广东省东莞市虎门外语学校2024年九年级中考数学一模试卷

第1页（共1页）虎门外语学校一模试卷一．选择题（共10小题）1．﹣2025的绝对值是（）A．2025 B． C．﹣2025 D．2．如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（）A． B． C． D．3．下列运算中，正确的是（）A．（﹣2a3b）2＝4a5b2 B．a8÷a4=a2C．（a-b）2＝a2-b2 D．2a2b-a2b＝a2b4．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．15．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（）A．＝+1 B．＝ C．＝﹣1 D．＝6．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．65°7．有6张完全相同的卡片，每张卡片的正面都写有一种常见的生活现象，将所有卡片背面朝上，从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是（）A． B． C． D．8．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．69．王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕EF；第二步：将△AEG和△BEH分别沿EG，EH翻折，AE，BE重合于折痕EF上；第三步：将△GEM和△HEN分别沿EM，EN翻折，EG，EH重合于折痕EF上．已知AB＝20cm，AD＝cm，则MD的长是（）A．10cm B．cm C．cm D．cm10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，m），图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣3＜x1＜﹣1．下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③3a+c＞0；④ax2+m＝1﹣bx﹣c无实数根．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二．填空题（共5小题）11．马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约42200米，将数字42200用科学记数法表示为．12．分解因式3x2﹣12y2＝．13．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于cm．14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为．15．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是．三．解答题（共10小题）16．计算：．17．解不等式组，并写出它的负整数解．18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连接EF，BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）判断∠EBF和∠EFB的关系,并说明理由．19．为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校利用课外活动时间开设了“A．园艺、B．厨艺、C．木工、D．编织”四大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题；（1）随机抽样调查的样本容量是，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为°；（2）补全条形统计图；（3）若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生选择“厨艺”和“木工”劳动课的一共有多少人数．20．如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）若AB＝4，AD＝8，求四边形EBFD的周长．21．某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为50cm，DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm，求CD的长；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）22．如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB于点D，反比例函数的图象经过点C，交直线BC于E．（1）求反比例函数解析式；（2）求△OCE的面积．23．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．24．【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题；【深入探究】（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①甲组提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②乙组提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝12，AC＝16，求AH的长．25．如图1：平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，点是抛物线上一点，（1）求抛物线表达式．（2）如图2，点D（0，3）是y轴上一点，连接AD，点P是直线AD上方抛物线上一个动点，过点P作PE∥y轴交直线AD于点E，在射线ED上取一点F，使得PE＝PF，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标．（3）如图3，将原抛物线y＝ax2+bx+沿射线AD方向平移4个单位长度，平移后抛物线y1的对称轴与x轴交于点N，射线AD上有一点G，连接GN，过点G作GN的垂线与抛物线y1交于点M，连接MN，若∠GMN＝30°，请直接写出点M的坐标．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣2025的绝对值是（）A．2025 B． C．﹣2025 D．【分析】根据绝对值的定义进行求解即可．【解答】解：-2025的绝对值是2025，故选：A．【点评】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．2．如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看，可得选项D的图形．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．3．下列运算中，正确的是（）A．（﹣2a3b）2＝4a5b2 B．a8÷a4=a2C．（a-b）2＝a2-b2 D．2a2b-a2b＝a2b【分析】根据积的乘方、完全平方公式和同底数幂的乘法计算判断即可．【解答】故选：D．【点评】此题考查积的乘方、完全平方公式和同底数幂的乘法，关键是根据法则进行计算．4．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可．【解答】解：∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝﹣1，∴a+b＝﹣3．故选：B．【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．5．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（）A．＝+1 B．＝ C．＝﹣1 D．＝【分析】根据题意可知：步行的时间＝牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程．【解答】解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，∴牛车的速度是1.5x里，由题意可得：+1，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．6．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．65°【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，∴．解法二：因为AB是直径，所以∠ACB＝90°所以∠BDC＝∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°．故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理进行求解是解决本题的关键．7．有6张完全相同的卡片，每张卡片的正面都写有一种常见的生活现象，将所有卡片背面朝上，从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是（）A． B． C． D．【分析】利用概率公式求解即可．【解答】解：∵共6张卡片，属于物理变化的有水结成冰、灯泡发光两种，∴从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是＝，故选：B．【点评】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．8．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：，∵＜＜，∴4＜＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．9．王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③．第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕EF；第二步：将△AEG和△BEH分别沿EG，EH翻折，AE，BE重合于折痕EF上；第三步：将△GEM和△HEN分别沿EM，EN翻折，EG，EH重合于折痕EF上．已知AB＝20cm，AD＝cm，则MD的长是（）A．10cm B．cm C．cm D．cm【分析】根据第一、二步折叠易得四边形AEA′G为正方形，AG＝10cm，以此得出GD＝cm，根据勾股定理求出EG＝cm，根据第三步折叠可得∠GEM＝∠G′EM，进而得到∠GEM＝∠GME，则GE＝GM，于是MD＝GD﹣GM，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝20cm，AD＝cm，∴∠A＝90°，由第一步折叠可得，AD∥EF，AE＝BE＝10cm，由第一步折叠可得，AE＝A′E＝10cm，∠EA′G＝∠A＝90°，∴AE∥AG，∴四边形AEA′G为平行四边形，∵AE＝A′E，∠A＝90°，∴平行四边形AEA′G为正方形，∴AG＝AE＝10cm，∴GD＝AD﹣AG＝cm，在Rt△AEG中，＝＝（cm），根据第三步折叠可得，∠GEM＝∠G′EM，∵GD∥EF，∴∠GME＝∠G′EM，∴∠GEM＝∠GME，∴GE＝GM＝cm，∴MD＝GD﹣GM＝＝cm．故选：D．【点评】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，m），图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣3＜x1＜﹣1．下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③3a+c＞0；④ax2+m＝1﹣bx﹣c无实数根．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可．【解答】解：由图象知，a＞0，c＜0，b＞0，∴abc＜0，故①正确；∵图象与x轴的两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故②正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，m），图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣3＜x1＜﹣1，∴﹣1＜x2＜1，﹣＝﹣1，∴b＝2a，当x＝1是，y＞0，∴a+b+c＞0，∴3a+c＞0，故③正确；一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m的交点，当1﹣m＜m，即m＞时，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m没有交点，此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c无实数根；当1﹣m＝m，即m＝时，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m有一个交点，此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c有两个相等的实数根；当1﹣m＞m，即m＜时，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m有两个交点，此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c有两个不相等的实数根；∴④错误；故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图象中获取信息进行准确的分析是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约42200米，将数字42200用科学记数法表示为4.22×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：将数字42200用科学记数法表示为4.22×104．故答案为：4.22×104．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．12．分解因式3x2﹣12y2＝3(x-2y)(x+2y)．【分析】根据十字相乘法进行分解因式即可．【解答】解：原式＝3(x-2y)(x+2y)，故答案为：3(x-2y)(x+2y)．【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．13．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于10cm．【分析】连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则点E为餐盘与BC边的切点，由矩形的性质得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，则四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，设餐盘的半径为xcm，则OA＝OE＝xcm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则∠OEC＝90°，∵餐盘与BC边相切，∴点E为切点，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），设餐盘的半径为xcm，则OA＝OE＝xcm，∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴餐盘的半径为10cm，故答案为：10．【点评】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．14．对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为3．【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当x≥﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，当x＜﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），综上所述：x＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确分情况讨论是解题关键．15．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是．【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，又∵∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝120°，∵点D是AC边的中点，∴CD＝3，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时，∠CDQ＝30°，∴CQ＝CD＝，∴DQ＝＝，∴DQ的最小值是，故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．三．解答题（共10小题）16．计算：．【分析】根据特殊角锐角三角函数、零指数幂、负整数指数幂的意义以及化简二次根式即可求出答案．【解答】解：原式＝2﹣2×+1﹣2＝2﹣+1﹣2＝﹣1；17．解不等式组，并写出它的负整数解．【分析】先解出每个不等式的解集，再根据“比大小，比小大，中间找”求出不等式组的解集，最后求出其非负整数解．【解答】解：，解不等式①得x＜，解不等式②得x≥﹣5，所以不等式组的解集为﹣5≤x＜，所以不等式组的负整数解为-5、-4、-3、-2、-1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的基本解法，关键是要熟练掌握一元一次不等式组的基本解法、熟知“比大小，比小大，中间找”的原则．18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连接EF，BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）判断∠EBF和∠EFB的关系,并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的作法即可完成作图；（2）根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得△BEF是等边三角形，进而可以解决问题．【解答】解：（1）如图所示：∠CAD的平分线AF即为所求；（2）；∠EBF＝∠EFB理由如下：∵AC＝AD，AF是∠CAD的平分线，∴AF⊥CD，∵点E是AC的中点，∴EF＝AC，∵∠ABC＝90°，∴BE＝AC，∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB【点评】本题考查作图﹣基本作图，直角三角形斜边的中线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．19．为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校利用课外活动时间开设了“A．园艺、B．厨艺、C．木工、D．编织”四大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题；（1）随机抽样调查的样本容量是400，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为108°；（2）补全条形统计图；（3）若该校八年级共有800名学生，请估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数．【分析】（1）由两个统计图可得，“园艺”的频数为100，占调查人数的25%，根据频率＝频数÷总数可求出答案；用360°乘“B”所占百分比可得扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数；（2）求出“厨艺”和“编织”的频数即可补全条形统计图；（3）样本估计整体，求出样本中选择“厨艺”劳动课的人数所占的百分比，进而求出答案．【解答】解：（1）随机抽样调查的样本容量是：100÷25%＝400，C所占百分比为：＝35%，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：360°×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝108°．故答案为：400，108；（2）样本中“D”的频数为：400×10%＝40，“B”的频数为：400×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝120，补全条形统计图如下：（3）800×（1﹣25%﹣10%﹣35%）＝240（名），答：估计该校八年级学生选择“厨艺”劳动课的人数大约为240名．【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，应充分理解部分与整体之间的关系，注意运用数形结合的思想方法，从条形统计图和扇形统计图中给出的信息寻找突破口．20．如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）若AB＝4，AD＝8，求四边形EBFD的周长．【分析】（1）由矩形的性质得AD∥BC，则∠OED＝∠OFB，而∠DOE＝∠BOF，OD＝OB，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△DOE≌△BOF；（2）由△DOE≌△BOF，得DE＝BF，则四边形BFDE是平行四边形，因为EF⊥BD，所以四边形BFDE是菱形，由勾股定理得62+（8﹣BE）2＝BE2，求得BE＝，则四边形BFDE的周长为25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OED＝∠OFB，∵O是BD的中点，∴OD＝OB，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（AAS）．（2）∵AD∥BC，点E、点F分别在AD、BC上，∴DE∥BF，∵△DOE≌△BOF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，∴BE＝DE＝BF＝DF，∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝8，∴AB2+AE2＝BE2，AE＝8﹣DE＝8﹣BE，∴42+（8﹣BE）2＝BE2，解得BE＝5，∴BE+DE+BF+DF＝4BE＝4×5＝20，∴四边形BFDE的周长为20．【点评】此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△DOE≌△BOF是解题的关键．21．某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为50cm，DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm，求CD的长；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】（1）过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AF于点F，从而可求出CG的长度，然后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．（2）过点D作DF⊥AF于点F，过点C作CH⊥AF于点H，过点D作DM⊥CH于点M，过点B作BN⊥CH于点N，从而可知四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，利用锐角三角函数的定义可求出CN，CH，CM，MH的长度即可求出答案．【解答】解：（1）过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AF于点F，∴四边形GDFA是矩形，∴GA＝DF＝100（cm），∵CA＝CB+BA，∴CA＝50+70＝120（cm），∴CG＝CA﹣DF＝120﹣100＝20（cm），∵∠BCD＝60°，∴∠CDG＝30°，∴CD＝2CG＝40（cm），答：CD的长为40cm．（2）过点D作DF⊥AF于点F，过点C作CH⊥AF于点H，过点D作DM⊥CH于点M，过点B作BN⊥CH于点N，∴四边形MDFH和四边形BNHA是矩形，由题意可知：∠BCN＝20°，∠BCD＝60°，∴∠MCD＝60°﹣20°＝40°，在Rt△BCN中，cos∠BCN＝cos20°＝，∴CN＝BCcos20°≈50×0.94≈47（cm），∴CH＝CN+NH＝CN+AB＝47+70＝117（cm），在Rt△CDM中，∴cos∠MCD＝cos40°＝，∴CM＝CDcos40°≈40×0.77≈31（cm），∴MH＝CH﹣CM＝117﹣31＝86（cm），答：此时灯泡悬挂点D到地面的距离为86cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．22．如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB于点D，反比例函数的图象经过点C，交直线BC于E．（1）求反比例函数解析式；（2）求△OCE的面积．【分析】（1）证明△AOB≌△BDC（AAS），推出BD＝AO＝2，CD＝OB＝3，得到点C的坐标为（3，1），利用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）先求出直线BC表达式为，再求出直线与双曲线交点，从而求出面积．【解答】解：（1）∵A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴OA＝2，OB＝3，由旋转得：BC＝AB，∠ABC＝90°∴∠OAB＝∠DBC＝90°﹣∠ABO，∵CD⊥OB，∴∠AOB＝∠CDB＝90°，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴BD＝AO＝2，CD＝OB＝3，∴OD＝3﹣2＝1，∴点C的坐标为（3，1），∵点C在反比例函数y＝上，∴k＝3×1＝3∴反比例函数的解析式为；（2）设直线BC表达式为y＝ax+b，把（3，1），（0，3）代入，∴，解得：，∴直线BC表达式为，∴，解得：，∴，∴．【点评】此题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，利用反比例函数计算图形的面积，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．23．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OB，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝2，∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴的长度＝＝．【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．24．【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当∠ABE＝∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题；【深入探究】（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①甲组提出问题：如图3，当∠ABE＝∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②乙组提出问题：如图4，当∠CBE＝∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC＝12，AC＝16，求AH的长．【分析】（1）由正方形的判定可得出结论；（2）①证出AM⊥BN，BC＝AM．由（1）可知BE＝BC．则可得出结论；②设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，由勾股定理求出AB的长，证明△AMH∽△BME，得出，则可得出结论．【解答】解：（1）结论：四边形BCGE为正方形．理由如下：∵∠BED＝90°，∴∠BEG＝180°﹣∠BED＝90°．∵∠ABE＝∠A，∴AC∥BE．∴∠CGE＝∠BED＝90°．∵∠ACB＝90°，∴四边形BCGE为矩形．∵△ACB≌△DEB，∴B