高考数学二轮复习 专题检测（四）常用逻辑用语、定积分、推理与证明、函数的实际应用、排列与组合 理（普通生含解析）-人教版高三数学试题

专题检测（四）常用逻辑用语、定积分、推理与证明、函数的实际应用、排列与组合一、选择题1．(2018·南宁联考)命题“∃x0∈R，x0＋cosx0－ex0>1”的否定是()A．∃x0∈R，x0＋cosx0－ex0<1B．∃x0∈R，x0＋cosx0－ex0≥1C．∀x∈R，x＋cosx－ex≥1D．∀x∈R，x＋cosx－ex≤1解析：选D因为所给命题是一个特称命题，所以其否定是一个全称命题，即“∀x∈R，x＋cosx－ex≤1”．2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x≤0，,x＋1，0＜x≤2，))则eq\i\in(-2,2,)f(x)dx的值为()A.eq\f(4,3) B．4C．6 D.eq\f(20,3)解析：选Deq\i\in(-2,2,)f(x)dx＝eq\i\in(-2,0,)x2dx＋eq\i\in(0,2,)(x＋1)dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(0,-2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋x))eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(2,0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(8,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)×4＋2－0))＝eq\f(20,3).3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选D当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.4．(2018·安徽八校联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇 B．A，B两镇C．C，D两镇 D．A，C两镇解析：选C若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.5．从5个不同的小球中选4个放入3个箱子中，要求第一个箱子放入1个小球，第二个箱子放入2个小球，第三个箱子放入1个小球，则不同的放法共有()A．120种 B．96种C．60种 D．48种解析：选C第一步，从5个不同的小球中选4个，共有Ceq\o\al(4,5)＝5种不同的方法；第二步，从选出的4个小球中选出1个放入第一个箱子，共有Ceq\o\al(1,4)＝4种不同的方法；第三步，从剩余的3个小球中选出2个放入第二个箱子，共有Ceq\o\al(2,3)＝3种不同的方法；第四步，将最后1个小球放入第三个箱子，共有Ceq\o\al(1,1)＝1种不同的方法．故不同的放法共有5×4×3×1＝60种．6．(2018·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有()A．10种 B．40种C．70种 D．80种解析：选B若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有Ceq\o\al(1,5)种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有Ceq\o\al(2,4)种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30种搜寻方案；若Grace参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有Ceq\o\al(2,5)种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有Ceq\o\al(2,5)＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B.7．给出下面四个类比结论：①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0.④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.其中类比结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，b互相垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.8．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：x(月份)12345Q(x)(台)691086根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是()A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)D．Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)解析：选C观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.9．由曲线y＝eq\r(x)，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A．16 B.eq\f(16,3)C．2 D.eq\f(4,3)解析：选B围成的图形如图中阴影部分所示，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y＝\r(x)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))∴M(4,2)．由曲线y＝eq\r(x)，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积S＝eq\i\in(0,4,)[eq\r(x)－(x－2)]dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(1,2)x2＋2x))eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(4,0))＝eq\f(16,3).10．在下列结论中，正确的个数是()①命题p：“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－2≥0”的否定形式为綈p：“∀x∈R，x2－2<0”；②O是△ABC所在平面上一点，若eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))，则O是△ABC的垂心；③“M>N”是“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N”的充分不必要条件；④命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确．∵eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))，∴eq\o(OB,\s\up7(→))·(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(OB,\s\up7(→))⊥eq\o(CA,\s\up7(→)).同理可知eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))⊥eq\o(BA,\s\up7(→))，故点O是△ABC的垂心，∴②正确．∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x是减函数，∴当M>N时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N，当eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N时，M<N.∴“M>N”是“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))M>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))N”的既不充分也不必要条件，∴③错误．由逆否命题的写法可知，④正确．∴正确的结论有3个．11．(2018·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A．36种 B．24种C．22种 D．20种解析：选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1个，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法．12．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其正视图如图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是()解析：选C向玻璃杯内匀速注水，水面逐渐升高，当玻璃杯中水满时，开始向塑料桶内流，这时水位高度不变，因为杯子和桶底面半径比是1∶2，则底面积的比为1∶4，在高度相同情况下体积比为1∶4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3，所以高度不变时，杯外注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后，继续注水，水面高度再升高，升高的速度开始慢，结合图象知选C.13．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，则52018的末四位数字为()A．3125 B．5625C．0625 D．8125解析：选B55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2018＝4×503＋6，所以52018与514．埃及数学中有一个独特现象：除eq\f(2,3)用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15).可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的eq\f(1,2)，不够，若每人分得一个面包的eq\f(1,3)，还余eq\f(1,3)，再将这eq\f(1,3)分成5份，每人分得eq\f(1,15)，这样每人分得eq\f(1,3)＋eq\f(1,15).形如eq\f(2,n)(n＝5,7,9，11，…)的分数的分解：eq\f(2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15)，eq\f(2,7)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,28)，eq\f(2,9)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,45)，按此规律，eq\f(2,n)＝()A.eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1) B.eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,nn＋1)C.eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,nn＋2) D.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋12n＋3)解析：选A根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即eq\f(2,n)＝eq\f(1,\f(n＋1,2))＋eq\f(1,\f(nn＋1,2))＝eq\f(2,n＋1)＋eq\f(2,nn＋1).15．一个人骑车以6m/s的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，若汽车在时刻t的速度v(t)＝A．可在7秒内追上汽车B．不能追上汽车，但其间最近距离为16mC．不能追上汽车，但其间最近距离为14mD．不能追上汽车，但其间最近距离为7m解析：选D因为汽车在时刻t的速度v(t)＝t(m/s)，所以加速度a＝eq\f(vt,t)＝1，所以汽车是匀加速运动，以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为S1＝－25＋6t，汽车在时间t内的位移为S2＝eq\f(t2,2)，故设相对位移为ym，则y＝－25＋6t－eq\f(t2,2)＝－eq\f(1,2)(t－6)2－7，故不能追上汽车，且当t＝6时，其间最近距离为7m，故选D.16．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的()A．己亥年 B．戊戌年C．辛丑年 D．庚子年解析：选D由题知，天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年为甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2020年，经过了6年，所以天干中的甲变为庚，地支中的午变为子，即2020年是庚子年，故选D.二、填空题17.eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝________.解析：eq\i\in(1,e,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋lnx))eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(e,1))＝eq\f(e2,2)＋1－eq\f(1,2)＝eq\f(e2＋1,2).答案：eq\f(e2＋1,2)18．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：______________.解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0没有零点．答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0没有零点19．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))n的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭图形的面积为________．解析：因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，所以Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(3,n)，所以n＝4，由直线y＝4x与曲线y＝x2，可得交点坐标为(0,0)，(4,16)，作出直线y＝4x与y＝x2围成的封闭图形如图中阴影部分所示，所以直线y＝nx与曲线y＝x2围成的封闭区域面积为eq\i\in(0,4,)(4x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|(\a\vs1\al\co1(4,0))＝eq\f(32,3).答案：eq\f(32,3)20．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：设利润为y元，租金定为3000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2＝204800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．答案：330021．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)种，有2位女生参加有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)种．故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝2×6＋4＝16(种)．法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有Ceq\o\al(3,6)种情况，没有女生参加的情况有Ceq\o\al(3,4)种，故共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝20－4＝16(种)．答案：1622．使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第2019位之前(不含第2019位)，共有______个“○”．解析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k组共有2k个图形，故前k组共有k(k＋1)个图形，因为44×45＝1980<2018<45×46＝2070，所以在这2018个图形中有45个“□”，1973个“○”．答案：197323．(2018·东北三校联考)甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的