专题01 数与式（5大易错点分析+19个易错点+易错题通关）（江苏专用）（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题01数与式有理数专题易错点：1.混淆有理数和无理数：学生可能难以区分有理数和无理数。例如，无法正确识别无限不循环小数（如π和√2）为无理数。2.运算错误：在进行有理数的加、减、乘、除等运算时，学生可能会犯错误，如忽视运算顺序、运算符号错误或处理复杂表达式时出错。3.对绝对值理解不足：学生可能对绝对值的定义和性质理解不足，例如将负数的绝对值理解为负数，或在处理涉及绝对值的复杂问题时出错。4.对分数运算不熟悉：学生可能对分数的加、减、乘、除等运算不太熟悉，导致在处理涉及分数的问题时出错。5.对数轴理解有误：数轴是有理数的重要表示工具，但学生可能无法正确理解和使用数轴，如无法正确标记有理数、无法理解数轴上的相对位置关系等。6.对有理数的混合运算顺序不熟悉：在进行有理数的混合运算时，学生可能不清楚运算的优先级，导致运算顺序错误。7.忽视未知数的取值范围：在进行有理数的函数运算时，学生可能忽视位置上的取值范围的重要性，导致答案不准确。8.对概念理解不足：学生可能对有理数的某些概念理解不足，例如不清楚什么是整数、什么是负数等。易错点1：绝对值化简例：若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则（

）A． B． C． D．变式1：如果，都是有理数，那么．变式2：阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：(1)已知m，n是有理数，当时，则______；(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．易错点2：绝对值最值例：式子的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8变式1：当时，的值最小，最小值为．变式2：学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．(1)列表：x…-2-101234…y…0-1-2a-2b0…则________，________．(2)描点并画出该函数的图象；(3)判断：函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形；观察函数图象，当时，x的取值范围是________．观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值．易错点3：绝对值方程例：若，则的值为（）A．12 B． C．5 D．变式1：已知：，，且，则变式2：“数形结合”是一种非常重要的数学思想，它可以把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来解决问题．探究：方程，可以用两种方法求解，将探究过程补充完整．方法一、当时，；当时，___________．方法二、的意义是数轴上表示x的点与表示___________的点之间的距离是2．上述两种方法，都可以求得方程的解是___________．应用：根据探究中的方法，求得方程的解是__________．拓展：方程的解是___________．易错点4：数轴动点例：如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（

）A．m B．n C．p D．q变式1：如图，边长为3的正方形的边在数轴上，数轴上的点表示的数为．将正方形在数轴上水平移动，移动后的正方形记为，点、、、的对应点分别为、、、，点是线段的中点，当面积为15时，点表示的数为．变式2：【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒．【综合运用】(1)填空：①A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______；点Q表示的数为______．(2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；(3)求当t为何值时，；(4)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．易错点5：数轴新定义例：已知数轴上两点A，B对应的数分别为，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为．(1)若点P为线段的中点，则点P对应的数__________；(2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数的值；(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值．变式1：【定义新知】在数轴上点M和点N表示的数为m、n，则可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，即．【初步应用】（1）在数轴上，点A、B、C分别表示的数为、1、x，解答下列问题：①_____；②若，则的值为_____；③若，且x为负整数，则x的值为_____．【综合应用】（2）在数轴上，点D、E、F分别表示数、5、12，动点P沿数轴以每秒3个单位长度从点D开始向点F运动，到达F点后立刻原速返回到D点；同时，动点Q沿数轴以每秒1个单位长度从点E开始向点F运动，到达F点后停止．设点P的运动时间为t秒，在整个运动过程中，若，求t的值．变式2：在平面直角坐标系中，对于点，点给出如下定义：如果点与原点的距离为，点与点的距离是的倍（为整数），那么称点为点的“倍关联点”．

(1)当时，①如果点的3倍关联点在轴上，那么点的坐标为________．②如果点是点的倍关联点，且满足，那么整数的最大值为________．(2)已知在中，．若，且在的边上存在点的2倍关联点，求的取值范围．实数专题易错点：1.混淆有理数和无理数的概念：有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则无法表示为有限小数或无限循环小数。2.混淆实数的运算性质：（1）实数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，例如结合律、交换律等。（2）容易忽视实数的运算性质，导致在运算中出现错误。3.对绝对值的理解不足：（1）绝对值表示一个数距离0的距离，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。（2）容易忽略绝对值的定义，导致在处理绝对值时出现错误。4.对平方根的理解不足：（1）平方根是一个数的非负值，即正平方根和零的平方根。（2）容易忽略平方根的定义，导致在处理平方根时出现错误。5.对无理数近似表示的误解：（1）无理数可以用有理数进行近似表示，例如π可以使用分数进行近似表示。（2）容易将无理数的近似表示误认为是无理数的准确值，导致在计算中出现错误。6.对实数的大小关系理解不足：（1）实数的大小关系可以通过数轴来表示，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。（2）容易忽略实数的大小关系，导致在比较实数大小时出现错误。易错点1：算术平方根与立方根的规律例：已知：，，则（

）A．0.1536 B．15.36 C．0.04858 D．48.58变式1：小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表.下面有四个推断：①②一定有个整数的算术平方根在之间③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于④比大所有合理推断的序号是.变式2：爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：…………(1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大；(2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：，；(3)已知则，．(4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？易错点2：整数部分与小数部分例：已知，且n是整数，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7变式1：定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为．变式2：阅读下面的对话，解答问题．小红：是无理数，是无限不循环小数，因此它的小数部分我们不可能表示出来，对吗？小高：你说的不对，我们知道，它住2和3之间，它的整数部分是2，用它本身减去整数部分2就可以表示它的小数部分．(1)的整数部分是______，小数部分是______；(2)若的小数部分为，的整数部分为，求的值；(3)若的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根．易错点3：无理数的估算例：估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间变式1：已知．若为整数，且则．变式2：任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为．(1)无理数的“美好区间”是______；(2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值．(3)实数，，满足如下关系式：，求的算术平方根的“美好区间”．代数式专题易错点：1.对代数式的理解不深刻：有些学生可能对代数式的概念和表示方法理解不够深入，导致在解题时出现混淆或错误。2.变量与常数混淆：在代数式中，学生有时会将变量与常数混淆，影响解题的正确性。3.运算顺序错误：在复杂的代数式中，运算的顺序（如先乘除后加减）容易被忽略，导致结果错误。4.括号处理不当：括号在代数式中具有优先级。学生在处理括号时，可能会忽略或错误地处理，导致答案不正确。5.对函数表达式的理解偏差：有些学生可能对函数表达式和其对应的函数图像理解不清晰，影响后续的分析和应用。6.忽略实际意义：在某些问题中，代数式的取值范围或实际意义可能受到限制。学生如果不注意这一点，可能会导致答案不合理或错误。7.化简过程中出错：在化简代数式的过程中，学生可能会因为粗心或计算错误而导致结果不正确。8.对代数式的变换不熟悉：对于一些常用的代数式变换技巧，如提公因式、分组分解等，有些学生可能还不够熟练，导致解题效率低下或出错。9.对代数式的应用场景不明确：代数式在不同的数学问题和实际应用中有不同的作用和意义。学生如果对应用场景不明确，可能会误解题意或应用不当。易错点1：整式中的整体代入例：已知代数式的值是，则代数式的值是（

）A． B．2 C．11 D．8变式1：若m是方程的一个根，则代数式的值为．变式2：阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把看成一个整体，合并________；（2）已知，求的值；拓广探索：（3）已知，，，求的值．易错点2：代数式中的规律例：一个容器装有1升水，按照如下方法把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出水量是升的，第3次倒出水量是升的，第4次倒出水量是升的，…，第次倒出水量是升的．按照这种倒水的方法，次倒出的水量共为（

）A．1升 B．升 C．升 D．升变式1：已知，，，，，，…当为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．（1）；（用含a的代数式表示）（2）．（用含a的代数式表示）变式2：【问题提出】如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当，时，显然有种不同的选择方法；如图2，当，时，有，；，；，这种不同的选择方法；如图3，当，时，有______种不同的选择方法；……由上可知：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法．探究二：如果从，，，个连续的自然数中选择个，个个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空123……43444546474950从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；由上可知：如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_____种不同的选择方法．【问题解决】如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_____种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．(1)今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择．(2)星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种不同的选择方法．易错点3：代数式中的新定义例：定义：对于一个两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其个位和十位上数字和的倍（为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”．例如：就是一个“喜数”，因为；就不是一个“喜数”，因为．小晖发现十位数字是个位数字倍的两位数都是“喜数”，则的值为（

）A． B． C．或 D．变式1：定义：若，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有与(k为常数)始终是数n的“平衡数”，则它们是关于的“平衡数”．变式2：定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”．将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，再除以11所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以．(1)下列两位数：40，51，77中，“相异数”为________；(2)计算：的值；(3)若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求相异数y．易错点4：整式与几何应用例：现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（）A．2 B．4 C．6 D．8变式1：如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为2．（1）如图1，若用正数a、b表示直角三角形的两条直角边，则；（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形，中间的小正方形为正方形，连结，交于点P，交于点M，则．变式2：现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）．(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母、的代数式表示为：______，结论②图3中的大正方形的面积又可以用含字母、、的代数式表示为：______，结论③．(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到个等式______结合结论②和结论③，可以得到个等式______(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且．，求的值．(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，斜边，求图中阴影部分面积和．因式分解专题易错点：1.未能正确理解因式分解的定义：因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式。学生需要明确理解这一概念，才能正确进行因式分解。2.提公因式时系数提取错误：在进行因式分解时，需要找出各项系数的最大公约数，并提取出来作为公因式。如果学生在此过程中出现错误，就会影响因式分解的结果。3.漏掉常数项：在进行提公因式时，学生可能会忽略常数项。这是常见的错误，因为常数项在多项式中容易被忽视。4.未能正确应用公式：在因式分解中，一些特定的多项式可以通过应用公式进行分解。如果学生未能正确应用这些公式，就会导致因式分解的结果不正确。5.混淆了因式分解与整式的乘法：因式分解与整式的乘法是两个不同的概念。学生需要明确区分两者，以免在解题过程中出现混淆。6.未能正确判断能否进行因式分解：对于一些多项式，可能无法进行因式分解。学生需要学会判断哪些多项式可以进行因式分解，哪些不能。易错点1：分组分解法例：因式分解的值为（

）A． B． C． D．变式1：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式．例如：．根据上述方法，解决问题：已知是的三边，且满足，则的形状是．变式2：先阅读下面的材料，再完成后面的任务．材料一材料二如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．例在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程：设，原式(1)填空：因式分解_______；(2)因式分解（写出详细步骤）：；(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．易错点2：因式分解的应用例：对于一个几何拼接图形，通过不同的方法计算它的面积，可以解释一些数学等式．如图1，先单个计算阅览室（正方形）、卫生间P（正方形）和图书室（长方形）的面积，然后整体计算面积，可以得到数学等式：．

(1)观察图2，填空__________；(2)因式分解：，图3表示面积为的几何拼接图，请你补充完整（涂上阴影）；(3)学校准备利用现有教学楼墙重建图书馆，重建资金额定（即墙厚度和总长度为定值）．图4是图书馆地面一层的平面设计图，由1个长方形阅览室和2个正方形图书室组成，各开了一个1米宽的门相通．若计算面积时不考虑墙体厚度，用总长67米的墙重建长方形图书馆的地面一层．问重建后，图书馆地面一层最大面积是多少平方米？变式1：【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：；(2)【问题解决】若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，其中号长方体和号长方体各需要多少个?试通过计算说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与分别是两个大小不同正方体的棱长，且，当为整数时，求的值．变式2：学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．

材料：如图，图形面积的两种计算方法如下，第一种方法：看成个正方形和个长方形的面积和，化简得．第二种方法：看成一个大的正方形计算面积，得到一个等式．根据上述材料的解题方法解决下列问题：(1)如图是由边长分别为，的正方形和长为、宽为的长方形拼成的大长方形，根据图形的面积，可以把因式分解：；(2)①如图是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为；（求多个图形的面积和的式子要化简）②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值．分式与二次根式专题易错点：1.分母不为零：分式的分母不能为零，这一点学生常常会忽略。在解决分式问题时，一定要确保分母不为零。2.二次根式的有意义：对于二次根式，被开方数必须是非负数。学生常常会忽略这一点，导致解答错误。3.分式与整式的混淆：分式和整式在结构上有很大的不同，分式的特点是分母中含有字母。学生有时会混淆这两者，导致解题错误。4.运算顺序：在复杂的数学表达式中，运算的顺序（先乘除后加减，先括号后根式等）非常重要。学生有时会因为运算顺序的错误而导致答案错误。5.负整数指数幂的运算：对于负整数指数幂，学生常常会忘记除以相应的基数的正整数指数幂，导致答案错误。6.最简二次根式的判断：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，以及分母中不含有根号的分式。学生常常会忽略这一点，导致答案错误。7.二次根式的化简：二次根式需要化简到最简形式，但学生常常在这一步出现错误，比如忘记开方或者合并同类项等。易错点1：分母有理化例：已知，则代数式的值为（

）A．2021 B．2024 C．2027 D．2030变式1：已知a是方程一个根，则的值为．变式2：探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：(1)计算：若n为正整数，猜想=___________(2)(3)若，求的值易错点2：分式新定义例：对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（）A． B．-3 C． D．变式1：在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题：（1）；（2）若，则．变式2：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．