第十五章 平面直角坐标系单元综合提优专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（沪教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。第十五章平面直角坐标系单元综合提优专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．下列各点中，一定在第四象限的是（）A．(-3，-5) B．(3，5) C．(3，-5) D．(-3，5)【标准答案】C【思路指引】根据各象限内点的坐标特点，在选项中找到横坐标为正，纵坐标为负的点即可得答案．【详解详析】A．(-3，-5)在第三象限，不符合题意，B．(3，5)在第一象限，不符合题意，C．(3，-5)在第四象限，符合题意，D．(-3，5)在第二象限，不符合题意，故选：C．【名师指路】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0）、（2，0）、（2，1）、（3，2）、（3，1）、（3，0）、…，根据这个规律探究可得，第2021个点的坐标为（）A．（63，40） B．（64，4） C．（63，41） D．（64，5）【标准答案】B【思路指引】横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数．【详解详析】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为1+2+3+…+63＝2016，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数．因而第2021个点的坐标是（64，4）．故选：B．【名师指路】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．3．下列命题是真命题的是（）A．若，则为坐标原点B．若，且平行于轴，，则点坐标为C．点关于原点对称的点坐标是D．若关于一元一次不等式组无解，则的取值范围是【标准答案】C【思路指引】分析是否为真命题，需要分析各题设是否能推出结论，若能推出结论即为真命题，反之即为假命题．【详解详析】解：A.若，则可为轴上的点或轴上的点或坐标原点，故该选项为假命题不符合题意；B.若，且平行于轴，，则点坐标为或，故该选项为假命题不符合题意；C.点关于原点对称的点坐标是是真命题，故该选项符合题意；D.若关于一元一次不等式组无解，则的取值范围是，故该选项为假命题不符合题意．故选：C【名师指路】本题主要考查了真命题与假命题，以及平面直角坐标系和一元一次不等式组的相关知识，熟练掌握平面直角坐标系和一元一次不等式组的运用是解答此题的关键．4．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为（）A． B． C．1 D．3【标准答案】C【思路指引】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．【详解详析】解：∵点P（3m+3，2m-2）在x轴上，∴2m-2=0，解得m=1．故选：C．【名师指路】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．5．已知点与点关于轴对称，则的值是（）A．1 B．-1 C．2021 D．-2021【标准答案】B【思路指引】直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．【详解详析】解：点与点关于轴对称，，，解得：，，则．故选：B．【名师指路】此题主要考查了关于轴对称点的性质，轴对称点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，轴对称点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此得出方程，正确出，的值是解题关键．6．在平面直角坐标系中，点P（1，2）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【标准答案】A【思路指引】根据坐标的属性(+，+)为第一象限，(-，+)为第二象限，(-，-)为第三象限，(+，-)为第四象限，确定即可．【详解详析】∵1＞0，2＞0，∴点P（1，2）位于第一象限，故选A．【名师指路】本题考查了坐标与象限：(+，+)为第一象限，(-，+)为第二象限，(-，-)为第三象限，(+，-)为第四象限，，熟练掌握坐标与象限的关系是解题的关键．7．若点P（2，）与点Q（，）关于原点对称，则m＋n的值分别为（）A． B． C．1 D．5【标准答案】B【思路指引】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解详析】解：∵P（2，-n）与点Q（-m，-3）关于原点对称，∴2=-（-m），-n=-（-3），∴m=2，n=-3,∴．故选：B．【名师指路】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．8．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（）．A．8 B． C．2 D．【标准答案】B【思路指引】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案.【详解详析】解：用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，数轴上的数向左边平移个单位得到的数为数轴上的数向右边平移个单位得到的数为可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是故选：【名师指路】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键.9．如图，一个粒子在第一象限内及x轴､y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点；第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与x轴､y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2021分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．【详解详析】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，

（1，1）表示粒子运动了2＝1×2分钟，将向左运动，

（2，2）表示粒子运动了6＝2×3分钟，将向下运动，

（3，3）表示粒子运动了12＝3×4分钟，将向左运动，

..．

于是会出现：

（44，44）点粒子运动了44×45＝1980分钟，此时粒子将会向下运动，

∴在第2021分钟时，粒子又向下移动了2021−1980＝41个单位长度，

∴粒子的位置为（44，3），

故选：B．【名师指路】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．10．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（）A．(0，0) B．(0，﹣1) C．(1，﹣1) D．(1，﹣2)【标准答案】D【思路指引】根据两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．【详解详析】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为(1,-2)．故选D．【名师指路】本题考查了坐标与图形变化——旋转．解题的关键是理解两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．二、填空题11．将点绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到的点的坐标是______．【标准答案】【思路指引】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C，然后证明△OCB≌△ADO，可得BC=OD=4，OC=AD=3，进而得到答案．【详解详析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BC⊥y轴于点C，∵点A(3，4)绕原点O顺时针旋转90°后得点B，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOD+∠COB=90°，∵∠COB+∠B=90°，∴∠AOD=∠B，在△OCB和△ADO中，，∴△OCB≌△ADO（AAS），∴BC=OD=4，OC=AD=3，∵点B在第四象限，∴点B的坐标是(4,-3)．故答案为(4,-3)．【名师指路】本题考查了坐标与图形变换——旋转，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．能正确画出图形是解题的关键．12．如图，已知点A在第一象限，AB垂直x轴，点B为垂足，，，，将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为，将点再绕原点O顺时针旋60°后的对应点为，按此作法继续下去，则点的坐标是______．

【标准答案】【思路指引】由题意易知点A的坐标每6次一循环，然后根据2021÷6=336余5可求点的坐标．【详解详析】解：∵将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为，将点再绕原点O顺时针旋60°后的对应点为，按此作法继续下去，∴得出每旋转次坐标一循环，∵2021÷6=336余5，∴点的坐标与点的坐标相同，即可得出点与点关于y轴对称，∵，，∴，∴，∴点的坐标为；故答案为．【名师指路】本题主要考查坐标与图形的旋转与规律问题，解题的关键是明确图形旋转的变化规律是每旋转6次坐标一循环．13．已知平面直角坐标系，O是坐标原点，点A（﹣2，0），点C（0，3），∠ACB＝90°，AC＝BC，则点B的坐标为____．【标准答案】（-3，5）或（3，1）3，1）或（-3，5）【思路指引】分情况讨论：①当AC顺时针旋转90°时，，作轴于D点，根据和等量代换得，用AAS证明，得，，即可得；②如图所示，当AC逆时针旋转90°时，，作轴于点E，轴于点F，根据和等量代换得，用AAS证明，得，，即可得．【详解详析】解：①如图所示，当AC顺时针旋转90°时，，作轴于D点，∵，∴，∵,∴，在和中，∴（AAS），∴，，∴点B的坐标为（-3，5）；②如图所示，当AC逆时针旋转90°时，，作轴于点E，轴于点F，则，，∵，，∴，∴（AAS），∴，∴，∴B（3，1）；综上，点B的坐标为：（-3，5）或（3，1），故答案为：（-3，5）或（3，1）．【名师指路】本题考查了求点的坐标，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造三角形BDC和三角形BCF．14．如图，平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1），动点C在坐标轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有______个．【标准答案】7【思路指引】当C在x轴上分为三种情况：①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC，画出图形，即可得出答案；当C在y轴上也分三种情况①AB=AC，②AC=BC，③AB=BC．【详解详析】∵A（1，0），B（0，1），∴AO=OB=1，如图：①以A为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C1、C2，此时两点符合；②当C3和O重合时，AC=BC=1，此点符合；③以B为圆心，以AB为半径作弧，交x轴于C4，此时点符合；共2+1+1=4个点符合．同理当C在y轴上也有四个点符合题意，但是与重合，∴综上所述，一共有7个点符合题意；故答案为：7．【名师指路】本题考查了等腰三角形的判定及分类讨论思想．分类讨论是解答本题的关键．15．如图，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A，B分别在x轴和y轴上，点C的坐标为（4，1），则B点坐标为___．【标准答案】（0，3）【思路指引】作CD⊥x轴交x轴于点D，根据题意利用AAS证明，求得OB=AD，OA=DC，然后根据C点坐标即可求出B点的坐标．【详解详析】解：如图所示，作CD⊥x轴交x轴于点D，∵点C的坐标为（4，1），∴CD=1，OD=4，∵，∴，又∵，∴，∴在△OAB和△DCA中，∴，∴OA=DC=1，OB=AD=OD-OA=4-1=3，∴点B的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）．【名师指路】此题考查了全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系中点的表示方法，解题的关键是根据题意证明．16．如图、在平面直角坐标系中，点、、，点D在第二象限，且，在坐标系中画草图分析可得：

（1）点D的坐标是__________．（2）若点P在y轴上，且为等腰三角形，则满足要求的点P有_______个．【标准答案】4【思路指引】（1）根据全等三角形的性质可得∠AOB=∠OCD=90°，CD=OB，再由B（0，3），C（0，2），得到CD=OB=3，OC=2，由此求解即可；（2）分当PC=AC时，当AC=AP时，当PC=PA时，三种情况进行讨论求解即可．【详解详析】解：（1）∵△AOB≌△OCD，∴∠AOB=∠OCD=90°，CD=OB，∵B（0，3），C（0，2），∴CD=OB=3，OC=2，又∵D在第二象限，∴D的横坐标为-3，纵坐标为2，∴D（-3，2）故答案为：（-3，2）（2）如图所示，当PC=AC时，即图中所示的和点满足题意；当AC=AP时，即图中所示的点满足题意；当PC=PA时，即图中所示的（与原点O重合）点满足题意；∴一共有4个点满足题意，故答案为：4．【名师指路】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，等腰三角形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是________．【标准答案】【思路指引】根据题意可知点在第四象限，然后根据第四象限点的坐标特征求解即可．【详解详析】解：∵点关于轴的对称点在第一象限，∴点在第四象限，∴，，解得：，故答案为：．【名师指路】本题考查了点的坐标特征以及解一元一次不等式组，根据题意得出点在第四象限是解本题的关键．18．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点A的坐标为（4，0），另一个顶点C的坐标为（0，2），则点B的坐标为____．【标准答案】【思路指引】作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标．【详解详析】解：过点作直线，使得轴，过点作于点，过点作于点，，，，，在和中，，，，，的坐标为，的坐标为，，，，，，，，点的坐标为，故答案是：．【名师指路】本题主要考查了等腰直角三角形和全等三角形的的性质和判定，解题的关键是利用全等三角形的判定与性质得出，．19．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，连接．点在第二象限，若以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点坐标为______．

【标准答案】或或【思路指引】分三种情况，分别讨论，利用全等三角形的性质，即可求解．【详解详析】解：∵，两点的坐标分别为，∴，1）如图，当时，作，轴，则

可得四边形为矩形，又∵∴又∵，∴∴，设，则，解得即2）如图，当时，作轴，则同理可证：∴，

3）如图，当时，作轴，则同理可证：∴，

故答案为或或【名师指路】此题考查了图形与坐标，涉及了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出全等三角形．20．在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O按顺时针方向旋转90°后，其对应点A’的坐标是___________．【标准答案】（2，-3）【思路指引】根据题意作出A旋转以后的点，分别过A、作AB⊥x轴于B、⊥y轴于C，证明即可求解．【详解详析】A旋转以后的点，分别过A、作AB⊥x轴于B、⊥y轴于C，如图根据旋转的性质：，∵∴∴∴OC=OB=3，∴（2，-3）故答案为：（2，-3）【名师指路】本题考查了图形的旋转，关键是构造全等三角形．三、解答题21．如图所示，在平面直角坐标系中，在ABC中，OA＝2，OB＝4，点C的坐标为(0，3)．（1）求A，B两点坐标及；（2）若点M在x轴上，且，试求点M的坐标．（3）若点D是第一象限的点，且满足CBD是以BC为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．【标准答案】（1）A（-2，0），B（4，0），（2）M（2，0）或（-6，0）（3）D（3，7）或（7，4）【思路指引】（1）根据题中的条件，得出点A和点B的坐标，ABC的底和高，进而求出面积；（2）根据题中两个三角形的面积关系，求出ACM的面积，求出底，进而求出M的坐标；（3）分情况讨论，根据题中的条件得出线段的关系，求出点D的坐标．【详解详析】（1）∵OA=2，OB=4，且A在原点左侧，B在原点右侧，∴A（-2，0），B（4，0），∵C（0，3），∴OC=3，∴；（2）设M的坐标为（m，0），则AM=，∵，∴，∴，解得m=2或m=-6，∴M点的坐标是（2，0）或（-6，0）；（3）如图，符合条件的D点有两个，①△≌△CBO，∴，OE=OB+BE=7，∴②△≌△BCO，∴CF=BO=4，∴OF=4+3=7，∴，∴，综上所述，D点坐标是（3，7）或（7，4）．【名师指路】本题考查了函数的基本概念，根据点的坐标得出线段的长度，最后一问需要分情况讨论，虽然难度不大，但是比较繁琐，依据图形，数形结合有利于解决问题．22．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向y轴负半轴向下运动时，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（-4，-4），点G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求m＋n的值．【标准答案】（1）（-6，-2）；（2）2；（3）-8【思路指引】（1）过点C作CM⊥x轴于点M，只需要证明△MAC≌△OBA得到CM=OA=2，MA=OB=4，则OM=OA+MA=6，由此即可得到答案；（2）过点D作DQ⊥OP于Q，则可证△AOP≌△PDQ得到QP=AO=2，则OP-DE=PQ=2；（3）过点F作FS⊥x轴于S，FT⊥y轴于T，证明△FSH≌△FTG得到GT=HS，再由G（0，m），H（n，0），点F坐标为（-4，-4）得到OT=OS=4，OG=-m，OH=n，则GT=OG-OT=-m-4，HS=OH+OS=n+4，由此即可得到-m-4=n+4，即可得到答案．【详解详析】解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∠BOA=90°，∴∠CMA=∠CAB=∠AOB=90°∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC=∠OBA，∵△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，∴AC=AB，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM=OA=2，MA=OB=4，∴OM=OA+MA=6∴点C的坐标为（-6，-2）；（2）过点D作DQ⊥OP于Q，∵DQ⊥OP，DE⊥OE，∠POE＝90°，∴OE=QD，DE=OQ，∴OP=PQ+OQ=DE+PQ，∴∠APO+∠QPD=∠APD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD=∠OAP，∵△APD是以P为直角顶点，AP为腰的等腰直角三角形，∴AP=PD在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴QP=AO=2，∴OP-DE=PQ=2；（3）过点F作FS⊥x轴于S，FT⊥y轴于T，∵F（-4，-4），∴FS=FT=4，∵FT⊥y轴，SH⊥y轴∴∠FHS=∠HFT，∵∠FGT+∠GFT=∠HFT+∠GFT=90°，∴∠FHS=∠HFT=∠FGT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS）∴GT=HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（-4，-4）∴OT=OS=4，OG=-m，OH=n，∴GT=OG-OT=-m-4，HS=OH+OS=n+4，∴-m-4=n+4，∴m+n=-8．【名师指路】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够准确作出辅助线构造全等三角形．23．已知：如图，中，，点在轴上，点、点分别在轴的负半轴与正半轴上，，．（1）求点的坐标．（2）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作轴，交直线于点，设线段的长为，点的运动时间为秒，求与的关系式（用表示，不用写出的取值范围）．（3）在（2）的条件下，动点从点向终点运动（与点同时出发），速度为3个单位长度/秒，作等边（点、、按顺时针顺序排列），连接、，若，求值和的长．

【标准答案】（1）（2）（3），或，【思路指引】（1）由题意易得∠OAC=30゜，OC=2，由30度角的直角三角形的性质可得AC及BC的长，从而可得OB的长及点B的坐标；（2）由30度角的直角三角形的性质可得，另一方面，由此可得d与t的关系式；（3）分两种情况考虑：点H位于x轴下方；点H位于x轴上方．在CB上取CD=CP，连接PD，证明△PCH≌△PDQ，问题便可解决．【详解详析】（1）∵∠BAC=90゜，∠ABC=30゜∴BC=2AC，∠BAO=60゜∴∠OAC=30゜∵C(2，0)∴OC=2∴AC=2OC=4∴BC=2AC=8∴OB=BC-OC=6∴B(-6，0)（2）∵PM∥x轴∴∠AMP=∠ABC=30゜∴∵CP=t∴AP=AC－CP=4－t∴∴（3）当点H位于x轴下方时，如图在CB上取CD=CP，连接PD，∵∠ACO=90゜－∠OAC=60゜∴△PCD是等边三角形∴CP=PD=CD=t，∠DPC=∠QPH=60゜∴∠QPD+∠DPH=∠DPH+∠HPC∴∠QPD=∠HPC∵△QPH是等边三角形∴PQ=PH在△PCH与△PDQ中∴△PCH≌△PDQ(SAS)∴QD=CH=∵BQ=3t，BC=8∴QC=BC－BQ=8－3t∵QC=QD+CD=∴解得：∴BQ=4∴CQ=BC－BQ=8－4=4∴CQ=AC=4，且∠ACO=60゜∴△AQC是等边三角形∴AQ=4当点H位于x轴上方时，如图，在CB上取CD=CP，连接PD同理可证：△PCH≌△PDQ∴QD=CH=∵DQ+CQ=CP∴解得：∴BQ=8此时点Q到了终点C，从而AQ=4综上所述，，或，．【名师指路】本题考查了30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形是（3）的难点与关键．涉及分类思想的运用．24．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，8），连接AB，点C为AB中点，连接OC．（1）点C坐标为；（2）如图2，动点E从A出发沿AO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，设点E的运动时间为t秒，连接CE，过点C作CE的垂线交OB于点F，设三角形OCF的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下，当t＞4时，将△ACE沿CE折叠△A′CE，A′E交y轴于点G，求△GOE的周长．【标准答案】（1）（4，4），（2）S＝（0＜t＜8），（3）8【思路指引】（1）根据中点特征即可求出答案；（2）证△ACE≌△OCF，即可表示出OF＝t，且0＜t＜8，从而求出答案；（3）当E、F两点运动2秒时，OE＝BF＝2，得出E（2，0），F（0，6），利用待定系数法求出直线BE、CD的解析式，联立方程组求出点G的坐标，再运用两点间距离公式求出答案．【详解详析】解：（1）∵A（8，0），B（0，8），点C为AB中点，∴C（，），即C（4，4），故答案为：（4，4）；（2）过点C作CK⊥x轴于点K，作CH⊥y轴于点H，∵C（4，4），∴CK＝CH＝4，∵CE⊥CF，∴∠ECF=90°，∵OB=OA=8，点C为AB中点，∴CO⊥AB，∠EAC=∠AOC=45º，∴CA=OC，∴∠OCA=90°，∴∠ECA=∠OCF，∵∠CAE=∠COF=45º，∴△ACE≌△OCF，∴OF＝AE＝t，S△OCF＝OF•CH，S＝，∵动点E从A出发沿AO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，∴自变量t的取值范围是0＜t＜8，（3）连接CG，作CN⊥EG于N，作CM⊥OG于M，由折叠可知，A′C=AC=OC，∠EA′C=∠EAC=∠MOC=45º，∵∠CMO=∠CNG=90°，∴△CMG≌△CNG，∴CM=CN，∴∠CGM=∠CGN，∵∠A′GM=∠OGN，∴∠CGA′=∠CGO，∵CG=CG，∠EA′C=∠MOC=45º，∴△CGA′≌△CGO，∴GA′＝GO，△GOE的周长=GO+GE+EO=GA′+GE+EO=EA′+EO，∵EA=EA′，∴△GOE的周长=EA+EO=OA=8．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键是恰当作出辅助线，熟练运用相关知识进行证明推理．25．如图，点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，点C在线段AB上，（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．【标准答案】（1）2，（2）CD＝BD+AC．证明见解析，（3）BQ是定值，4【思路指引】（1）根据非负数的性质得到a﹣2＝0，2b﹣4＝0，求得a＝2，b＝2，得到OA＝2，OB＝2，于是得到结果；（2）将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到∠BDF＝180°，由∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，同时代的∠BOD+∠AOC＝45°，求出∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质得到DC＝DF＝DB+BF＝DB+DC；（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，由∠BAO＝∠PDF＝45°，得到∠PAB＝∠PD，E＝135°，根据余角的性质得到∠BPA＝∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等三角形的性质得到AP＝ED，于是得到FD+ED＝PF+AP．即：FE＝FA，根据等腰直角三角形的性质得到结论．【详解详析】（1）解：∵（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0，∴a﹣2＝0，2b﹣4＝0，∴a＝2，b＝2，∴A（2，0）、B（0，2），∴OA＝2，OB＝2，∴△AOB的面积＝＝2；（2）CD＝BD+AC．证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，∴∠DBF＝180°，∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝45°，∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，在△ODF与△ODC中，，∴△ODF≌△ODC，∴DC＝DF，∵DF＝BD+BF，∴CD＝BD+AC．（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，∵∠BAO＝∠PDF＝45°，∴∠PAB＝∠PDE＝135°，∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，∴∠BPA＝∠PED，在△PBA与△EPD中，，∴△PBA≌EPD（AAS），∴AP＝ED，∴FD+ED＝PF+AP，即：FE＝FA，∴∠FEA＝∠FAE＝45°，∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，∴OA＝OQ＝2，∴BQ＝4．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．26．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰．（1）如图1，若OB＝6，则点C的坐标为__________；（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰，连接AE，求证：AE⊥AB；（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰．连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3）4．【思路指引】（1）如图1，过点作轴，由“”可证，可得，，可求解；（2）过点作轴于，由“”可证，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，可得结论；（3）由（1）可知，可得，，再由“”可证，可得．【详解详析】解：（1）如图1，过点作轴于，在中，，，，，在和中，，，，，，点，故答案为：；（2）过点作轴于，已知等腰，，，，，，在和中，，，，，点的坐标为，∵在等腰中，，，，，，，；（3）过点作轴，由（1）可知：，，，，，在等腰中，，，，，又，，，．【名师指路】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，将一个直角的顶点放在点M（2，2）处，直角的两边分别交两坐标轴于A，B两点，PA平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于点N．（1）求∠BOM的度数；（2）求BO+OA的值；（3）当直角顶点绕点M旋转时，ON+AB的值是否会发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．【标准答案】（1）；（2）；（3）不发生变化，【思路指引】（1）过M做轴和轴垂线分别交于E、F，由M（2，2）可得，从而得出，即可得出答案；（2）易得，由全等三角形的性质得，，从而得出；（3）过做交于，延长到，使得，连接，首先证明，再结合全等三角形的性质求出，即可得出答案．【详解详析】（1）如图所示，过M做轴和轴垂线分别交于E、F，由M（2，2）可得:，是等腰直角三角形，，；（2），，在与中，，，，；（3）的值不会发生变化，理由如下：如图所示，过做交于，延长到，使得，连接，，，，平分，平分，，，，，即，，，，，，，，，，，在和中，，，，，即的值不会发生变化．【名师指路】本题考查全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构成全等三角形是解题的关键．28．已知，A(0，a)，B(b，0)，点为x轴正半轴上一个动点，AC＝CD，∠ACD＝90°．（1）已知a，b满足等式｜a+b｜+b2+4b＝－4．①求A点和B点的坐标；②如图1，连BD交y轴于点H，求点H的坐标；

（2）如图2，已知a+b=0，OC＞OB，作点B关于y轴的对称点E，连DE，点F为DE的中点，连OF和CF，请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论．

【标准答案】（1）①A（0，2），B（-2，0）；②H（0，-2）；（2）CF⊥OF，CF=OF，证明见解析．【思路指引】（1）①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出a、b的值，即可得到答案；②过C作y轴垂线交BA的延长线于E，然后证明△CEA≌△CBD，得到OB=OH，即可得到答案；（2）由题意，先证明△DFG≌△EFO，然后证明△DCG≌△ACO，得到△OCG是等腰直角三角形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立．【详解详析】解：（1）∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴A（0，2），B（2，0）；②过C作x轴垂线交BA的延长线于E，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∵EC⊥BC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=EC，∠BCE=90°=∠ACD，∴∠ACE=∠DCB，∵AC=DC，∴△CEA≌△CBD，∴∠CBD=∠E=45°，∴OH=OB=2，∴H（0，2）；（2）补全图形，如图：

∵点B、E关于y轴对称，∴OB=OE，∵a+b=0，即∴OA=OB=OE延长OF至G使FG=OF，连DG，CG，∵OF=FG，∠OFE=∠DFG，EF=DF∴△DFG≌△EFO∴DG=OE=OA，∠DGF=∠EOF∴DG∥OE∴∠CDG=∠DCO；∵∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠CAO；∴∠CDG=∠DCO=∠CAO；∵CD=AC，OA=DG∴△DCG≌△ACO∴OC=GC，∠DCG=∠ACO∴∠OCG=90°，∴∠COF=45°，∴△OCG是等腰直角三角形，由三线合一定理得CF⊥OF∵∠OCF=∠COF=45°，∴CF=OF；【名师指路】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．29．在平面直角坐标系中，三角形为等腰直角三角形，，交轴于点．（1）若，，直接写出点的坐标；（2）如图，三角形与均为等腰直角三角形，连，求的度数；（3）如图，若平分，，，的纵坐标为，求的值．【标准答案】（1）；（2）90°；（3）【思路指引】（1）如图1中，作轴于．只要证明即可