2-3】（2022秋•郸城县期中）先化简，再求值：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y），其中x＝1，y＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：[（x+y）（x﹣y）+2y（x﹣y）﹣（x﹣y）2]÷（2y）＝[x2﹣y2+2xy﹣2y2﹣x2+2xy﹣y2]÷（2y）＝[﹣4y2+4xy]÷（2y）＝﹣2y+2x，当x＝1，y＝2时，原式＝﹣2×2+2×1＝﹣2．题型三：利用完全平方配方法求最值问题【典例3】（2022秋•偃师市期末）（1）用等号或“＞”、“＜”填空，探究规律并解决问题：比较a2+b2与2ab的大小．①当a＝3，b＝3时，a2+b2＝2ab；②当a＝2，时，a2+b2＞2ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2＞2ab．（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG．设两个正方形的面积分别为S1，S2．若△BCG的面积为2保持不变，请直接写出S1+S2的最小值．【答案】（1）＝，＞，＞；（2）a2+b2≥2ab；证明见解答；（3）8．【解答】解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab；②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab；③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab；故答案为：＝，＞，＞：（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（3）由题意可知S1＝a2，S2＝b2，∵△BCG的面积为2，即ab＝2，∴ab＝4，∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，∴S1+S2＝a2+b2≥8，因此S1+S2的最小值为8．【变式3-1】（2022秋•硚口区期末）a、b为实数，整式a2+b2﹣4a+6b的最小值是（）A．﹣13 B．﹣4 C．﹣9 D．﹣5【答案】A【解答】解：a2+b2﹣4a+6b＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）﹣13＝（a﹣2）2+（b+3）2﹣13，∵（a﹣2）2≥0，（b+3）2≥0，∴（a﹣2）2+（b+3）2﹣13的最小值为﹣13，即a2+b2﹣4a+6b的最小值为﹣13．故选：A．【变式3-2】（2022春•庐阳区校级期中）用四个长为m，宽为n的相同长方形按如图方式拼成一个正方形．（1）根据图形写出一个代数恒等式：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）已知3m+n＝9，mn＝6，试求3m﹣n的值；（3）若m+n＝1，求m2+n2的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直接用阴影正方形边长的平方可求阴影面积＝（m﹣n）2，用大正方形面积减四个小长方形的面积可求阴影面积＝（m+n）2﹣4mn，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵（3m﹣n）2＝（3m+n）2﹣12mn，∴（3m﹣n）2＝81﹣72＝9，∴3m﹣n＝±3；（3）∵m+n＝1，∴m＝1﹣n，∴m2+n2＝（1﹣n）2+n2＝1+2n2﹣2n＝2（n﹣）2+≥，∴m2+n2的最小值为．【变式3-3】（2023春•龙岗区校级期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）如图2，四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为a和b，运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab（用a、b表示）应用：（2）利用（1）中的结论解决问题：若x+y＝8，xy＝4，则（x﹣y）2＝48；拓展：（3）如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB上一动点．求CD的最小值．【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）48；（3）．【解答】解：（1）图2中正方形ABCD的面积＝（a+b）2，图2中正方形ABCD的面积＝（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）∵x+y＝8，xy＝4，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣16＝48，故答案为：48；（3）当CD⊥AB时，CD取得最小值，设CD的最小值为h，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴△ABC的面积＝，△ABC的面积＝，∴＝，解得h＝＝，∴CD的最小值为．题型四：平方差公式在几何图形中的应用【典例4】（2022秋•任泽区期末）乘法公式的探究及应用．【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；②计算：102×98．【拓展】（3）计算：．【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①3；②9996；（3）．【解答】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，∴图1阴影部分面积＝a2﹣b2，图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），∵图1的阴影部分与图2面积相等，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，x+3y＝4，即：4×（x﹣3y）＝12，∴x﹣3y＝3；②102×98＝（100+2）（100﹣2）＝1002﹣22＝10000﹣4＝9996；（3）＝＝＝＝．【变式4-1】（2023春•高密市月考）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是B；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a+ab2＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（22+42+62+82+102+122+…1002）﹣（12+32+52+72+92+112+…992）．【答案】（1）B；（2）①3；②5050．【解答】解：（1）左图中，阴影部分为正方形，面积为：a2﹣b2，右图阴影是拼成的长方形，长是：a+b，宽是：a﹣b，所以右图阴影部分面积为：（a+b）（a﹣b），由于左右两图面积相等，所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B．（2）①由（1）中规律，利用平方差公式可得：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∵x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，∴x﹣2y＝12÷4＝3．故答案为：3．②通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）+……+（1002﹣992），＝（2+1）（2﹣1）+（4+3）（4﹣3）+（6+5）（6﹣5）+（8+7）（8﹣7）+……+（100+99）（100﹣99），＝3+7+11+15+……+199＝（3+199）×[（199﹣3）÷4+1]÷2＝202×50÷2＝5050．故答案为：5050．【变式4-2】（2023秋•林州市期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表达）．（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c），＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]，＝（a﹣c）2﹣（2b）2，＝a2﹣2ac+c2﹣4b2．【变式4-3】（2022秋•杜尔伯特县月考）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）试利用这个公式计算：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）②③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原阴影面积＝a2﹣b2，拼剪后的阴影面积＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）验证的公式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p），＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]，＝（2m）2﹣（n﹣p）2，＝4m2﹣n2+2np﹣p2；②＝＝＝＝5；③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1，＝（232﹣1）（232+1）+1，＝264﹣1+1，＝264．题型五：完全平方公式在几何图形中的应用【典例5】（2023秋•清原县期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．（1）【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2；（2）【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝8，ab＝7，求a﹣b的值．【答案】（1）方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）﹣6或6．【解答】解：（1）方法一：（m+n）2﹣4mn；方法二：（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2（2）代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2（3）由（2）可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×7＝36．∴a﹣b＝6或a﹣b＝﹣6．【变式5-1】（2023秋•大安市期末）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝4；（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积．【答案】（1）xy＝4；（2）5．【解答】解：（1）∵x+y＝6，x2+y2＝28，∴（x+y）2＝36，则x2+y2+2xy＝36，∴2xy＝36﹣28＝8，则xy＝4；故答案为：4；（2）设AC＝x，BC＝y，∵AB＝8，∴x+y＝8，则（x+y）2＝64，∵S1+S2＝44，∴x2+y2＝44，∴x2+y2+2xy＝44+2xy＝64，∵xy＝10，∴【变式5-2】（2022秋•宁乡市期末）【阅读理解】若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×100＝200，我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】（1）若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5，则（100﹣x）2+（x﹣95）2＝15；（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2000）2＝229，求（2023﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝24cm，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝12cm，且BE＝DF＝xcm，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为320cm2，求图中阴影部分的面积和．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则ab＝5，而a+b＝5，∴（100﹣x）2+（x﹣95）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15；故答案为：15；（2）设2023﹣x＝a，x﹣2000＝b，则a2+b2＝229，而a+b＝23，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝232﹣229＝529﹣229＝300，∴ab＝150，即（2023﹣x）（x﹣2000）＝150；（3）由题意得：CF＝CD﹣DF＝24﹣x，BC＝CE+BE＝x+12，设CF＝a，BC＝b，∴a+b＝24﹣x+x+12＝36，∵长方形CBQF的面积为320cm2，∴（24﹣x）（12+x）＝ab＝320，∴图中阴影部分的面积和＝（24﹣x）2+（x+12）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝362﹣2×320＝656（cm2）．【变式5-3】（2023春•揭阳期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2．（2）若a+b＝9，ab＝21，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab．（2）∵a+b＝9，ab＝21∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝81﹣3×21＝18∴S1+S2的值为18．（3）由图可得：S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣＝（a2+b2﹣ab）∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30∴S3＝×30＝15∴图3中阴影部分的面积S3为15一．选择题（共2小题）1．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】C【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2；②S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2；③∴阴影部分面积＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：（a+b）2＝102，解得a2+b2+2ab＝100，a2+b2＝100﹣2•20，化简＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S阴影部分＝30．故选：C．2．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（）A．5 B．9 C．13 D．17【答案】C【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．故选：C．二．填空题（共6小题）3．若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得，＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）＝m3﹣7m+3，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3∴m3﹣7m+3＝m（m2）﹣7m+3＝m（2m+3）﹣7m+3＝2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×3+3＝9，所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．故答案为：9．4．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为10．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3＝4，∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．故答案为：10．5．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如3＝22﹣12，7＝42﹣32，16＝52﹣32，3，7，16就是三个智慧数．在正整数中，从1开始，第2022个智慧数是2699．【答案】见试题解答内容【解答】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．设两个数分别为k+1，k﹣1，其中k≥1，且k为整数．则（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，k＝2时，4k＝8，∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2＝m2﹣n2，∴4k+2＝2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n）①，∵m+n和m﹣n这两个数的奇偶性相同，∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，又∵（2022﹣1）÷3＝673••••••2，∴第2022个智慧数在1+673+1＝675（组），并且是第三个数，即675×4﹣1＝2699，是个奇数，∴2k+1＝2699，解得k＝1349，k+1＝1350，即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解．故答案为：2699．6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+2b）20的展开式中第二项的系数为40．【答案】40．【解答】解：根据“杨辉三角“，可知，（a+2b）0的第二项系数为0×2，（a+2b）1的第二项系数为1×2，（a+2b）2的第二项系数为2×2，（a+2b）3的第二项系数为3×2，……（a+2b）20的第二项系数为20×2＝40，故答案为：40．7．已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝±4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵m2+2km+16是完全平方式，∴2km＝±8m，解得k＝±4．8．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（532﹣1）+，＝．三．解答题（共11小题）9．先化简，后求值：[（2a﹣b）2﹣（b+2a）（b﹣2a）]÷（4a），其中．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝[4a2﹣4ab+b2﹣（b2﹣4a2）]÷（4a）＝（4a2﹣4ab+b2﹣b2+4a2）÷（4a）＝（8a2﹣4ab）÷（4a）＝2a﹣b，当时，原式＝．10．阅读材料：若x满足（x﹣3）（x﹣5）＝16，求（x﹣3）2+（x﹣5）2的值．解：设x﹣3＝a，x﹣5＝b，则ab＝（x﹣3）（x﹣5）＝16，a﹣b＝（x﹣3）﹣（x﹣5）＝2，∴（x﹣3）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝22+2×16＝36．请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（x﹣2）（x﹣5）＝10，求（x﹣2）2+（x﹣5）2的值；（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH．①MF＝x﹣1，DF＝x﹣3；（用含x的代数式表示）②若长方形EMFD的面积为24，则阴影部分的面积为20．【答案】（1）29；（2）①x﹣1，x﹣3；②20．【解答】解：（1）设x﹣2＝a，x﹣5＝b，∴a﹣b＝x﹣2﹣（x﹣5）＝3，∵（x﹣2）（x﹣5）＝10，∴ab＝10，∴（x﹣2）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×10＝9+20＝29，∴（x﹣2）2+（x﹣5）2的值为29；（2）①由题意得：MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，故答案为：x﹣1；x﹣3；②由题意得MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，则（x﹣1）（x﹣3）＝24，设x﹣1＝a，x﹣3＝b．则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝24，a﹣b＝x﹣1﹣x+3＝2，∴（x﹣1+x﹣3）2＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×24＝100，∵a≥0，b≥0，∴x﹣1+x﹣3＝a+b＝＝10，∴阴影部分面积为（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝10×2＝20．11．有一系列等式：1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）22×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）23×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）24×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1，左边＝右边．12．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）（1+）+＝4（1﹣）（1+）+＝4（1﹣）+＝4﹣+＝4．故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b213．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求（m+n）（m﹣n）的值；（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n和﹣3x＝mn+m都是“恰解方程”，求代数式4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）的值．【答案】（1）（2）（3）【解答】解：（1）3x+k＝0，3x＝﹣k，，∵关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴，﹣k＝9﹣3k，﹣k+3k＝9，2k＝9，，故答案为：；（2）把x＝n代入关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n，∴﹣2n＝mn+n，∴mn＝﹣3n，∴m＝﹣3，∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，即方程为﹣2x﹣mn﹣n＝0，∴x＝﹣2﹣（﹣mn﹣n）＝﹣2+mn+n，∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n解为x＝n（n≠0），∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴﹣3n＝2，解得：，∴（m+n）（m﹣n）．＝＝＝＝；（3）解3x＝mn+n得：，∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴，∴mn+n＝，解﹣3x＝mn+m得：，∵方程﹣3x＝mn+m是“恰解方程”，∴x＝﹣3+mn+m．∴，∴mn+m＝，∴解得m﹣n＝，4（mn+n）2﹣6（mn+m）﹣（m﹣n）．＝4×﹣6×﹣＝4×﹣6×﹣＝．14．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n＝4，mn＝12，求m+n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，∴中间阴影部分的面积为S＝（m+n）2﹣4mn．方法二：∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．（4分）（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2或（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn）．（6分）（3）由（2）得（m+n）2﹣4×12＝42，即（m+n）2＝64，∴m+n＝±8．又m、n非负，∴m+n＝8．（8分）15．阅读理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）规律是：如果a、b是两个实数，则